初中数学浙教版九年级上册1.3 二次函数的性质课后练习题

浙教版九年级数学上册同步练习

1.3二次函数的性质

一、选择题（每题3分，共24分）

1．若二次函数的图像经过点P(－2，4)，则该图像必经过点（  ）

A．(2，4) B．(2，－4) C．(－4，2) D．(4，2)

2．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是                                      （   ）

A．            B． 

C． D．

3．已知函数 的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（　）

A．k<4 B．k≤4 C．k<4，且k≠3 D． k≤4且k≠3

4．已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（  ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

5．如表中列出的是二次函数y＝a＋bx＋c中x与y的几组对应值：

下列各选项中，正确的是                                  （   ）

A．这个函数的图象开口向下

B．这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧

C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大

D．方程a＋（b＋2）x＋c＝﹣4的解为＝0，＝1

6．如图，已知抛物线（m为常数）恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），则满足条件的整数m有            

（  ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

7．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；其中正确的个数有   （    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．如图，抛物线y＝﹣2x2＋2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连接EF．则图中阴影部分图形的面积为（  ）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题（每题3分，共24分）

9．把二次函数用配方法化成的形式是________．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，，，如果抛物线与线段AB有公共点，那么a的取值范围是______．

11．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式_____________．

12．已知二次函数的图像顶点在x轴上，则_________

13．已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为______________．

14．如图，抛物线的对称轴是，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为___________．

15．二次函数的图象如图所示，则三个代数式①abc，②，③中，值为正数的有______．（填序号）

16．如图，抛物线 与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点，B(-1，0)， C(3，0)，连接AC，将线段AC 向上平移落在EF处，且EF恰好经过这个抛物线的顶点D，则四边形ACFE的周长为______．

三、解答题（每题8分，共72分）

17．已知抛物线．

（1）求它的对称轴和顶点坐标；

（2）写出一种将它平移成抛物线的方法．

18．已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）当取哪些值时，的值随值的增大而增大？

（3）点在这个二次函数的图象上吗？

19．已知：抛物线经过点.

（1）求的值；

（2）若，求c的值，

（3）在（2）的情况下，求这条抛物线的顶点坐标；

20．已知二次函数y＝－（m＋2）x＋2m－1

(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；

(2)若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求当0＜x＜5时，求y的取值范围．

21．如图已知二次函数图象与直线交于点，点B．

 (1)求m，a的值．

(2)求点B坐标．

(3)连结，求面积．

22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程恰好有两个相等的实数根．

 (1)求该抛物线的表达式；

(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，是该图象两个顶点，若恰好为等腰直角三角形，求m的值．

23．如图，抛物线（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，作直线BC．

(1)若OB＝OC，求抛物线的表达式；

(2)P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC于点E．若EB＝EC＝EP，求a的值．

24．已知二次函数．

(1)求证：二次函数的图象必过点；

(2)若点在函数图象上，，求该函数的表达式；

(3)若该函数图象与轴有两个交点，求证：．

25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．解：∵二次函数的图像经过点P(－2，4)，

∴，

解得：，

∴二次函数的解析式为，

当时，，

∴该图像必经过点(2，4)，故选项A正确，B错误；

当时，，故选项C错误；

当时，，故选项D错误；

故选：A．

2．解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），

∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是

∴所得抛物线解析式是．

故选：C．

3．解：当，即时，

函数 的图像与x轴有交点，

∴，

解得：；

当，即时，与x轴有交点，

综上所述，k的取值范围是．

故选：B

4．解：，

选项A：若，则，，无法判断的符号，故此选项不符合题意；

选项B：若，则， ，则 故此选项符合题意；

选项C：若，则，则这个二次函数开口向下，不可能对于任意的x，都有 ，故此选项不符合题意；

同理选项D也不符合题意；

故选B．

5．解：∵抛物线经过点（0，-4），（3，-4），

∴抛物线的对称轴为直线x=，

而x=1时，y=-6＜-4，

∴抛物线的开口向上，与x轴有两个交点，且在y轴两侧，所以A、B选项都不符合题意；

∵抛物线的对称轴为直线x=，

∴当x＞时，y的值随x值的增大而增大，所以C选项不符合题意；

∵点（0，-4），（1，-6）在抛物线上，也在直线y=-2x-4上，

即y=a+bx+c与直线y=-2x-4的交点坐标为（0，-4），（1，-6），

∴方程a+bx+c=-2x-4的解为=0，=1，

即方程a+（b+2）x+c=-4的解为=0，=1，所以D选项符合题意．

故选：D．

6．由题意得，当时，，

抛物线必过点，

抛物线（m为常数）恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），

分情况讨论如下：

①当点是抛物线的顶点时，则抛物线对称轴为直线，

解得，

抛物线解析式为，

由题意得，抛物线还经过点，如图1，

把点分别代入解析式，等式成立，

符合题意；

②当点不是抛物线的顶点，而是抛物线上关于对称的其中一个点，则抛物线经过，如图2，

抛物线对称轴为直线，

解得，

抛物线解析式为，

把代入解析式，得，

即抛物线经过点，

抛物线还经过点，

符合题意；

③当点不是抛物线的顶点，且在图中也找不到对应格点，要想抛物线恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数）时，抛物线应经过，如图3，

抛物线对称轴为直线，

解得，

抛物线解析式为，

把点分别代入解析式，等式成立，

符合题意；

综上，满足条件的整数m有3个，

故选：C．

7．解：由图象可知a＞0，c＜0，

∵对称轴为x＝﹣1，

∴b＝2a，

∴b＞0，

∴abc＜0，故①错误；

∵图象与x轴有两个不同的交点，

∴b2﹣4ac＞0，故②正确；

∵图象与x轴的一个交点是（1，0），

∴与x轴的另一个交点是（﹣3，0），

∴9a﹣3b＋c＝0，故③正确；

∵（﹣2，y2）到对称轴x＝﹣1的距离是1，（﹣0.5，y1）到对称轴x＝﹣1的距离是0.5，

∴y1＜y2；故④错误；

综上分析可知，②③正确，故A正确．

故选：A．

8．解：作FC⊥x轴于点C，如右图所示，

则阴影部分的面积等于四边形EOCF的面积，

∵抛物线y＝﹣2x2＋2，

∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝1，该抛物线的顶点坐标为（0，2），

∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，OE＝2，

∵这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，

∴OC＝AB＝2，

∵四边形EOCF是矩形，

∴四边形EOCF的面积是2×2＝4，

∴图中阴影部分图形的面积为4，

故选：A．

9．解：

，

故答案为：．

10．解：把代入得；

把代入得，

所以a的取值范围为．

故答案为．

11．解：把点代入二次函数解析式得：，则有，

∴；

故答案为15．

12．解：由题意得，顶点纵坐标为：，

即：，

解得：．

故答案为：2．

13．解：∵，

∴顶点坐标为，

如图：点关于轴的对称点为，

∵成立的值恰好有三个，

∴．

故答案为：．

14．解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），

根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即

抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣3，0）关于直线x＝1对称，

∴另一个交点的坐标为（5，0），

∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，

∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，

∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜5．

故答案为﹣3＜x＜5．

15．∵抛物线的对称轴在x轴的正半轴，且抛物线与x轴有两个不同交点，与y轴交于负半轴，

∴ab＜0，c＜0，＞0，

∴abc＞0，

如图，直线x=-1，与抛物线的交点在x轴上方，

∴＞0，

故答案为：①②③．

16．解：∵抛物线 与x轴交于B、C两点，B(-1，0)， C(3，0)，

∴，

解得，，

∴，

∴x=0时，y=3，

∴A(0,3)，

∴，

设AC的解析式为y=kx+m，

则，

∴，

∴y=-x+3，

由平移知，EF∥AC，EF=AC，

∴四边形EACF是平行四边形，

设EF的解析式为y=-x+n，

∵，

∴D(1,4)，

∴4=-1+n，n=5，

∴E(0,5)，

∴AE=5-3=2，

∴．

故答案为：．

17．解：（1）∵

∴抛物线的对称轴为 ，顶点坐标为 ；

（2）可将抛物线先向左平移 个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线．

18． (1)设抛物线解析式为，

把(0，4)代入得，

解得：，

所以这个二次函数解析式为；

(2)抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，

所以当时，y的值随值的增大而增大；

(3)当时，，

所以点P(3，5)不在这个二次函数的图象上．

19．（1）把点P（-1，-2b）代入抛物线y=x2+（b-1）x+c中，得

1-（b-1）+c=-2b，

整理，得b+c=-2；

（2）把b=3代入b+c=-2中，得：c=-2-b=-5，

（3）∵b=3，c=-5

∴抛物线解析式为y=x2+2x-5，

即y=（x+1）2-6，

故抛物线顶点坐标为(-1，-6 )．

20． （1）解：令 则

＞0

方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点；

（2） 函数的图象与y轴交于点（0，3）．

抛物线的解析式为：

抛物线的开口向上，当时，函数y的最小值为

当时，

当时，

当0＜x＜5时，y的取值范围为：．

21． (1)解：把点A坐标代入一次函数解析式得．

∴m=4．

∴．

把点A坐标代入二次函数解析式得．

∴a=1．

(2)解：∵a=1，

∴二次函数解析式为．

联立二次函数解析式和一次函数解析式得

解得或

∵，

∴．

(3)解：如下图所示，设直线交y轴于点C．

∴．

∴OC=2．

∴．

22． （1）解：，

，

将代入得：，解得，

，

方程恰好有两个相等的实数根，

这个方程根的判别式，即，

解得或（不符题意，舍去），

则抛物线的解析式为．

（2）解：抛物线向右平移个单位后的抛物线的解析式为，

，

，

恰好为等腰直角三角形，

只能是，

如图，过点作于点，

，

，

将点代入抛物线得：，

解得或（不符题意，舍去），

即的值为2．

23． （1）解：∵OB＝OC，

∴C（0，﹣3），

把A，B，C代入中，

得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）解：如图，连接BC，

∵EB＝EC，

∴E是BC的中点，

∴E的坐标为（，），

∴P的横坐标为，

把A，B代入中，

得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为，

把x＝代入，得y＝，

∴P（，），

∴EP＝＝，

解得a＝，

∴a的值为．

24． （1）证明：，

二次函数的图象必过点．

（2）解：点在函数的图象上，

，

，

，

，

整理得：，

解得或，

则该抛物线的表达式为或．

（3）证明：函数的图象与轴有两个交点，

，方程的两个根为，根的判别式大于0，

，，

．

25． （1）解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．

（2）解：设点，对于二次函数，当时，，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，，，轴，轴，，∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，解得或或或，则点的横坐标为1或2或或．

（3）解：①如图，当Q在BC下方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，设点的坐标为，则，解得，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得，解得或（即为点），则此时点的坐标为；②如图，当Q在BC上方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理可得：此时点的坐标为，综上，存在这样的点，点的坐标为或．