浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用巩固练习

这是一份浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用巩固练习，共24页。
浙教版-9年级-上册-数学-第1章《二次函数》
1.4 二次函数的应用（4）与几何动点有关的综合性题型
【典型例题-精选部分】
1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，1），
抛物线C2：y＝3x2+3x+1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．
（1）求抛物线C1的表达式； （2）求线段MN的长（用含t的代数式表达）；
（3）当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值．




2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．
（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；
（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大时，求：
① 点M的坐标，说明理由； ② MN+BN的最小值 　 　；
（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形
为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．








3、在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
① 求A，B，C，D四点的坐标； ② 当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
① 求m的取值范围； ② 求线段BC长度的最大值．



4、抛物线y＝ax2﹣ax+b交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线y＝﹣x+4经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，AC为边的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标．
（3）如图②，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值．









5、如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．





6、已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
① 连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
② 在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．









7、如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y＝x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线x＝t（t≠0）交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；
（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为：　 　；
（3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，请你直接写出点P的坐标；
（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．






8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0），B两点，其对称轴直线x＝2与x轴交于点 D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD，PB，PC，求四边形BDCP面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y′，当抛物线y′经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线y′对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以AE为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．





9、如图，抛物线y＝﹣x2+bx﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（4，0）．
（1）求b的值和抛物线的顶点坐标；
（2）若直线BC对应的函数表达式为y＝kx+m，则关于x的不等式﹣x2+bx﹣4＞kx+m的解集为 　0＜x＜4　；
（3）连接AC，P为抛物线上一点，若∠ACP＝45°，求点P的坐标．







10、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．















11、如图1，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，M是x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标；
（3）如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点N（不与点A重合），使得∠BCN＝∠ACB？若存在，求点N的横坐标；若不存在，请说明理由．



12、有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质．
小丽根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是 　 　；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面的函数y＝x2﹣4|x|+3，下列四个结论：
① 函数图象关于y轴对称； ② 函数既有最大值，也有最小值；
③ 当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④ 函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是 　 　．
（4）结合函数图象，解决问题：
① 若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　；
② 若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝kx至少有3个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．



13、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2mx+9﹣m2与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），顶点为C点． （1）求AB的长；
（2）反比例函数y＝（x＜0）的图象记作G．
① 若点C落在y轴上，抛物线y＝﹣x2+2mx+9﹣m2与图象G的交点D在第三象限，D点的横坐标为a，且﹣6＜a＜﹣4，求k的取值范围．
② 已知图象G经过点P（n﹣7，﹣12），点Q（﹣6，4﹣n），若抛物线y＝﹣x2+2mx+9﹣m2与线段PQ有唯一的公共点（包括线段PQ的端点），求m的取值范围．





14、如图，直线y＝x向上平移8个单位得到直线MN，M、N分别是与x轴、y轴交点，OABC是边长为m的正方形，直线AN与MC相交于点P．
（1）直接写出线段AN与MC的位置关系与数量关系分别是 　 　．
（2）若抛物线y＝x2+bx+c经过M、N、A三点，
① 求抛物线的解析式及过B点与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式；
② 设K是抛物线对称轴上一动点，请直接写出△KAC为等腰三角形时K点坐标；
（3）在（2）条件下，将正方形绕着点O旋转α（0°＜α＜90°），试求旋转过程中线段PC长度的最小值．







15、如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OC＝CD． （1）求抛物线及直线DE的函数表达式；
（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF面积最大时，点G的坐标及△GDF面积的最大值；
（3）求+的值．




























【参考答案】;
1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，1），
抛物线C2：y＝3x2+3x+1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．
（1）求抛物线C1的表达式； （2）求线段MN的长（用含t的代数式表达）；
（3）当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，﹣2）、B（（﹣2，1）代入抛物线C1表达式得：，解得，
故抛物线C1的表达式为y＝2x2+3x﹣1；
（2）把x＝t代入y＝2x2+3x﹣1，得：y＝2t2+3t﹣1，∴点N的坐标为（t，2t2+3t﹣1），把x＝t代入y＝3x2+3x+1，
得：y＝3t2+3t+1∴点M的坐标为：（t，3t2+3t+1），则MN＝（3t2+3t+1）﹣（2t2+3t﹣1）＝t2+2；
（3）① 当∠BNM＝90°时，如图1，则BN∥x轴，∵B（﹣2，1），∴2t2+3t﹣1＝1，解得：t＝﹣2或，
当 BN＝NM时：∵BN＝t﹣（﹣2）＝t+2，NM＝t2+2，∴t+2＝t2+2，解得：t＝0或t＝1，
∴同时满足两个条件时t无解
② 当∠BMN＝90°时，如图2，∴3t2+3t+1＝1，解得t＝0或﹣1，当BM＝MN时，∵BM＝t+2，NM＝t2+2，
∴t+2＝t2+2，解得t＝0或t＝1，∴同时满足两个条件时t＝0，
∴当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时t＝0．
2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，其顶点为D，已知AB＝4，∠ABC＝45°，OA：OB＝1：3．
（1）求二次函数的表达式及其顶点D的坐标；
（2）点M是线段BC上方抛物线上的一个动点，点N是线段BC上一点，当△MBC的面积最大时，求：
① 点M的坐标，说明理由； ② MN+BN的最小值 　 　；
（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形
为直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，∴OB＝OC，∵OA：OB＝1：3，AB＝4，∴OA＝1，OB＝3，∴OC＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），将A、B、C代入y＝ax2+bx+c中，∴，解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；
（2）① 设BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+3，过点M作MG∥y轴交BC于点G，
设M（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴S△MBC＝×3×（﹣t2+3t）
＝﹣（t﹣）2+，∵0＜t＜3，∴当t＝时，S△MBC有最大值，此时M（，）；
② 过点M作MH⊥x轴交于H，交BC于N，∵∠OBC＝45°，∴NH＝BN，∴MN+BN＝MN+NH≥MH，
∵M（，），∴MH＝，∴MN+BN的最小值为，故答案为：；
（3）存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形为直角三角形，理由如下：设P（m，﹣m2+2m+3），
如图2，当∠ACP＝90°时，过点C作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF交于E，过点P作PF⊥EF交于F，
∴∠ECA+∠FCP＝90°，∵∠ACE+∠EAC＝90°，∴∠FCP＝∠EAC，∴△ACE∽△CPF，∴＝，
∴＝，解得m＝0（舍）或m＝，∴P（，）；
如图3，当∠CAP＝90°时，过点A作MN⊥x轴，过点C作CM⊥MN交于M，过点P作PN⊥MN交于N，
∵∠MAC+∠NAP＝90°，∠MAC+∠MCA＝90°，∴∠NAP＝∠MCA，∴△ACM∽△PAN，∴＝，
∴＝，解得m＝﹣1（舍）或m＝，∴P（，﹣）；
综上所述：P点坐标为（，）或（，﹣）．
3、在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．
（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
① 求A，B，C，D四点的坐标； ② 当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
① 求m的取值范围； ② 求线段BC长度的最大值．

【解答】解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，﹣2m）；
∵y＝﹣（x﹣m）2+2，∴抛物线的顶点为D（m，2），令x＝0，则y＝﹣m2+2，∴C（0，﹣m2+2）．
① 当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．
② 由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．
如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．
∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，∴△PAB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，
∵﹣1＜0，∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．此时P（1，1）．
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），
① ∵y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，
∴需要分两种情况：当m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得≤m≤1+，
当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣，∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．
② 当≤m≤1+时，∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣，
∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．
∴当m＝﹣3时，BC的最大值为13．
4、抛物线y＝ax2﹣ax+b交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线y＝﹣x+4经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，AC为边的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标．
（3）如图②，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PD+DE，求m的最大值．

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），令y＝0，则x＝4，∴B（4，0），
将C（0，4），B（4，0）代入y＝ax2﹣ax+b，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+4；
（2）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，
设M（t，﹣t2+t+4），N（，n），令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝4或x＝﹣3，∴A（﹣3，0），
① 当AN为平行四边形的对角线时，，解得，∴ N（，）；
② 当AM为平行四边形的对角线时，，解得，∴N（，﹣）；
综上所述：N点坐标为（，）或（，﹣）；
（3）设P（t，﹣t2+t+4），则D（t，﹣t+4），∴PD＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+t，
连接AD，延长PD交x轴于G，∵C（0，4），A（﹣3，0），∴AC＝5，∴×AC×DE＝×AB×CO﹣×BA×DG，
∴5DE＝7×4﹣7×（4﹣t），∴DE＝t，∵m＝PD+DE，
∴m＝﹣t2+t+×t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，m有最大值．
5、如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；
（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；
当∠PBM＝90°时，PB＝BM，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，
∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，
∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），
∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（5+，﹣2），
∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，
解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；
综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．
6、已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
① 连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
② 在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为A（1，4），∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，
又∵B（﹣1，0），∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4（或y＝﹣x2+2x+3）；
（2）① ∵点P在x轴正半轴上，∴m＞0，∴BP＝m+1，由旋转可得：BD＝2BP，∴BD＝2（m+1），
过点A（1，4）作AE⊥x轴于点E，∴BE＝2，AE＝4，在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2＝22+42＝20，
当四边形ABCD为矩形时，AD⊥AB，∴∠BAD＝∠BEA＝90°，又∠ABE＝∠DBA，∴△BAE∽△BDA，
∴AB2＝BE⋅BD，∴4（m+1）＝20，解得m＝4；
② 由题可得点A（1，4）与点C关于点P（4，0）成中心对称，∴C（7，﹣4），∵点M在直线x＝4上，
∴点M的横坐标为4，存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，∴Q（﹣4，y1）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y1＝﹣21，∴Q（﹣4，﹣21），
2）当以BC为边时，平行四边形为BCQM，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，∴Q（12，y2）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y2＝﹣117，∴Q（12，﹣117），
3）当以BC为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，∴Q（2，y3）代入y＝﹣x2+2x+3，
得：y3＝3，∴Q（2，3），
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为（﹣4，﹣21）或（2，3）或（12，﹣117）．
7、如图，已知正方形OCDE中，顶点E（1，0），抛物线y＝x2+bx+c经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线x＝t（t≠0）交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；
（2）若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG最小，则G点坐标为：　 　；
（3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与△OBC全等，请你直接写出点P的坐标；
（4）点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵正方形OCDE中，顶点E（1，0），∴D（1，﹣1），C（0，﹣1），∴，解得，
∴y＝x2﹣x﹣1，令y＝0，则x2﹣x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（2，0）；
（2）∵y＝x2﹣x﹣1＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的对称轴为x＝，∵A、B关于对称轴对称，∴AG＝BG，
∴AG+CG＝BG+CG≥BC，∴当B、C、G三点共线时，AG+CG最小，设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，∴y＝﹣x﹣1，∴G（，﹣），故答案为：（，﹣）；
（3）∵B（2，0），C（0，﹣1），∴BO＝2，OC＝1，设P（t，m），∴PF＝m，BF＝|t﹣2|，
当△OBC≌△FBP时，OB＝BF，CO＝FP，∴m＝1，|t﹣2|＝2，∴t＝4或t＝0（舍），∴P（4，1）；
当△OBC≌△FPB时，BO＝FP，OC＝BF，∴2＝m，|t﹣2|＝1，∴t＝3或t＝﹣1（舍），∴P（3，2）；
综上所述：P点坐标为（4，1）或（3，2）；
（4）存在点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣1，
设M（n，﹣n﹣1），N（x，y），∵M在射线AC上，∴n≥﹣1，
① 当OA为菱形对角线时，OM＝AM，∴，解得，∴N（﹣，）；
② 当OM为菱形对角线时，OA＝AM，∴，解得或（舍）∴N（，﹣）；
③ 当ON为菱形的对角线时，AO＝OM，∴，解得或（舍），∴N（﹣1，﹣1）；
综上所述：N点坐标为（﹣，）或（，﹣）或（﹣1，﹣1）．
8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0），B两点，其对称轴直线x＝2与x轴交于点 D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD，PB，PC，求四边形BDCP面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y′，当抛物线y′经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线y′对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以AE为边的菱形，请直接写出满足条件的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），其对称轴为直线x＝2，
∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）∵点A（﹣2，0）与点B关于对称轴直线x＝2对称，∴B（6，0），
∵y＝x2﹣x﹣4，其对称轴直线x＝2与x轴交于点 D．∴C（0，﹣4），D（2，0），∴BD＝6﹣2＝4，
∴S△BCD＝×4×4＝8，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，过点P作PH∥y轴交BC于点H，如图，
设P（t，t2﹣t﹣4）（0＜t＜6），则H（t，t﹣4），∴PH＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t，
∴S△PBC＝PH×（xB﹣xC）＝×（﹣t2+2t）×6＝﹣t2+6t，
∴S四边形PBDC＝S△PBC+S△BCD＝﹣t2+6t+8＝﹣（t﹣3）2+17，∵﹣1＜0，0＜t＜6，
∴当t＝3时，S四边形PBDC的最大值为17，此时点P的坐标为（3，﹣5）；

（3）∵将该抛物线向左平移得到抛物线y′，抛物线y′经过原点，
∴抛物线向左平移6个单位长度得到抛物线y'，∴抛物线y'过点（﹣8，0），
设抛物线y'的解析式为y′＝x2+px，∴﹣8p＝0，解得p＝，∴y′＝x2+x，对称轴为直线x＝﹣4，
∵抛物线y′与原抛物线的对称轴相交于点E，∴E（2，），设F（﹣4，n），
∵以点A，E，F，M为顶点的四边形是以AE为边的菱形，∴AE＝AF，∴AE2＝AF2，
∴（2+2）2+（）2＝（4﹣2）2+n2，∴n＝±，∴F（﹣4，）或（﹣4，﹣），
∴点M的坐标为（0，）或（0，）．
9、如图，抛物线y＝﹣x2+bx﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（4，0）．
（1）求b的值和抛物线的顶点坐标；
（2）若直线BC对应的函数表达式为y＝kx+m，则关于x的不等式﹣x2+bx﹣4＞kx+m的解集为 　0＜x＜4　；
（3）连接AC，P为抛物线上一点，若∠ACP＝45°，求点P的坐标．

【解答】解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+bx﹣4得：﹣16+4b﹣4＝0，解得b＝5，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的顶点坐标为（，）；
（2）令x＝0，∴y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣4，∴C（0，﹣4），∵B（4，0）；
∴不等式﹣x2+bx﹣4＞kx+m的解集为0＜x＜4，故答案为：0＜x＜4；
（3）令y＝0，得﹣x2+5x﹣4＝0，解得：x1＝4，x2＝1，∴A（1，0），∴OA＝1，∵C（0，﹣4），∴OC＝4，
如图，过点A作AD⊥AC，交AP于点D，过点D作DE⊥x轴上取于点E，
∴∠AED＝∠COA＝90°，∠CAD＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝∠OAC+∠DAE＝90°，∴∠ACO＝∠DAE，
∵∠ACP＝45°，∠CAD＝90°，∴∠ACP＝∠ADC＝45°，∴AC＝DA，∴△ADE≌△CAO（AAS），
∴DE＝OA＝1，AE＝OC＝4，∴OE＝OA+AE＝5，∴D（5，﹣1），直线CD的解析式为y＝mx+n，
则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝x﹣4，由x﹣4＝﹣x2+5x﹣4，
解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，﹣）；
10、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），
∴，解得：．∴抛物线的表达式为y＝﹣+x+4；
（2）点D的坐标为（﹣8，8），理由：将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，如图，

过点D作DE⊥x轴于点E，∵A（﹣2，0）、B（8，0），C（0，4），∴OA＝2，OB＝8，OC＝4．
∵，，∴．∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠CBO．
∵∠CBO+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACB＝90°，
∵将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，∴点D，C，B三点在一条直线上．
由轴对称的性质得：BC＝CD，AB＝AD．∵OC⊥AB，DE⊥AB，∴DE∥OC，∴OC为△BDE的中位线，
∴OE＝OB＝8，DE＝2OC＝8，∴D（﹣8，8）；由题意得：S△ACD＝S△ABC，
∴四边形OADC的面积＝S△OAC+S△ADC＝S△OAC+S△ABC＝OC•OA+AB•OC＝4×2+10×4＝4+20＝24；
（3）①当点P在BC上方时，如图，∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，
令y＝4，则﹣+x+4＝4，解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；
② 当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．设HB＝HC＝m，
∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，
∴OH＝3，∴H（3，0）．设直线PC的解析式为y＝kx+n，∴，解得：．
∴y＝﹣x+4．∴，解得：，．∴P（，﹣）．
综上，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．
11、如图1，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，M是x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标；
（3）如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点N（不与点A重合），使得∠BCN＝∠ACB？若存在，求点N的横坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，∴方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，∴1+3＝﹣，1×3＝，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3；
（2）∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3，∴C（0，3）．设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），则，
解得：．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设点M（m，m2﹣4m+3），过点M作MN∥y轴，交BC于点N，
∴N（m，﹣m+3），∴MN＝﹣m+3﹣m2+4m﹣3＝﹣m2+3m，∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．
∴S△MOC＝OC•m＝m，S△MBC＝MN•OB＝﹣m2+m，∵△MOC的面积是△MBC面积的3倍，
∴m＝3（﹣m2+m），∴m＝0（舍去）或，∴点M的坐标为（，﹣）；

（3）抛物线上存在一点N，使得∠BCN＝∠ACB．过点B作BE⊥AB交CN与E，∵B（3，0），C（0，3）．
∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∴∠OBC＝∠EBC＝45°，∵BC＝BC，∠BCN＝∠ACB．∴△ABC≌△EBC（ASA），
∴BE＝AB＝2，∴E（3，2），设直线CN的解析式为y＝mx+n，∴，解得，
∴直线CN的解析式为y＝﹣x+3，联立y＝x2﹣4x+3得，或（舍去），
∴抛物线上存在一点N，使得∠BCN＝∠ACB．点N的横坐标为．
12、有这样一个问题：探究函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质．
小丽根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|+3的图象与性质进行了探究．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2﹣4|x|+3的自变量x的取值范围是 　 　；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝x2﹣4|x|+3的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面的函数y＝x2﹣4|x|+3，下列四个结论：
① 函数图象关于y轴对称； ② 函数既有最大值，也有最小值；
③ 当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④ 函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是 　 　．
（4）结合函数图象，解决问题：
① 若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　；
② 若关于x的方程x2﹣4|x|+3＝kx至少有3个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．

【解答】解：（1）∵函数y＝x2﹣4|x|+3，∴x的取值范围为任意实数，故答案为：任意实数；
（2）由函数y＝x2﹣4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如图所示；
（3）由图象可得，函数图象关于y轴对称，故①正确；函数有最小值，但没有最大值，故②错误；
当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，故③正确；
函数图象与x轴有4个公共点，故④错误；故答案为：①③；
（4）①由图象可得，关于x的方程x2﹣4|x|+3＝k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣1＜k＜3，
故答案为：﹣1＜k＜3；
② 如图，当k＞0时，x2+4x+3＝kx，即x2+（4﹣k）x+3＝0，
当直线y＝kx与函数y＝x2﹣4|x|+3的图象有三个交点时，则Δ＝（4﹣k）2﹣12＝0，
解得：k＝4﹣2或k＝4+2（不符合题意，舍去），∴0＜k＜4﹣2；
当k＜0时，x2﹣4x+3＝kx，即x2﹣（4+k）x+3＝0，
当直线y＝kx与函数y＝x2﹣4|x|+3的图象有三个交点时，则Δ＝（4+k）2﹣12＝0，
解得：k＝﹣4+2或k＝﹣4﹣2（不符合题意，舍去），∴﹣4+2＜k＜0，
综上所述，关于x的方程x2﹣4|x|+3＝kx至少有3个不相等的实数根，则k的取值范围是0＜k＜4﹣2或﹣4+2＜k＜0，故答案为：0＜k＜4﹣2或﹣4+2＜k＜0．
13、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2mx+9﹣m2与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），顶点为C点． （1）求AB的长；
（2）反比例函数y＝（x＜0）的图象记作G．
① 若点C落在y轴上，抛物线y＝﹣x2+2mx+9﹣m2与图象G的交点D在第三象限，D点的横坐标为a，且﹣6＜a＜﹣4，求k的取值范围．
② 已知图象G经过点P（n﹣7，﹣12），点Q（﹣6，4﹣n），若抛物线y＝﹣x2+2mx+9﹣m2与线段PQ有唯一的公共点（包括线段PQ的端点），求m的取值范围．

【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+2mx+9﹣m2＝0，∴x1+x2＝2m，x1•x2＝m2﹣9，
∴AB＝|x1﹣x2|＝＝6；
（2）① ∵点C落在y轴上，∴m＝0，∴y＝﹣x2+9，联立方程组，∴＝﹣x2+9，
∵D点的横坐标为a∴＝﹣a2+9，∵﹣6＜a＜﹣4，
当a＝﹣6时，k＝162，当a＝﹣4时，k＝28，∴28＜k＜162；
② ∵图象G经过点P（n﹣7，﹣12），点Q（﹣6，4﹣n），∴12（n﹣7）＝﹣6（4﹣n），解得n＝6，
∴P（﹣1，﹣12），Q（﹣6，﹣2），∵y＝﹣x2+2mx+9﹣m2＝﹣（x﹣m）2+9，∴D（m，9），
当抛物线经过P（﹣1，﹣12）时，m＝﹣1，当抛物线经过Q（﹣6，﹣2）时，m＝﹣6±，
如图1，当﹣6+≤m≤﹣1+时，抛物线与线段PQ有唯一的公共点；
如图2，当﹣6﹣≤m≤﹣1﹣时，抛物线与线段PQ有唯一的公共点；
综上所述：﹣6+≤m≤﹣1+或﹣6﹣≤m≤﹣1﹣时，抛物线与线段PQ有唯一的公共点．
14、如图，直线y＝x向上平移8个单位得到直线MN，M、N分别是与x轴、y轴交点，OABC是边长为m的正方形，直线AN与MC相交于点P．
（1）直接写出线段AN与MC的位置关系与数量关系分别是 　 　．
（2）若抛物线y＝x2+bx+c经过M、N、A三点，
① 求抛物线的解析式及过B点与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式；
② 设K是抛物线对称轴上一动点，请直接写出△KAC为等腰三角形时K点坐标；
（3）在（2）条件下，将正方形绕着点O旋转α（0°＜α＜90°），试求旋转过程中线段PC长度的最小值．

【解答】解：（1）∵直线y＝x向上平移8个单位，∴平移后的直线MN解析式为y＝x+8，
∴M（﹣8，0），N（0，8），∵OABC是边长为m的正方形，∴C（0，m），A（m，0），
∵ON＝OM，∠MOC＝∠AON，OC＝OA，∴△MOC≌△NOA（SAS），∴AN＝CM，∠CMO＝∠ONA，∴∠CNA+CNP＝90°，
∴∠NPC＝90°，∴AN⊥MP，故答案为：AN⊥MC，AN＝CM；
（2）① 将点M、N代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣x+8，
令y＝0，则x2﹣x+8＝0，解得x＝4或x＝﹣8，∴A（4，0），∵OABC是边长为m的正方形，∴B（4，4），
设过点B的直线解析式为y＝kx+b，∴4k+b＝4，∴b＝4﹣4k，∴y＝kx+4﹣4k，
联立方程组，整理得，x2﹣（k+1）x+4+4k＝0，∵抛物线与直线有且只有一个交点，
∴Δ＝k2+6k+5＝0，解得k＝﹣1或k＝﹣5，∴y＝﹣x+5或y＝﹣5x+24；
②∵y＝x2﹣x+8＝（x+2）2+9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，设K（﹣2，t），
∵A（4，0），C（0，4），∴KA＝，KC＝，AC＝4，
当KA＝KC时，＝，解得t＝﹣2，∴K（﹣2，﹣2）；
当KA＝AC时，＝4，此时t无解；
当KC＝AC时，＝4，解得t＝4+2或t＝4﹣2，∴K（﹣2，4+2）或（﹣2，4﹣2）；
综上所述：K点坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣2，4+2）或（﹣2，4﹣2）；
（3）设MN的中点Q，∵M（﹣8，0），N（0，8），∴Q（﹣4，4），∵∠MPN＝90°在旋转过程中保持不变，
以Q为圆心，NM为直径作圆，则点P在圆Q上，
当P、C、Q三点共线时，PC有最小值，∴P点在BC上时，PC有最小值，
∴PC＝PQ﹣CQ＝MN﹣CQ＝×8﹣4＝4﹣4，∴PC的最小值为4﹣4．
15、如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OC＝CD． （1）求抛物线及直线DE的函数表达式；
（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF面积最大时，点G的坐标及△GDF面积的最大值；
（3）求+的值．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），∴c＝2，∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴﹣＝2，∴b＝﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x+2，∵OC＝CD，∴D（0，4），
又∵直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），∴，∴，
∴直线DE的函数表达式为y＝﹣x+4；
（2）过点G作GQ∥y轴，交DE于点Q，如图所示：联立，解得x1＝2，x2＝﹣2，
∴点F的横坐标为2，设点G（t，t2﹣t+2），则点Q（t，﹣t+4），GQ＝﹣t+4﹣（t2﹣t+2）＝﹣t2+2，
∴S△GDF＝S△GQF﹣S△GQD＝×（﹣t2+2）（2﹣t）﹣×（﹣t2+2）（﹣t）＝＝×（﹣t2+2）×2
＝﹣t2+2．∴当x＝0时，即点G的坐标为（0，2）时，△GDF面积有最大值为2；
（3）分别过点A、P、B作AA1，PP1，BB1垂直于x轴于点A1，P1，B1，设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则OA1＝x1，OB1＝x2，联立得x2﹣4（k+1）x+8＝0，∴x1+x2＝4（k+1），x1•x2＝8，联立，得x＝，∴OP1＝，∵AA1⊥x轴，PP1⊥x轴，BB1⊥x轴，∴AA1∥PP1∥BB1，∴，，
∴＝＝＝＝＝2．