人教版高考数学一轮复习考点规范练8幂函数含答案

考点规范练8　幂函数

1.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则f(x)的单调递增区间为(　　)

A.(-∞,+∞) B.(-∞,0]

C.[0,+∞) D.(1,+∞)

答案  C

解析  设f(x)=xα,由图象经过点(4,2),得4α=2,即22α=2,得α=,所以f(x)=,单调递增区间为[0,+∞).

2.下面四个幂函数的图象中,是函数y=的图象的是(　　)

答案  B

解析  由幂函数的性质可知,函数y=的图象在区间(0,+∞)内单调递减,则AC错误;令f(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)==f(x),所以函数y=为偶函数,则D错误.

3.已知幂函数f(x)=x3m-7(m∈N)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,则m的值为(　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2

答案  C

解析  由题意可得,3m-7<0,解得m<,且3m-7为偶数,m∈N,故m=1.

4.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是(　　)

A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-a

C.0.5a<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a

答案  B

解析  由于5-a=.因为a<0,所以函数y=xa在区间(0,+∞)内单调递减.又<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a.

5.如图,函数y=,y=x的图象和直线y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧,则f(x)可能是(　　)

A.f(x)=x2 B.f(x)=

C.f(x)= D.f(x)=x-2

答案  B

解析  由图象知,幂函数f(x)的定义域为(0,+∞).

当0<x<1时,f(x)>1,且f(x)<;

当x>1时,0<f(x)<1,且f(x)>;

所以f(x)可能是f(x)=.

6.已知f(x)=x3,若当x∈[1,2]时,f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则a的取值范围是(　　)

A.a≤1 B.a≥1 C.a≥ D.a≤

答案  C

解析  ∵f(-x)=-f(x),f'(x)=3x2≥0,

∴f(x)在区间(-∞,+∞)内为奇函数且单调递增.

由f(x2-ax)+f(1-x)≤0,得f(x2-ax)≤f(x-1),

∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0.

设g(x)=x2-(a+1)x+1,

则有解得a≥.故选C.

7.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　　)

A.恒等于0 B.恒小于0

C.恒大于0 D.无法判断

答案  C

解析  由于函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,则m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.

当m=-1时,f(x)=x-1,在区间(0,+∞)内单调递减,不符合题意;

当m=2时,f(x)=x5,在(0,+∞)内单调递增,符合题意;

即函数f(x)=x5,为奇函数且在R上单调递增.

a+b>0,故a>-b,f(a)>f(-b)=-f(b),故f(a)+f(b)>0.

8.(2021福建厦门双十中学高三月考)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3,当a=2,x∈[-2,3]时,函数f(x)的值域为　　　　　;若函数f(x)在区间[-1,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案  　a≥

解析  (1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,其图象的对称轴为直线x=-∈[-2,3],

故f(x)max=f(3)=15,f(x)min=f=-,故函数f(x)的值域为.

(2)因为函数f(x)在区间[-1,3]上单调递增,所以-≤-1,故a≥.

9.(2021江苏常熟中学三模)已知函数f(x)同时满足:①f(0)=0;②在区间[1,3]上单调递减;③f(1+x)=f(1-x).该函数的表达式可以是f(x)= 　　　　　. 

答案  2x-x2(答案不唯一)

解析  由f(1+x)=f(1-x)可知,y=f(x)的图象关于直线x=1对称;可设f(x)为二次函数,

又f(0)=0且f(x)在区间[1,3]上单调递减,所以可设f(x)=2x-x2,符合题意.

10.若x2>成立,则x的取值范围是　　　　　. 

答案  (-∞,0)∪(1,+∞)

解析  如图所示,分别作出函数y=x2与y=的图象,由于两函数的图象都过点(1,1),由图象可知不等式x2>的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).

11.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是　　　　　. 

答案  (3,5)

解析  ∵f(x)=(x>0),

∴f(x)是定义在区间(0,+∞)内的减函数.

又f(a+1)<f(10-2a),

∴解得∴3<a<5.

12.设二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上有最大值4,则实数a的值为　　　　　. 

答案  或-3

解析  由题意可知f(x)的图象的对称轴为直线x=-1.

当a>0时,f(2)=4a+4a+1=8a+1,f(-3)=3a+1.

可知f(2)>f(-3),即f(x)max=f(2)=8a+1=4.

故a=.当a<0时,f(x)max=f(-1)=a-2a+1=-a+1=4,即a=-3.综上所述,a=或a=-3.