人教版高考数学一轮复习考点规范练28数列求和含答案

考点规范练28　数列求和

1.在数列{an}中,如果a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么S100的值为(　　)

A.2 500 B.2 600 C.2 700 D.2 800

答案  B

解析  当n为奇数时,an+2-an=0,所以an=1;

当n为偶数时,an+2-an=2,所以an=n,

故an=

于是S100=50+=2 600.

2.(多选)已知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,设cn=,Tn为数列{cn}的前n项和,则当Tn<2 021时,n的取值可能是(　　)

A.8 B.9 

C.10 D.11

答案  AB

解析  由题意,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2n-1,

则cn==2·2n-1-1=2n-1,

则数列{cn}为递增数列,其前n项和Tn=(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-2-n.

当n=9时,Tn=1 013<2 021;

当n=10时,Tn=2 036>2 021.

故n的取值可能是8,9.

3.已知数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,则数列的前100项和为(　　)

A. B. C. D.

答案  D

解析  ∵an+1=a1+an+n,a1=1,

∴an+1-an=1+n.

∴an-an-1=n(n≥2).

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=(n≥2),又a1=1,满足此式,

∴=2.

∴数列的前100项和为2×(1-+…+)=2×.

4.已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令an=,n∈N*.设数列{an}的前n项和为Sn,则S2 020等于(　　)

A.-1 B.+1

C.-1 D.+1

答案  C

解析  由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,则f(x)=.

即an=,

则S2 020=a1+a2+a3+…+a2 020=()+()+()+…+()=-1.

5.已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}的前60项和为(　　)

A.3 690 B.3 660 

C.1 845 D.1 830

答案  D

解析  ∵an+1+(-1)nan=2n-1,

∴当n=2k(k∈N*)时,a2k+1+a2k=4k-1;①

当n=2k-1(k∈N*)时,a2k-a2k-1=4k-3;②

当n=2k+1(k∈N*)时,a2k+2-a2k+1=4k+1.③

由①-②得a2k+1+a2k-1=2,

∴(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)=2×15=30.

由①+③得a2k+a2k+2=8k,

∴(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a58+a60)=15×8+×16=1 800.

∴a1+a2+…+a60=30+1 800=1 830.

6.已知等差数列{an}中,a5=.若函数f(x)=sin 2x+1,设yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为　　　　　. 

答案  9

解析  由题意,得yn=sin(2an)+1,

故数列{yn}的前9项和为sin 2a1+sin 2a2+sin 2a3+…+sin 2a8+sin 2a9+9.

由a5=,得sin 2a5=0.

∵a1+a9=2a5=π,

∴2a1+2a9=4a5=2π,

∴2a1=2π-2a9,

∴sin 2a1=sin=-sin 2a9.

由倒序相加可得(sin 2a1+sin 2a2+sin 2a3+…+sin 2a8+sin 2a9+sin 2a1+sin 2a2+sin 2a3+…+sin 2a8+sin 2a9)=0,

∴y1+y2+y3+…+y8+y9=9.

7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+3=3an.设bn=(n+1)log an,并记Tn=+…+,则an=　　　　　,T2 020=　　　　　. 

答案  3n　

解析  当n=1时,可得2S1+3=2a1+3=3a1,

解得a1=3;

当n≥2时,2Sn-1+3=3an-1,

则2Sn+3-(2Sn-1+3)=3an-3an-1,即2an=3an-3an-1,

即an=3an-1,则数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列,

故数列{an}的通项公式为an=3n.

则bn=(n+1)log 3n=(n+1)log )2n=2n(n+1)·log =2n(n+1),

即,

可得Tn=+…+=,

故T2 020=.

8.(2021江苏无锡第一次质检)已知等差数列{an}的首项为2,前n项和为Sn,数列{bn}是首项为1,各项均为正数的等比数列,且满足a3=2b2,S5=b2+b4.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)设cn=(-1)nlog3Sn+log3bn,求数列{cn}的前26项和.

解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,

则

∴q3-9q=0,∵等比数列{bn}的各项均为正数,

∴q=3,从而d=2.

∴an=2+2(n-1)=2n,bn=1·3n-1=3n-1.

(2)由(1)得Sn=n(2+2n)=n(n+1),

则cn=(-1)nlog3[n(n+1)]+log33n-1=[(-1)nlog3n+(-1)nlog3(n+1)]+n-1.

∴{cn}的前26项和为T26=(-log31-log32+0)+(log32+log33+1)+(-log33-log34+2)+…+(-log325-log326+24)+(log326+log327+25)=-log31+log327+=3+325=328.

9.(2021河北秦皇岛高三质检)已知数列{an}满足2an+1=an+1,a1=,bn=an-1.

(1)求证:数列{bn}是等比数列;

(2)求数列　　　　　的前n项和Tn. 

从条件①,②{n+bn},③中任选一个,补充到上面的问题中,并给出解答.

解(1)因为2an+1=an+1,所以2an+1-2=an-1.

由bn=an-1,得2bn+1=bn.

又因为b1=a1-1=,所以数列{bn}是以为首项,为公比的等比数列,即bn=.

(2)若选①,=(n+1)·2n+1.

则Tn=2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1,

2Tn=2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2,

两式作差,得Tn=2Tn-Tn=-2×22-23-24-…-2n+1+(n+1)×2n+2=(n+1)×2n+2--2×22=(n+1)×2n+2+8-2n+2-8=n·2n+2,

故Tn=n·2n+2.

若选②,n+bn=n+,则Tn=+…+

=(1+2+3+…+n)+n(n+1)+,

故Tn=.

若选③,=4,

则Tn=4[()+()+…+()+()]=4,

故Tn=.