人教版高考数学一轮复习考点规范练33数系的扩充与复数的引入含答案

考点规范练33　数系的扩充与复数的引入

1.(2021全国Ⅱ,理1)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z=(　　)

A.1-2i B.1+2i 

C.1+i D.1-i

答案  C

解析  设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,2(z+)+3(z-)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i.

2.若a为实数,且=3+i,则a=(　　)

A.-4 B.-3 C.3 D.4

答案  D

解析  由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,即a=4.

3.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)

A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1

答案  C

解析  设z=x+yi(x,y∈R).

因为z-i=x+(y-1)i,

所以|z-i|==1,

则x2+(y-1)2=1.故选C.

4.若复数z=1+i,为z的共轭复数,则下列结论正确的是(　　)

A.=-1-i B.=-1+i

C.||=2 D.||=

答案  D

解析  =1-i,||=,故选D.

5.(2021辽宁抚顺一模)已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,-1),则=(　　)

A.3+i B.1-3i 

C.1-i D.2-i

答案  A

解析  由题意知z=2-i,所以=3+i.

6.(2021广东深圳一模)已知复数z=,则|z|= (　　)

A. B. C. D.1

答案  A

解析  z=i,

所以|z|=.

7.若复数z=(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,则z的虚部为(　　)

A.1 B.i C.2 D.2i

答案  A

解析  z=.

因为z是纯虚数,所以解得a=1,所以z的虚部为=1,故选A.

8.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数所对应的点在复平面内的(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案  B

解析  ∵z1=2+2i,z2=1-3i,

∴=-i,

∴复数在复平面内所对应的点的坐标为-,位于第二象限.

故选B.

9.(多选)已知复数z=-i(其中i为虚数单位),则下列结论正确的是(　　)

A.z2=0 B.z2=

C.z3=1 D.|z|=1

答案  BCD

解析  由于复数z=-i(其中i为虚数单位),

即z2=i-=-i,故A错误;

则z2=,故B正确;

z3==1,故C正确;|z|==1,故D正确.

10.(2021辽宁丹东二模)在复平面内,O为坐标原点,若复数z,z+1对应的点都在单位圆O上,则z的实部为(　　)

A.- B.- C. D.

答案  B

解析  设z=a+bi(a,b∈R),则z+1=a+1+bi,由题意可得|z|=1,|z+1|=1,

即

解得

所以z的实部为-.

11.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,则下列结论正确的是(　　)

A.点P0的坐标为(1,2)

B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称

C.复数z对应的点Z在一条直线上

D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为

答案  ACD

解析  复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;

复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;

设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,

得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,

即,整理得,y=x,

即点Z在直线y=x上,C正确;

易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为点P0与点Z之间距离的最小值,结合点到直线的距离公式可知,最小值为,故D正确.

12.(2021广东肇庆模拟预测)写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z=　　　　　. 

答案  1+2i(答案不唯一)

解析  设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+3=a2-b2+3+2abi,因为z2+3为纯虚数,所以a2-b2=-3且ab≠0.

任取不为零的实数a,求出b即可得到,答案不唯一,如z=1+2i.

13.在复平面内,复数+z对应的点的坐标为(2,-2),则z在复平面内对应的点位于第　　　　象限. 

答案  四

解析  设z=x+yi(x,y∈R),

则+x+yi=2-2i,

即+x+yi=2-2i,i=2-2i,

所以

解得

即z=i,其对应点为,在第四象限.

14.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　　. 

答案  2

解析  设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).

∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.

又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i,

∴a+c=,b+d=1,

∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4,得2ac+2bd=-4,

∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12,

∴|z1-z2|==2.

15.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),且z1=z2,则λ的取值范围是　　　　　　　　. 

答案 

解析  由复数相等的充要条件可得

化简,得4-4cos2θ=λ+3sin θ,

由此可得λ=-4cos2θ-3sin θ+4=-4(1-sin2θ)-3sin θ+4=4sin2θ-3sin θ=4,

因为sin θ∈[-1,1],所以4sin2θ-3sin θ∈.

故λ的取值范围为.