人教版高考数学一轮复习考点规范练38空间向量及其运算含答案

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考点规范练38　空间向量及其运算1.若向量c垂直于不共线的向量a和b,d=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),则(　　)A.c∥dB.c⊥dC.c不平行于d,c也不垂直于dD.以上三种情况均有可能答案  B解析  由题意,得c垂直于由a,b确定的平面.∵d=λa+μb,∴d与a,b共面.∴c⊥d.2.(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),则(　　)A.AP⊥AB B.AP⊥BPC.BC= D.AP∥BC答案  AC解析  因为=0,故A正确;=(3,-3,-3),=3+6-3=6≠0,故B不正确;=(6,1,-4),||=,故C正确;=(1,-2,1),=(6,1,-4),,故D不正确.3.已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,M为BC的中点,则△AMD是(　　)A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定答案  C解析  ∵M为BC的中点,∴).∴)·=0.∴AM⊥AD,即△AMD为直角三角形.4.(2021福建厦门一中月考)已知点A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x的值为(　　)A.-4 B.1 C.10 D.11答案  D解析  ∵点P(x,-1,3)在平面ABC内,∴存在实数λ,μ,使得=λ+μ,∴(x-4,-2,0)=λ(-2,2,-2)+μ(-1,6,-8),即可得x=11.5.在空间四边形ABCD中,的值为(　　)A.-1 B.0 C.1 D.2答案  B解析  如图,令=a,=b,=c,则·()+·()+·()=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.6.(2021河北张家口高三检测)在三棱锥O-ABC中,M是OA的中点,P是△ABC的重心.设=a,=b,=c,则=(　　)A.a-b+c B.a-b+cC.-a+b+c D.-a+b-c答案  C解析  如图,取AB的中点D,连接CD,MC,OD,则点P在CD上,且.=()+)=c=)-c=c-a+(a+b)-c=-a+b+c.7.(多选)(2021华中师大一附中月考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=,各棱长均为1,则下列结论正确的是(　　)A.{}不是空间的一个基底B.<>=πC.||=D.BD⊥平面ACC1A1答案  ACD解析  对于A,由∥ ,知向量共面,所以{}不是空间的一个基底,故A正确;对于B,因为∠A1AD=,所以∠ADD1=,所以<>=π-,故B错误;对于C,+2+2+2=3+2×1×1×cos+2×1×1×cos+2×1×1×cos=2,所以||=,故C正确;对于D,设BD交AC于点O,连接A1O,A1D,A1B,如图,由题意可得四边形ABCD为菱形,A1D=A1B,所以BD⊥AC,BD⊥A1O,又AC∩A1O=O,所以BD⊥平面ACC1A1,故D正确.8.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,E,F分别是BC,AD的中点,则的值为(　　)A.a2 B.a2 C.a2 D.a2答案  C解析  如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三个向量两两的夹角为60°.(a+b),c,故(a+b)·c=(a·c+b·c)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2.9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求的模;(2)求cos<>的值;(3)求证:A1B⊥C1M.解:如图,建立空间直角坐标系Oxyz.(1)依题意得点B(0,1,0),N(1,0,1),∴||=.(2)依题意得点A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),∴=(1,-1,2),=(0,1,2),=3,||=,||=.∴cos<>=.(3)证明:依题意,得点C1(0,0,2),M,2,=(-1,1,-2),,∴=-+0=0.∴,∴A1B⊥C1M.10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都等于1,∠BAA1=∠CAA1=60°.(1)设=a,=b,=c,用向量a,b,c表示,并求出BC1的长度;(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.解(1)=a+c-b.又a·b=|a|·|b|cos∠BAA1=1×1×cos 60°=,同理可得a·c=b·c=,所以||===.(2)因为=a+b,所以||=,因为=(a+b)·(a+c-b)=a2+a·c-a·b+b·a+c·b-b2=1+-1=1,所以cos<>=.所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.