人教版高考数学一轮复习考点规范练39立体几何中的向量方法含答案

考点规范练39　立体几何中的向量方法

1.直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x).若直线l∥平面α,则x的值为(　　)

A.-2 B.- C. D.±

答案  D

解析  当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±.

2.已知平面α的一个法向量为n=(1,-,0),则y轴与平面α所成的角的大小为(　　)

A. B. C. D.

答案  B

解析  可知y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面α所成的角为θ,则sin θ=|cos<m,n>|.

∵cos<m,n>==-,

∴sin θ=,∴θ=.

3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,若AB=,AF=1,点M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为(　　)

A.(1,1,1) B.

C. D.

答案  C

解析  设M(x,x,1).由已知得A(,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),则=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1).

设平面BDE的法向量为n=(a,b,c),

则

令b=1,则可取n=(1,1,).

又AM∥平面BDE,所以n·=0,

即2(x-)+=0,得x=.

所以M.

4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为(　　)

A. B. C. D.

答案  C

解析  如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0),

从而=(0,1,0),=(-1,2,0),=(-1,0,1).

设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c).

则

令a=2,则可取n=(2,1,2).

所以点E到平面ACD1的距离为h=.

5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则(　　)

A.EF至多与A1D,AC之一垂直

B.EF⊥A1D,EF⊥AC

C.EF与BD1相交

D.EF与BD1异面

答案  B

解析  以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为1,

则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,0,,F,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,-,=(-1,-1,1),=-=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.

6.(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,则(　　)

A.AC⊥BD

B.△ACD是等边三角形

C.AB与平面BCD所成的角为60°

D.AB与CD所成的角为60°

答案  ABD

解析  取BD的中点E,连接AE,CE,则AE⊥BD,CE⊥BD.又AE∩CE=E,

∴BD⊥平面AEC.

∴BD⊥AC,故A正确.

设正方形的边长为a,则AD=DC=a,AE=a=EC.由题意知∠AEC=90°,则在Rt△AEC中,可得AC=a.

∴△ACD为等边三角形,故B正确.

由已知得AE⊥平面BCD,则∠ABD为AB与平面BCD所成的角,为45°,故C错误.

以E为坐标原点,EC,ED,EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,a),B(0,-a,0),D(0,a,0),C(a,0,0).∴=(0,-a,-a),=(a,-a,0).

∵cos<>=,

∴<>=60°,故D正确.

7.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,则平面SCD与平面SAB夹角的余弦值是　　　　　. 

答案 

解析  如图所示,建立空间直角坐标系,则有 D,C(1,1,0),S(0,0,1),可知是平面SAB的一个法向量.

设平面SCD的法向量n=(x,y,z),

因为,

所以n·=0,n·=0,即-z=0,+y=0.

令x=2,则y=-1,z=1,所以可取n=(2,-1,1).

设平面SCD与平面SAB的夹角为θ,则cos θ=.

8.(2021全国Ⅰ,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.

(1)求BC;

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

解(1)连接BD.∵PD⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,∴PD⊥AM.

∵PB⊥AM,PB∩PD=P,

∴AM⊥平面PBD,∴AM⊥BD,

∴∠ADB+∠DAM=90°.

又∠DAM+∠MAB=90°,

∴∠ADB=∠MAB,

∴Rt△DAB∽Rt△ABM,∴,

∴BC2=1,∴BC=.

(2)如图,以D为原点,分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

可得A(,0,0),B(,1,0),M,P(0,0,1),=(-,0,1),

=(-,-1,1).

设平面AMP的法向量为m=(x1,y1,z1),则

令x1=,则y1=1,z1=2,可取m=(,1,2).

设平面BMP的法向量为n=(x2,y2,z2),

同理可取n=(0,1,1).

则cos<m,n>=.

设二面角A-PM-B的平面角为θ,则sin θ=.