人教版高考数学一轮复习考点规范练43直线与圆、圆与圆的位置关系含答案

考点规范练43　直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为(　　)

A. B. C.4 D.3

答案  A

解析  圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心(1,3)到直线x-3y+3=0的距离d=,故弦长为2.故选A.

2.(多选)(2021广东潮州二模)已知圆C:x2+y2-2ax+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是(　　)

A.-3 B.3 C.2 D.-2

答案  CD

解析  圆C的方程可化为(x-a)2+y2=1,则圆心C(a,0),半径r1=1.

由圆D的方程,可知圆心D(0,0),半径r2=2.

因为圆C与圆D有且仅有两条公切线,所以两圆相交,

所以2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.

故选CD.

3.过点P(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为(　　)

A.y=- B.y=-

C.y=- D.y=-

答案  B

解析  圆C:(x-1)2+y2=1的圆心C为(1,0),半径为1,则以|PC|==2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-.

4.(多选)在同一平面直角坐标系中,直线ax-y+a=0与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能是(　　)

答案  AD

解析  圆(x+a)2+y2=a2的圆心为(-a,0),半径为|a|,圆心到直线的距离为d=,令<|a|,可得<1,即1-2a+a2<1+a2,化简得a>0.

则当a>0时,直线与圆相交,故A正确,C不正确;

当a<0时,直线与圆相离,故D正确,B不正确.

5.已知直线y=x+m与圆O:x2+y2=16相交于M,N两点,若∠MON≥,则m的取值范围是 (　　)

A.[-2,2] B.[-4,4]

C.[-2,2] D.[0,2]

答案  C

解析  如图,过点O作OH⊥MN,垂足为H,由∠MON≥,得∠MOH≥,可得OH≤2.

所以点O到直线x-y+m=0的距离d=≤2,所以-2≤m≤2.

所以m的取值范围是[-2,2].

故选C.

6.(2021青海西宁二模)已知圆C1:x2+y2-2x+4y+4=0,圆C2:x2+y2+x-y-m2=0(m>0),若圆C2平分圆C1的圆周,则m的值为(　　)

A.3 B.2 C.4 D.1

答案  A

解析  由题意,可知点C1(1,-2),圆C1与圆C2相交,则相交弦所在直线方程为3x-5y-m2-4=0.

因为圆C2平分圆C1的圆周,所以点C1在相交弦所在直线上,所以3+10-m2-4=0,即m2=9.

又m>0,所以m=3.

7.(多选)(2021山东淄博三模)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则(　　)

A.圆O1和圆O2有两条公切线

B.直线AB的方程为x-y+1=0

C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|

D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+

答案  ABD

解析  对于A,因为两圆相交,所以有两条公切线,故A正确.

对于B,将两圆方程相减,可得直线AB的方程为-2x+2y-2=0,即x-y+1=0,故B正确.

对于C,因为直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,所以圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误.

对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+,故D正确.

故选ABD.

8.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则=　　　　　. 

答案 

解析  由题意,得圆心为O(0,0),半径为1.如图所示,∵P(1,),

∴PB⊥x轴,|PA|=|PB|=.又△POA为直角三角形,|OA|=1,|PA|=,∴∠OPA=30°,∴∠APB=60°.

∴=||||·cos∠APB=×cos 60°=.

9.在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是　　　　　. 

答案 

解析  圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为C(4,0),半径为1.

由题意知圆心C(4,0)到直线kx-y-2=0的距离应不大于2,即≤2,整理得3k2-4k≤0,解得0≤k≤.故k的最大值是.

10.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C的切线l,切点为M.

(1)若点P的坐标为(1,3),求此时切线l的方程;

(2)求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程.

解圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,

则圆心为C(-1,2),半径r=2.

(1)当l的斜率不存在时,l的方程为x=1,此时圆心C到l的距离d=2=r,满足题意.当l的斜率存在时,设斜率为k,得l的方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,则=2,解得k=-,故l的方程为y-3=-(x-1),即3x+4y-15=0.

综上,切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.

(2)设点P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,

因为|PM|=|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得2x-4y+1=0,

所以点P的轨迹方程为2x-4y+1=0.