人教版高考数学一轮复习考点规范练45双曲含答案

考点规范练45　双曲线

1.设曲线C是双曲线,则“双曲线C的方程为x2-=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±2x”的(　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

答案  A

解析  若双曲线C的方程为x2-=1,则渐近线方程为y=±2x;若渐近线方程为y=±2x,则双曲线C的方程为x2-=λ(λ≠0).所以“双曲线C的方程为x2-=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±2x”的充分不必要条件.故选A.

2.在平面直角坐标系Oxy中,已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为1,则双曲线C的方程为(　　)

A.=1 B.-y2=1

C.=1 D.x2-=1

答案  D

解析  因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2.又双曲线C的离心率为,所以,即b2=4a2,解得a2=1,b2=4.所以双曲线C的方程为x2-=1.故选D.

3.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M为双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线的实轴长是(　　)

A.32 B.16 C.84 D.4

答案  B

解析  由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=x上,由题意可知|F2M|==b,所以|OM|==a.由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,,所以a=8,b=4,c=4,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.

4.(2021全国Ⅱ,理5)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为双曲线C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则双曲线C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

答案  A

解析  不妨设|PF2|=1,则|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=7,所以2c=|F1F2|=,所以c=.

由双曲线的定义,可知2a=|PF1|-|PF2|=2,所以a=1.所以离心率e=.

5.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使=e,则的值为(　　)

A.3 B.2 C.-3 D.-2

答案  B

解析  由题意及正弦定理得=e=2,∴|PF1|=2|PF2|.

由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,

∴|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=4,由余弦定理可知

cos∠PF2F1=,

∴=||·||·cos∠PF2F1=2×4×=2.故选B.

6.(2021河北唐山二模)已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,A为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,B为渐近线上一点,O为坐标原点.若四边形OFAB为菱形,则双曲线C的离心率e=(　　)

A.2 B.3 C. D.+1

答案  D

解析  依题意,双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点F为(c,0),渐近线方程为y=±x.

因为四边形OFAB为菱形,点A在双曲线C的右支上,且在x轴上方,点B在渐近线上,所以点B在渐近线y=-x上,|OB|=|AB|=|OF|=c.

如图,设点B(x,-x),x<0,则|OB|==c,解得x=-a,可得点B(-a,b).

因为AB∥OF,所以点A的纵坐标为b,代入双曲线C的方程,可得点A(a,b).

所以|AB|=a+a=c,所以e=+1.

7.(2021新高考Ⅱ,13)若双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程为　　　　　. 

答案  y=±x

解析  由已知得e==2,即c=2a.

又a2+b2=c2=4a2,

所以b2=3a2,所以.

故此双曲线的渐近线方程为y=±x.

8.已知以直线y=±x为渐近线的双曲线D:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P为双曲线D右支上任意一点,则的取值范围是　　　　　. 

答案  (0,]

解析  ∵双曲线D:=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x,

∴,可得b=a,c==2a.

∵P为双曲线D右支上一点,

∴|PF1|-|PF2|=2a,

|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c,

∴0<.

∵c=2a,∴,∴的取值范围是(0,].

9.已知双曲线C的离心率为,且过点(,0),过双曲线C的右焦点F2,作倾斜角为的直线交双曲线C于A,B两点,O为坐标原点.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)求△AOB的面积.

解(1)由题意可得,双曲线C的焦点在x轴上,且a=,b2=c2-a2,解得a2=3,b2=6,

所以双曲线C的方程为=1.

(2)由(1)可得F2(3,0),由题意可知直线方程为y=(x-3).

设点A(x1,y1),B(x2,y2),

由

整理可得x2-18x+33=0,

则有x1+x2=18,x1x2=33.可得y1-y2=[(x1-3)-(x2-3)]=(x1-x2),

所以S△AOB=|OF2|·|y1-y2|=×3×=36.

故△AOB的面积为36.