人教版高考数学一轮复习考点规范练48分类加法计数原理与分步乘法计数原理含答案

考点规范练48　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.十字路口来往的车辆,如果不允许掉头,那么行车路线共有(　　)

A.24种 B.16种 C.12种 D.10种

答案  C

解析  根据题意,行车路线的起点有4种,行驶方向有3种,因此行车路线共有4×3=12(种).故选C.

2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8,9},从集合A,B中各取一个数,能组成的没有重复数字的两位数的个数为(　　)

A.52 B.58 C.64 D.70

答案  B

解析  依题意,分四类:第一类,从1,2和6,7,8,9中各取一个数,组成的两位数有2×4×2=16(个);第二类,从3,4,5和6,7,8,9中各取一个数,组成的两位数有3×4×2=24(个);第三类,从1,2和3,4,5中各取一个数,组成的两位数有2×3×2=12(个);第四类,从3,4,5中取两个不同的数,组成的两位数有3×2=6(个).故组成的没有重复数字的两位数有16+24+12+6=58(个).

3.如图,给A,B,C,D,E 5个点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数为(　　)

A.24 B.48 

C.96 D.120

答案  C

解析  先涂A,B,E三个点,有4×3×2=24(种)涂色方法;再涂点C,有2种涂色方法;最后涂点D,有2种涂色方法.故不同的涂色方法有24×2×2=96(种).

4.(2021广东揭阳一模)某学校有东、南、西、北四个校门,受新冠肺炎疫情的影响,学校对进入四个校门做出如下规定:学生只能从东门或西门进入校园,教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园(不分先后顺序),则进入校园的方式共有(　　)

A.6种 B.12种 C.24种 D.32种

答案  D

解析  第一步安排学生,因为学生只能从东门或西门进入校园,所以3名学生进入校园的方式共有23=8(种);

第二步安排教师,因为教师只能从南门或北门进入校园,所以2名教师进入校园的方式共有22=4(种).

由分步乘法计数原理,可知2名教师和3名学生进入校园的方式共有8×4=32(种).

5.已知集合M={1,-1,2},N={-3,4,6,-8},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在平面直角坐标系中位于第一、第二象限内的不同点的个数为(　　)

A.18 B.16 C.14 D.12

答案  C

解析  分两类:第一类,M中的元素作为点的横坐标,N中的元素作为点的纵坐标,在第一象限内的点共有2×2=4(个),在第二象限内的点共有1×2=2(个);第二类,M中的元素作为点的纵坐标,N中的元素作为点的横坐标,在第一象限内的点共有2×2=4(个),在第二象限内的点共有2×2=4(个).

故所求不同点的个数为4+2+4+4=14.

6.如图,现提供5种颜色给图中5个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方法共有(　　)

A.120种 B.260种 C.340种 D.420种

答案  D

解析  先涂区域1,2,5,有=60(种)涂色方法;再涂区域3,4,若区域3与区域1同色,则区域3只有1种涂色方法,区域4有3种涂色方法,若区域3与区域1不同色,则区域3有2种涂色方法,区域4有2种涂色方法.故不同的涂色方法有60×(1×3+2×2)=420(种).

7.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是　　　　　. 

答案  36

解析  另两边长用x,y(x,y∈N*)表示,且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须x+y≥12.当y取11时,x可取1,2,3,…,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,…,10,有9个三角形;……当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.

因此所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.

8.已知有5名同学参加某演讲比赛,其中3名女生,2名男生.若男生不排第一个演讲,且两名男生不能相邻演讲,则不同的演讲顺序有　　　　　种.(用数字作答) 

答案  36

解析  第一步,安排女生演讲顺序,有3×2×1=6(种);第二步,安排男生演讲顺序,女生安排好后,有4个空位,因为男生不排第一个演讲,且两名男生不能相邻演讲,所以只有3个空位可选,有3×2=6(种).故演讲顺序有6×6=36(种).

9.在数字0,1,2,3,4,5,6中,任取3个不同的数字为系数a,b,c组成二次函数y=ax2+bx+c,则一共可以组成　　　　　个不同的解析式. 

答案  180

解析  分三步完成:第一步任取一个数为a,由于a不为0,有6种方法;第二步从剩余的6个数中任取一个数为b,有6种方法;第三步从剩余的5个数中任取一个数为c,有5种方法.由分步乘法计数原理,可知共有6×6×5=180(个)不同的解析式.

10.我们把中间位上的数字最大,而两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132,341等,则从1,2,3,4,5中任取3个数,可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是　　　　　. 

答案  20

解析  根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类.

第一类,当中间数字为“3”时,此时有2种;

第二类,当中间数字为“4”时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有=6(种);

第三类,当中间数字为“5”时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有=12(种).

根据分类加法计数原理,可知组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20.

11. 如图,用4种不同的颜色给图中5个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,且4种颜色都要使用,则不同的涂色方法种数为　　　　　. 

答案  96

解析  按区域1与3是否同色分类:

第一类,区域1与3同色,第一步,涂区域1与3,有4种涂色方法;第二步,涂区域2,4,5,有种涂色方法.

故当区域1与3同色时,共有4=24(种)涂色方法.

第二类,区域1与3不同色,第一步,涂区域1与3,有种涂色方法;第二步,涂区域2,有2种涂色方法;第三步,涂区域4,只有1种涂色方法;第四步,涂区域5,有3种涂色方法.

故当区域1与3不同色时,共有×2×1×3=72(种)涂色方法.

由分类加法计数原理,可知不同的涂色方法种数为24+72=96.