人教版高考数学一轮复习考点规范练59正态分布含答案

考点规范练59　正态分布

1.已知随机变量X服从正态分布N(1,0.16),则下列结论不正确的是(　　)

A.E(X)=1 B.D(X)=0.4

C.P(X>1)=0.5 D.D(X)=0.16

答案  B

解析  因为随机变量X服从正态分布N(1,0.16),

所以μ=1,σ=0.4,

所以E(X)=1,D(X)=0.16,P(X>1)=0.5.

2.(多选)(2021河北沧州模拟)甲、乙两名高中同学历次数学测试的成绩(百分制)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法正确的是(　　)

附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.

A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩

B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩

C.甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近

D.若σ1=5,则随机抽取一次,甲同学的成绩高于80的概率约为0.158 65

答案  ACD

解析  由曲线知,甲同学的平均成绩为75,乙同学的平均成绩为85,所以乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩,故A正确,B错误.

由曲线可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近,故C正确.

若σ1=5,则随机抽取一次,甲同学的成绩高于80的概率约为0.5-×0.682 7=0.158 65,故D正确.

故选ACD.

3.(多选)4月23日为世界读书日,已知某高校学生每周阅读时间X(单位:h)服从正态分布N(9,4),则下列说法正确的是(　　)

附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.

A.该校学生每周平均阅读时间为9 h

B.该校学生每周阅读时间的标准差为4

C.该校学生每周阅读时间不超过3 h的人数约占该校学生总人数的0.3%

D.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在3~5 h的人数约为214

答案  AD

解析  因为X~N(9,4),所以μ=9,σ=2,所以该校学生每周平均阅读时间为9 h,该校学生每周阅读时间的标准差为2,故A正确,B错误.

因为P(3≤X≤15)≈0.997 3,

所以P(X≤3)=≈0.001 35,

所以该校学生每周阅读时间不超过3 h的人数约占该校学生总人数的0.135%,故C错误.

因为P(5≤X≤13)≈0.954 5,所以P(3≤X≤5)=[P(3≤X≤15)-P(5≤X≤13)]≈0.021 4,

所以每周阅读时间在3~5 h的人数约为10 000×0.021 4=214,故D正确.

4.(2021辽宁锦州一模)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X>-1)+P(X≥5)=1,则μ=(　　)

A.-1 B.1 C.-2 D.2

答案  D

解析  因为P(X>-1)+P(X≥5)=1,而P(X>-1)+P(X≤-1)=1,

所以P(X≥5)=P(X≤-1).

又X~N(μ,σ2),所以μ==2.

5.已知某大型企业为10 000名员工定制工作服,设员工的身高X(单位:cm)服从正态分布N(172,52),则适合身高在177~182 cm的员工的工作服大约要定制　　　　　套. 

答案  1 359

解析  因为X~N(172,52),所以P(167≤X≤177)≈0.682 7,

P(162≤X≤182)≈0.954 5,

所以P(177≤X≤182)=[P(162≤X≤182)-P(167≤X≤177)]≈0.135 9.

所以适合身高在177~182 cm的员工的工作服大约要定制10 000×0.135 9=1 359(套).

6.某高速公路收费站有三个高速收费口,每天通过每个收费口的汽车数X(单位:辆)均服从正态分布N(600,σ2),若P(500≤X≤700)=,三个收费口均能正常工作,且互不影响,则该收费站每天至少有一个收费口通过的汽车超过700辆的概率为　　　　　. 

答案 

解析  因为X~N(600,σ2),P(500≤X≤700)=,所以P(X>700)=[1-P(500≤X≤700)]=.

所以所求概率为1-.

7.某市教育局为了解高三学生的体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分).经分析,全市高三学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2).已知P(X<75)=0.3,P(X>95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三名学生.

(1)求抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(80,85),(85,95),(95,100)内各有一人的概率;

(2)记抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(75,85)内的人数为Y,求随机变量Y的分布列和均值.

解(1)因为X~N(80,σ2),

所以P(X>85)=P(X<75)=0.3,

所以P(80<X<85)=0.5-P(X>85)=0.2,P(95<X<100)=P(X>95)=0.1,

P(85<X<95)=0.5-0.2-0.1=0.2.

故所求概率P=×0.2×0.2×0.1=0.024.

(2)因为X~N(80,σ2),P(80<X<85)=0.2,

所以P(75<X<85)=2P(80<X<85)=0.4.

由题意知Y~B(3,0.4),

则P(Y=0)=0.63=0.216,

P(Y=1)=×0.4×0.62=0.432,

P(Y=2)=×0.42×0.6=0.288,

P(Y=3)=0.43=0.064.

故Y的分布列为

E(Y)=3×0.4=1.2.