山东省济南市章丘区实验中学2022-2023学年下学期九年级数学开学考试测试卷

山东省济南市章丘区实验中学

2022-2023学年第二学期九年级数学假期开学考试测试卷（附答案）

一、选择题（满分30分）

1．下列各数中，最小的数是（　　）

A．﹣3 B．0 C．1 D．2

2．下列运算正确的是（　　）

A．3xy﹣xy＝2 B．x3•x4＝x12 

C．x﹣10÷x2＝x﹣5 D．（﹣x3）2＝x6

3．在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为（　　）

A．26×103 B．2.6×103 C．2.6×104 D．0.26×105

4．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于（　　）

A．80° B．100° C．110° D．120°

5．解一元一次方程（x+1）＝1﹣x时，去分母正确的是（　　）

A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x 

C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x

6．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）

A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69

7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C． D．2

8．如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（　　）

A．1cm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm

9．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝CM；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A．+ B．+1 C．2+1 D．2﹣

二、填空题（满分24分）

11．分解因式：a2+ab＝　   　．

12．一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有2个黄球和若干个白球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是，则白球的个数是　   　．

13．若代数式的值是1，则a＝　   　．

14．A，B两地相距240km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止．在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线CD﹣DE﹣EF所示．其中点C的坐标是（0，240），点D的坐标是（2.4，0），则点E的坐标是　   　．

15．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是 　   　．

16．如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α（0°≤a≤90°），连接BG，DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．以下四个结论：①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE．其中结论正确的是 　   　．

三、解答题（46分）

17．计算：

（1）（x+y）2+x（x﹣2y）；

（2）（1﹣）÷．

18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．

（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；

（2）求证：AE＝CF．

19．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．

（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？

（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．

20．若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；

（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．

①当m＝时，求点P的坐标；

②求m的最大值．

参考答案

一、选择题（满分30分）

1．解：因为﹣3＜0＜1＜2，

所以其中最小的数是﹣3．

故选：A．

2．解：A.3xy﹣xy＝2xy，故本选项不合题意；

B．x3•x4＝x7，故本选项不合题意；

C．x﹣10÷x2＝x﹣12，故本选项不合题意；

D．（﹣x3）2＝x6，故本选项符合题意．

故选：D．

3．解：26000＝2.6×104，

故选：C．

4．解：如图所示，

∵AB∥CD

∴∠ABE＝∠1＝50°，

又∵∠2是△ABE的外角，

∴∠2＝∠ABE+∠E＝50°+60°＝110°，

故选：C．

5．解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，

故选：D．

6．解：∵x2﹣8x﹣5＝0，

∴x2﹣8x＝5，

则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，

∴a＝﹣4，b＝21，

故选：A．

7．解：连接CD，

∵AB＝BC，∠BAC＝30°，

∴∠ACB＝∠BAC＝30°，

∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，

∵AD是直径，

∴∠ACD＝90°，

∵∠CAD＝30°，AD＝8，

∴CD＝AD＝4，

∴AC＝＝＝4，

故选：B．

8．解：过F作FH⊥BC于H，

∵高AG＝2cm，∠B＝45°，

∴BG＝AG＝2cm，

∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，

∴EH＝，

∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，

∴AF＝CE，

∵AG⊥BC，FH⊥BC，

∴AG∥FH，

∵AG＝FH，

∴四边形AGHF是矩形，

∴AF＝GH，

∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+2＝6，

∴AF＝2﹣（cm），

故选：D．

9．解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，

∴∠DAN＝∠BCM，

∵BF⊥AC，DE∥BF，

∴DE⊥AC，

∴∠DNA＝∠BMC＝90°，

在△DNA和△BMC中，

，

∴△DNA≌△BMC（AAS），

∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（ASA），

∴AE＝FC，DE＝BF，

∵CF＞CM，

∴AE＞CM，故③错误；

∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，

∵DE∥BF，

∴四边形NEMF是平行四边形，

∴EM∥FN，故②正确；

∵AB＝CD，AE＝CF，

∴BE＝DF，

∵BE∥DF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∵AO＝AD，

∴AO＝AD＝OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠ADO＝∠DAN＝60°，

∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，

∵DE⊥AC，

∴∠ADN＝∠ODN＝30°，

∴∠ODN＝∠ABD，

∴DE＝BE，

∴四边形DEBF是菱形；故④正确；

正确结论的个数是3个，

故选：C．

10．解：以B为圆心，1的长为半径作⊙B，在点O的左侧，取OD＝OA＝2，连接CD，

∵BC＝1，

∴点C在⊙B上，

∵AM＝CM，OD＝OA，

∴OM是△AC的中位线，

∴OM＝CD，

当OM最大时，即CD最大，当D，B，C三点共线时，OM最大，

∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，

∴△BOD是等腰直角三角形，

∴BD＝BO＝2，

∴CD＝2+1，

∴OM＝CD＝+，

∴OM的最大值是+；

故选：A．

二、填空题（满分24分）

11．解：a2+ab＝a（a+b）．

12．解：设白球有x个，

则＝，

解得：x＝8，

经检验：x＝8是原分式方程的解；

所以白球有8个．

故答案为8．

13．解：根据题意得：＝1，

去分母得：a+1＝2a﹣1，

解得：a＝2，

经检验a＝2是分式方程的解，

则a＝2．

故答案为：2．

14．解：根据题意可得，乙货车的速度为：240÷2.4﹣40＝60（km/h），

∴乙货车从B地到A地所用时间为：240÷60＝4（小时），

当乙货车到达A地时，甲货车行驶的路程为：40×4＝160（千米），

∴点E的坐标是（4，160）．

故答案为：（4，160）．

15．解：连接OA，

∵∠ABO＝60°，OA＝OB，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB＝8，

∴⊙O的半径为8，

∵AD∥OB，

∴∠DAO＝∠AOB＝60°，

∵OA＝OD，

∴∠AOD＝60°，

∵∠AOB＝∠AOD＝60°，

∴∠DOE＝60°，

∵DC⊥BE于点C，

∴CD＝OD＝4，OC＝＝4，

∴BC＝8+4＝12，

S阴影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE﹣S△BCD

＝×+2×﹣

＝﹣8

故答案为﹣8．

16．解：∵∠DAB＝∠EAG＝90°，

∴∠DAE＝∠BAG，且AD＝AB，AG＝AE，

∴△DAE≌△BAG（SAS）

∴BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，故①符合题意，

如图，设点DE与AB交于点P，过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，

∵∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，

∴∠DAP＝∠BOP＝90°，

∴BG⊥DE，故②符合题意，

∵△DAE≌△BAG，

∴S△DAE＝S△BAG，

∴DE×AM＝×BG×AN，且DE＝BG，

∴AM＝AN，且AM⊥DE，AN⊥BG，

∴AO平分∠DOG，

∴∠AOD＝∠AOG，故③符合题意，

如图2，过点G作GH⊥AD于H，过点E作EQ⊥DQ于Q，

∴∠EAQ+∠AEQ＝90°，且∠EAQ+∠GAQ＝90°，

∴∠AEQ＝∠GAQ，且AE＝AG，∠EQA＝∠AHG＝90°，

∴△AEQ≌△GAH（AAS）

∴AQ＝GH，

∴AD×GH＝×AB×AQ，

∴S△ADG＝S△ABE，

故④不符合题意，

故答案为：①②③．

三、解答题（46分）

17．解：（1）（x+y）2+x（x﹣2y），

＝x2+2xy+y2+x2﹣2xy，

＝2x2+y2；

（2）（1﹣）÷，

＝（﹣）×，

＝×，

＝．

18．（1）解：∵AE⊥BD，

∴∠AEO＝90°，

∵∠AOE＝50°，

∴∠EAO＝40°，

∵CA平分∠DAE，

∴∠DAC＝∠EAO＝40°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC＝40°；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEO＝∠CFO＝90°，

∵∠AOE＝∠COF，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴AE＝CF．

19．解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，

依题意，得：，

解得：．

答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．

（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，

依题意，得：，

解得：20＜m≤22．

又∵m为正整数，

∴m可以为21，22．

∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．

20．解：（1）一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），

将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设直线BE交y轴于点M，

从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝1，

∵CD∥x轴交抛物线于点D，故点D（2，﹣3），

由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB＝∠DCB＝45°，

∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，

而BC＝BC，

故△BCD≌△BCM（ASA），

∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故点M（0，﹣1），

设直线BE的表达式为：y＝kx+b，则，解得，

故直线BE的表达式为：y＝x﹣1；

（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，

则△PFN∽△AFB，则，

而S△BFP＝mS△BAF，则＝，解得：m＝PN，

①当m＝时，则PN＝2，

设点P（t，t2﹣2t﹣3），

由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，当x＝t﹣2时，y＝t﹣5，故点N（t﹣2，t﹣5），

故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，

解得：t＝1或2，故点P（2，﹣3）或（1，﹣4）；

②m＝PN＝[t﹣（t2﹣2t）]＝﹣（t﹣）2+，

∵＜0，故m的最大值为．