2023年山东省临沂市莒南县中考数学二模试卷-普通用卷

2023年山东省临沂市莒南县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，属于轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. 是的平方根 B. 是的平方根
C. 是的平方根 D. 是的平方根

5.  若，，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

7.  如图，是圆的直径，弦平分，过点的切线交于点，，则下列结论错误的是(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  已知二次函数的图象经过点，则当时，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，▱中，要在对角线上找点、，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是(    )
甲：只需要满足
乙：只需要满足
丙：只需要满足

A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、丙才是 C. 只有甲、乙才是 D. 只有乙、丙才是

10.  如图，锐角中，，求作一点，使得与互补，甲、乙两人作法分别如下：
甲：以为圆心，长为半径画弧交于点，则即为所求
乙：作的垂直平分线和的平分线，两线交于点，则即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列叙述正确的是(    )

A. 两人皆正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 两人皆错误

11.  某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法正确的是(    )

A. 当时，
B. 与的函数关系式是
C. 当时，
D. 当时，的取值范围是

12.  设备每年都需要检修，该设备使用年数单位：年，为正整数且与每年至第年该设备检修支出的费用总和单位：万元满足关系式，结论正确的是(    )

A. 从第年起，每年的检修费用比上一年增加万元
B. 从第年起，每年的检修费用比上一年减少万元
C. 第年至第年平均每年的检修费用为万元
D. 第年至第年平均每年的检修费用为万元

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  化简：______．

14.  如图，小明行李箱密码锁的密码是由“，，”这三个数组合而成的三位数不同数位上的数字不同，现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为______ ．

15.  某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图，已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是______

16.  已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：并在数轴上表示解集．

先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量；
求小聪成绩的方差；
现求得小明成绩的方差为单位：平方分，根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．

19.  本小题分
圭表如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角即为，夏至正午太阳高度角即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离即的长为米．

求的度数；
求表的长最后结果精确到米．
参考数据：，，，

20.  本小题分

如图，点光源射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像已知 ，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为单位：，长为单位：，当时，．

 求的长．

 求关于的函数解析式，在图中画出图象，并写出至少一条该函数性质．

 若要求不小于 ，求的取值范围．

21.  本小题分
如图，半径为的与的边相切于点，交边于点，，，连结，．
若，求的长结果保留．
求证：平分．

22.  本小题分
如图，正方形的边长为，点是边上一点，过点作．
设以线段，为邻边的矩形的面积为，以为边的正方形的面积为，且，求的长；
连结，，若是的中点，交于点，连结，求证：．

23.  本小题分
已知函数为常数的图象经过点，．
求，的值．
当时，求的最大值与最小值的差．
当时，若的最大值与最小值之和为，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
四个数中，最小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，由此即可判断．
本题考查有理数的大小比较，关键是掌握理数的大小比较法则．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、、不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据单项式与单项式的乘法法则计算即可．
本题考查了单项式与单项式的乘法．解题的关键在于熟练掌握运算法则．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查算术平方根与平方根，解题的关键是正确理解算术平方根与平方根的定义，本题属于基础题型．
根据平方根与算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】
解：、的平方根是，故A不符合题意．
B、的平方根是，故B不符合题意．
C、没有平方根，故C不符合题意．
D、是的平方根，故D符合题意．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
故A不符合题意，符合题意；
与的大小不能确定，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意，
故选：．
根据不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，依次进行判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式与一元二次方程根的关系列出不等式组，解答即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义和根的判别式与一元二次方程根的关系是解决问题的关系．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，角平分线的定义以及平行线的判定，正确判定是解题的关键．
根据切线的性质得到，证明，由此判断、选项；过点作于，构造直角，利用矩形的性质、直角三角形性质判断选项；利用三角形外角性质求得的度数，从而判断选项．
【解答】
解：弦平分，，
．
．
故选项D不符合题意；
，
，
，即，故选B不符合题意；
是的切线，
．
故选项A不符合题意；
如图，过点作于，则四边形是矩形，
．
在直角中，．
，
．
故选项C符合题意．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：将点代入，
得：，
解得：，
该二次函数的表达式为：，
该函数的对称轴为直线，
，
该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大，
，
再之间，当时，函数有最大值，
当时，函数有最小值，
当时，的取值范围是．
故选：．
先将点代入求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在时的最大值和最小值即可．
本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握时，函数开口向上，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴右边，随的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，随的增大而增大，在对称轴右边，随的增大而减小．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
甲：在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形为平行四边形，故甲正确；
乙：由，不能证明≌，不能四边形为平行四边形，故乙不正确；
丙：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形为平行四边形，故丙正确；
故选：．
只要证明≌，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及一般作图．
甲：根据作图可得，利用等边对等角得：，由平角的定义可知：，根据等量代换可作判断；
乙：利用角平分线的性质，作辅助线，证明≌，可得，作判断即可．
【解答】
解：甲：如图，

，
，

，
甲正确；
乙：如图，过作于，作于，

平分，
，
是的垂直平分线，
，
≌，
，
，
，
，
，
乙正确；
故选A．  

11.【答案】 

【解析】解：设与的函数关系式是，
该图象经过点，
，
，
与的函数关系式是，故B不符合题意；
当时，，
，
随增大而减小，
当时，，当时，，当时，的取值范围是，故A、不符合题意，符合题意．
故选：．
设与的函数关系式是，利用待定系数法求出，然后求出当时，，再由，得到随增大而减小，由此对各选项逐一判断即可．
本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
A、，第年比第年的检修费用比上一年增加万元，不符合题意；
B、，应该是“从第年起，每年的检修费用比上一年增加万元”，不符合题意；
C、，第年至第年平均每年的检修费用为万元，不符合题意；
D、，第年至第年平均每年的检修费用为万元，符合题意．
故选：．
分别取、、、、，求得相应的值；然后根据选项进行相应的解答．
本题主要考查了一次函数的应用，难度不大，代入求值即可．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据同分母得分是加减运算法则计算即可求得答案．
此题考查了同分母的分式加减运算法则．题目比较简单，注意结果需化简．
 

14.【答案】 

【解析】解：共有、、、、、这种等可能结果，其中正确的只有种结果，
现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为．
故答案为：．
根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，由题意得，，，
，，
又，
，
，
优弧的长为，
故答案为：．
根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出扇形圆心角的度数以及半径，再根据弧长公式进行计算即可．
本题考查垂径定理，矩形的性质以及弧长的计算，掌握弧长的计算方法，矩形的性质以及垂径定理是正确解答的前提．
 

16.【答案】 

【解析】解：点、是二次函数图象上的两个点，
对称轴为直线，开口向上，
当时，随的增大而减小，
该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧，

解得：，
故答案为：．
首先根据点、是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，随的增大而减小，可得，据此即可求解．
本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：解不等式组，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
将解集表示在数轴上，如图．

原式

，
当时，
原式． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，分式的化简求值，分母有理化，掌握相应的计算方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
小聪成绩的平均数：分，
小明成绩的平均数：分，
答：应选择平均数，小聪、小明的平均数分别是分，分；
小聪成绩的方差为：平方分；
小聪同学的成绩较好，
理由：由可知两人的平均数相同，因为小聪成绩的方差小于小明成绩的方差，成绩相对稳定．故小聪同学的成绩较好． 

【解析】要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义计算出两人的平均数即可；
根据方差的计算方法计算即可；
由可知两人的平均数相同，由方差可知小聪的成绩波动较小，所以方差较小，成绩相对稳定．
本题考查平均数、方差，折线统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会计算一组数据的平均数和方差．
 

19.【答案】解：，，
，
答：的度数是．
在中，，
．
在中，，
，
，
，
米，
答：表的长约是米． 

【解析】根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；
分别求出和的正切值，用表示出和，得到一个只含有的关系式，再解答即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：，
∽，
，
，
解得，
答：的长为；
由得，，
，
或，

性质：当时，随的增大而减小，
注：写出其他性质，只要合理均可给分．
由，，
则，
解得，
的取值范围为：． 

【解析】因为光源与胶片组成的三角形与光源与投影后的图象组成的三角形相似，所以可用相似三角形的相似比解答；
将的值代入解析式求得函数解析式，画出图象，总结函数的增减性；
求出当时的取值范围即可．
本题考查的是相似三角形的运用，求函数的解析式，画函数的图象，求不等式的解集，解答此题的关键是找出相似三角形，利用三角形对应高线的比等于相似比解答．
 

21.【答案】解：连结，如图：

，
，
；
证明：，
，
切于点，
，
又，
，

又有，
，
平分． 

【解析】连结，由，得，由弧长公式即得的长为；
根据切于点，，可得，有，而，即可得，从而平分．
本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质．
 

22.【答案】解：设，则，
，，
，
解得，舍去，
；
证明：如图，连接，，

四边形是正方形，
垂直平分线，
，
是的中点，，
，
． 

【解析】设，则，可得，，进而可以解决问题；
连接，，根据正方形的对角线互相垂直平分可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，一元二次方程，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

23.【答案】解：把，代入，得：
，
解得：；
由得：该函数解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
，
抛物线开口向下，
又，
当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
最大值与最小值的差为，
由得：抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大，
当时，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
，
或舍去．
当时，
当时，有最大值为，
的最大值与最小值之和为，
最小值为，

或舍去．
综上所述，或． 

【解析】把，代入，待定系数法求二次函数解析式即可求解；
根据题意，当时，抛物线开口向下，求得顶点坐标，当时，有最大值为，当时，有最小值为，即可求解；
当时，当时，分类讨论，根据二次函数的性质，结合题意即可求解．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．