2022-2023学年上海市闵行区莘庄中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市闵行区莘庄中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设，则“”是“”的(    )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

2.  “”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

3.  已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将函数的图象向下平移个单位，得到的图象，若，其中，，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.  若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为______．

6.  函数的最小正周期为______ ．

7.  已知且，则 ______ ．

8.  已知，，则在向上的数量投影为______ ．

9.  已知角的终边经过点，则 ______ ．

10.  在中，若，，其面积为，则的值为______ ．

11.  函数的部分图像如图所示，则 ______ ．

12.  将函数的图像向右平移个单位，再把所得函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则的单调递减区间为______ ．

13.  将函数的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数在上的最小值为______ ．

14.  直角中，，，，点是所在平面上任意一点，则向量的模为______．

15.  已知，，若存在，，对任意，恒成立，则 ______ ．

16.  已知函数，其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像若对任意，，当时，都有，则实数的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知三个内角、、对应边分别为、、，，．
若，求的面积；
设线段的中点为，若，求外接圆半径的值．

18.  本小题分
已知．
的周期是，求当，方程的解集；
已知，，，求的值域．

19.  本小题分
某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上．
若，求此红旗图案的面积；精确到
求组成的红旗图案的最大面积精确到
 

20.  本小题分
已知函数．
若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间；
若，函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小的正数的值．

21.  本小题分
已知函数．
当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值；
若为偶函数，设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若成立，可得，，
说明是其中的一个角，不一定刚好，充分性质不一定成立，
反之如果成立，则成立，必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据反三角函数的定义可以判断出．因为反正弦函数的值域为，说明题中的必要条件成立，而不具有充分性，故可得正确答案．
本题以反三角函数为载体，考查了必要条件和充分条件的判断问题，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了充分条件、必要条件和充要条件的判断，属于基础题．

容易看出，由可得出，而反之显然不成立，从而可得出“”是“”的充分不必要条件．

【解答】

解：若，则，
““是““的充分条件；
若，则，得不出，
“”不是“”的必要条件，
“”是“”的充分不必要条件．
故本题选A．

3.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，值域为，
即，
，．
当最小时，，，，此时．
当最大时，，，，此时．
的取值范围是，
故选：．
由题意，，求得的最小值和最大值，可得结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
首先求出函数的关系式，进一步利用函数的最小值确定的值，最后求出结果．
【解答】
解：将函数的图象向下平移个单位，
得到的图象．
所以：当，，且取最小值时，
，
所以：令：，，，，，时，
解得：，，，
故：当，时，．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：扇形的圆心角为，半径为，
扇形的面积为．
故答案为：．
由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
函数的最小正周期为．
故答案为：．
先利用二倍角公式化简，再利用三角函数的周期公式求解即可．
本题主要考查了二倍角公式的应用，考查了三角函数的周期公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：且，
，
，
．
故答案为：．
利用同角三角函数间的基本关系求解．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，，
向量在向量方向上的数量投影，．
故答案为：．
根据，，求出，再求出投影即可．
本题主要考查向量投影的计算，根据向量投影的定义转化为向量数量积是解决本题的关键，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意，，
则．
故答案为：．
由任意角三角函数的定义有，再根据二倍角公式即可得．
本题考查任意角三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，，其面积为，解得，
所以由余弦定理可得．
故答案为：．
由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理求得的值．
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由函数的部分图像知，
，，解得，所以，
又因为，
所以，，
解得，；
又因为，所以，
所以
故答案为：
根据函数的部分图像求出、和、的值．
本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，是基础题．
 

12.【答案】， 

【解析】解：将函数的图像向右平移个单位，可得的图象，
再把所得函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的图像，则对于，
令，，解得，，
所以的单调递减区间为，．
故答案为：，．
由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再根据正弦函数的图象的单调性，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在上的最小值．
【解答】
解：将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，
再根据所得图象关于原点对称，可得，即，，又因为，
，
，，故当时，取得最小值为，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：由题意，，，


．
故答案为：．
根据条件可得出，，，然后根据向量的加减运算及向量的数量积运算求解．
本题考查向量减法的几何意义，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为
作出在上的图象，如图所示：

由此可得，
又因为存在，，对任意，恒成立，
所以，，
所以．
故答案为：．
将的解析式写成分段函数的形式，作出在上的图象，结合图象可得，由题意可得，，代入计算即可得答案．
本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及数形结合思想，作出的图象是难点，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：一个对称中心是，
，，即，，
，当时，，即，
将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，
即，
由，得，
设，则不等式等价为当时，，
即若对任意，为增函数．

，
当时，，所以，
因为对任意，为增函数，
所以，所以，所以，
即的最大值为．
故答案为：．
根据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条件转化为当，为增函数，利用函数的单调性进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，根据函数的对称性，以及图象变换求出函数的解析式，构造函数，将条件转化为求函数的单调性是解决本题的关键，是中档题．
 

17.【答案】解因为，所以，
又，所以，
因为，所以，
所以的面积．
因为线段的中点为，若，
在中，由余弦定理可得，
整理可得，解得或舍去，所以，
在中，由余弦定理可得，
由知，
所以由正弦定理可得外接圆半径． 

【解析】由正弦定理可得，结合已知可得，进而求得，可求的面积；
在中，由余弦定理可得，可解得，进而在中，由余弦定理可得，利用正弦定理即可求得外接圆半径的值．
本题考查正余弦定理，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，属中档题．
 

18.【答案】解：因为函数的周期为，则，
所以，则，
所以或，
解得或，
又，则方程的解集为；
因为，则，
所以
，
因为，所以，
则，则，即为函数的值域． 

【解析】利用函数的周期求出的值，进而求出的关系式，然后根据余弦函数的性质求出的解；
根据正余弦函数的倍角公式以及辅助角公式化简，然后根据正弦函数的性质即可求解．
本题考查了正余弦函数的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意，则，，，
，
；
设，则，，
，
，
，
故当时，即时，取得最大值． 

【解析】由题意，求出，，，进而求出，再利用正方形面积公式即可算出结果．
设，用的三角函数表示出，，，进而表达出，再利用正方形面积公式结合三角函数的性质即可算出结果．
本题主要考查了三角函数的实际应用，三角函数的性质，属中档题．
 

20.【答案】解：若且的最大值为，
则，即，得，即，
则，
当时，，
由时，为增函数，此时，
即函数在上的单调递增区间是
若，，
，
由，得，
设，
当，则，设，则，
作出函数，的图象如图：
当时，，当时，，
当时，，
则要使函数在上有且仅有一个零点，
则或，即实数的取值范围
的一条对称轴方程为，
，
则满足，
平方得，得，得，
得，则，
则，
则，
存在常数，使得函数为偶函数，
则，，
即且，，
，当时，取得最小值，此时最小的正数． 

【解析】利用辅助角公式求出最大值，建立方程求出的值，利用函数的单调性进行求解即可．
求出函数的解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，利用数形结合进行求解即可．
根据函数的大小求出的值，求出，根据函数的奇偶性建立方程组进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用辅助角公式，利用函数的单调性，对称性以及最值性质进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
 

21.【答案】解：当时，，
所以当，，即，时，，
所以，此时，；
因为为偶函数，所以，
所以，
所以，
又因为在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，且在上恒成立，
因为，
所以，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为；
因为过点，
所以，又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
，
因为，所以，
又因为对任意的，，都有成立，
所以，
设，
则有，图象是开口向下、对称轴为的抛物线，
当时，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以；
当时，在上单调递减，
所以，
所以，解得，
所以；
当时，，
所以，解得，
所以，
综上所述：，
所以实数的取值范围为 

【解析】由题意可得，由正弦函数的性质求解即可；
由题意可得，，将问题转化为，且在上恒成立，结合正弦函数的性质，求出在上最值，即可求解；
由题意可得，，将问题转化为，结合正弦函数的性质及二次函数性质求解即可．
本题考查了正弦函数的性质、二次函数的性质、转化思想及分类讨论思想，属于中档题．