2022-2023学年上海市重点高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市重点高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市重点高级中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  个人排一排，甲乙不相邻，不同的排法有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种2.  二项式的展开式中，有理项有项．(    )A.  B.  C.  D. 3.  对于以下结论：
若公比，那么等比数列前项和存在极限；
为数列最大的项，那么对任意的都成立；
函数的导数为，若，那么为函数的极值点；
函数的导数为，若恒成立，那么是严格增函数．
正确的有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个4.  设函数，在上的导函数存在，且恒成立，则当时，下列不等式中一定成立的是(    )A.  B.
C.  D. 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.  等差数列首项为，公差为，则等差数列的通项公式为 ______ ．6.  两数与的等比中项为______ ．7.  将循环小数化为分数：． ______ 循环节为．8.  无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行
已知函数，则它的导函数 ______ ．9.  设函数，则______．10.  函数在处的切线方程为______ ．11.  二项式的展开式中，所有的系数之和为______ ．12.  某同学有本相同的小说书，本散文书从中取出本书送给个朋友，每人本，则不同的赠法有______ 种13.  数列满足：，，且，则该数列前项和 ______ ．14.  星期一小明在参加数学期中考试，那么再过天后是星期______ 填一、二、三、四、五、六、日．15.  的展开式中，含有的项为______ ．16.  某数学兴趣小组在阅读了选择性必修第一册中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣书上说，斐波那契数列满足：，；的通项公式为；在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列．
该学习兴趣小组成员也提出了一些结论：
数列是严格增数列数列的前项和满足；
；
．
那么以上结论正确的是______ 填序号．三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知等比数列首项为，公比为，前项和为，请推导等比数列的求和公式：；
已知等差数列前项和为，满足，，求的通项公式．18.  本小题分
已知二项式的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是：．
求展开式中含的项；
求系数最大的项．19.  本小题分
某工厂每天生产某种产品最多不超过件，产品的正品率与日产量件之间的关系为，每生产一件正品盈利 元，每出现一件次品亏损 元．注：正品率产品中的正品件数产品总件数
将日利润元表示成日产量件的函数；
该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．20.  本小题分
已知数列满足，．
求，；
求数列的通项公式；
如果数列满足，，若对，恒成立，求的最小值．21.  本小题分
已知函数．
当时，求的最大值；
讨论函数的单调性；
对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：个人排一排，不同的排法有种，
甲乙相邻，不同的排法有种，
故个人排一排，甲乙不相邻，不同的排法有种．
故选：．
利用总体剔除法和捆绑法，求解即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，，，，
令，则，，，，，，
即有理项有项．
故选：．
写出二项式展开式的通项公式，令的指数为整数，得出有理项的个数．
本题考查二项式定理的应用，考查有理项的求法，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：对于：若公比，
不妨设该等比数列中首项为，
当时，
等比数列前项和无极限，故错误；
对于：为数列最大的项，
不妨设数列，
此时，
所以不存在对任意的都成立，故错误；
对于：不妨设，函数定义域为，
可得，
其满足，
因为恒成立，
所以在定义域上单调递增，
则不是极值点，故错误；
对于：函数的导数为，若恒成立，
只能说明是单调递增函数，
无法确定为严格增函数，故错误，
综上得，四个结论都是错误的．
故选：．
由题意，结合令，结合等比数列的前项和判断；设数列为常数数列，进而可判断；设，对进行求导，利用导数研究函数的单调性，进而判断；结合单调递增和严格递增的区别即可判断．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和数学运算能力．
 4.【答案】 【解析】解：令，则，
则在区间上是增函数，故F，
即，
则，．
故选：．
由题意构造函数，则在区间上是增函数，故F，代入即可求解．
本题考查了函数单调性的应用，属于中档题．
 5.【答案】 【解析】解：等差数列首项为，公差为，则等差数列的通项公式为．
故答案为：．
由题意，根据等差数列的通项公式，得出结论．
本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：两数与的等比中项为．
故答案为：．
根据已知条件，结合等比中项的定义，即可求解．
本题主要考查等比中项的定义，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：．．
故答案为：．
纯循环小数化成分数，循环节有几个数字，分母就有几个，分子是循环节的数字；混循环小数化成分数，循环节有几个数字，分母就有几个，循环节前到小数点间有几位数字，分母后面就有几个，分子是混循环数字减去循环节前数字的差，有些化成的分数需要约分．
本题考查循环小数转化为分数的方法，解题时要认真审题，仔细解答．
 8.【答案】 【解析】解：，
．
故答案为：．
根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】本题考查函数求导运算，属于基础题．
利用求导法则，先求出，再求．
解：，
故答案为：
 10.【答案】 【解析】解：由，得，
，
函数在处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
 11.【答案】 【解析】解：令时，二项式的展开式中，所有的系数之和为，
故答案为：．
只需令即可求解．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：取出的本书，均为小说书，送给个朋友，每人本，共有种情况，
取出的本书，其中本小说书，本散文书，送给个朋友，每人本，共有种情况，
故不同的赠法有种．
故答案为：．
根据题意，分取出的本书，均为小说书和其中本小说书，本散文书两种情况讨论，结合分类加法计数原理，计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：数列满足，，且，，
，同理可得，，，，，，
数列是周期为的周期数列，
，
．
故答案为：．
由题意得，同理可得，，，，，，可得数列是周期为的周期数列，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
 14.【答案】三 【解析】解：，
而，
则，即被除余，
由于今天是星期一，则再过天后是星期三．
故答案为：三．
利用二项式定理可知被除余，结合题意即可得到答案．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：因为多项式表示个因式的乘积，
则从个因式中选取个，个或者选取个，个或者选取个，个，个，
即可求出展开式中含项的系数为．
故答案为：．
因为多项式表示个因式的乘积，则从个因式中选取个，个或者选取个，个或者选取个，个，个，
即可求出展开式中含项的系数，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：由数列通项公式可知，数列每一项都为正，
当，，
而，，，不满足严格递增，
所以数列不是严格增数列，错误，
对于，，满足等式，假设时等式成立，
即，则，等式成立，正确，
对于，等式成立，
假设时等式成立，即，
则，等式成立，正确，
对于，当，，而，显然不满足等式，错误，
故答案为：．
列出前几项观察规律，然后利用数学归纳法进行证明．
本题主要考查数学归纳法证明数列规律，列出前几项验证规律是解决本题的突破点，属中档题．
 17.【答案】证明：由题意，可知，
则，
，
两式相减，可得，
，．
解：由题意，设等差数列的公差为，
则，，
，，解得，
． 【解析】先写出等比数列的通项公式，代入前项和表达式，再运用错位相减法即可推导出等比数列的求和公式；
先设等差数列的公差为，再根据题干已知条件及等差数列的通项公式与求和公式列出关于公差的方程，解出的值，最后根据等差数列的求和公式即可计算出前项和的表达式．
本题主要考查等差数列和等比数列的求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，整体思想，错位相减法，等差数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 18.【答案】解：二项式的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是：；
故，解得；
所以，
令，解得；
故．
系数的最大项满足，，解得；
股故数的最大项为：和． 【解析】直接利用二项展开式和组合数建立，进一步的值，最后求出结果；
利用系数的最大项建立不等式组，求出的取值，最后求出最大项．
本题考查的知识要点：二项展开式和组合数的运算，系数的最大项，不等式组的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 19.【答案】解：   ，
所求的函数关系式是 ；
由知 ．
令，解得．
当时，；
当时，．
函数 在上是单调递增函数，
在上是单调递减函数．
当时，函数 取得最大值，
最大值为  元．
该厂的日产量为件时，日利润最大，最大值为 元． 【解析】由题意直接列出日利润元关于日产量件的函数；
利用导数求最值得答案．
本题考查函数的模型选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．
 20.【答案】解：由题意，，
则，
．
依题意，当时，由，
可得，
，，，，，
各项相加，
可得，
当时，也满足上式，
，．
由可得，，
则，
当为奇数时，，
当，时，为单调递减数列，
为单调递减数列，
即为单调递减数列，
，
，
当为偶数时，，
当，时，为单调递减数列，
为单调递增数列，
即为单调递增数列，
，
，
，
综合，可得，
的最大值和最小值分别为和，
令，则，此时，
令，，
，
函数在上单调递增，
，
，
的最小值为． 【解析】根据及题干递推公式逐项代入即可计算出，的值；
先将题干中递推公式进行转化，再运用累加法即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出的表达式，再分为奇数和偶数两种情况，并结合单调性分析推导出的取值范围，再综合两种情况得到的取值范围，以及的最大值和最小值，最后运用换元法令，以及，利用一阶导数分析出函数在上单调递增，进一步即可得到的取值范围，从而可以推导出的最小值．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列与不等式的综合问题．考查了函数思想，分类讨论思想，转化与化归思想，累加法，等比数列求和公式的运用，一阶导数及单调性的应用，换元法，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属较难题．
 21.【答案】解：当时，，由，所以，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减；
故函数；
，，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，由，可得，由，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
任意都有成立，即，即，
令，，
令，，
则在上恒成立，即在上单调递增．
又，
故在内有零点，设零点为，
当时，，当时，，
所以，
又，则，所以，
设，，
所以在单调递增，，即，所以，
所以，所以，即实数的取值范围是． 【解析】将代入函数中，求出函数的导数，根据函数单调性求出最值；
求导，对分类讨论，根据导数与单调性的关系，即可求解；
任意都有成立，代入进行参变分离，得，构造新函数，求最值即可求得．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．