2022-2023学年浙江省北斗联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省北斗联盟高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省北斗联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知复数是复数的共轭复数，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知，则是成立的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.  在中，，记，，则(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知函数，，则图象为如图的函数可能是(    )A.
B.
C.
D. 6.  由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为(    )
A.  B.  C.  D. 7.  记函数的最小正周期为，若，且的图象关于点中心对称，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  扇形中，，，是的中点，是弧上的动点，是线段上的动点，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  下列四个命题中，假命题为(    )A. 若复数满足，则
B. 若复数满足，则
C. 若复数满足，则
D. 若复数，满足，则10.  下列关于平面向量的说法中正确的是(    )A. 设，为非零向量，则“”是“”的充要条件
B. 在中，
C. 设向量，，若与的夹角为钝角，则实数
D. 点是所在平面中的一点，若，则点是的重心11.  已知正实数，满足，则下列选项不正确的是(    )A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为12.  南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式其中、、、为三角形的三边和面积表示在中，、、分别为角、、所对的边，若，且，则下列命题正确的是(    )A. 面积的最大值是 B.
C.  D. 面积的最大值是三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  计算： ______ ．14.  已知向量，，则向量在向量上的投影向量是______ 坐标表示．15.  圆台的上、下底面半径分别是和，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的母线长是______ ．16.  对于函数和，设，，若存在，，使得，则称函数和互为“零点相伴函数”，若函数与互为“零点相伴函数”，则实数的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知向量，，且与夹角为．
求；
若，求实数的值．18.  本小题分
用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且．
求原平面图形的面积；
将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
19.  本小题分
已知函数，．
求函数的最小正周期及单调递增区间；
函数的图象沿轴向左平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的最值．20.  本小题分
在；；；这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答已知的内角，，所对的边分别是，，，
若，求的外接圆面积；
若，且的面积，求的周长的取值范围．21.  本小题分
如图，为了迎接亚运会，某公园修建了三条围成一个直角三角形的观光大道，，，其中直角边，斜边，现有一个旅游团队到此旅游，甲、乙、丙三位游客分别在，，这三条观光大道上行走游览．
若甲以每分钟的速度、乙以每分钟的速度都从点出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟分钟出发，当乙出发分钟后到达，甲到达，求此时甲、乙两人之间的距离；
甲、乙、丙所在位置分别记为点，，设，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的倍，且，请将甲、乙之间的距离表示为的函数，并求甲、乙之间的最小距离．
22.  本小题分
已知函数，其中为自然对数的底数，记．
解不等式；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，，
．
故选：．
先分别求出集合，，由此能求出．
本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
由题意，，可得．
．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由题意求得与，则答案可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：，
，
故是成立的必要不充分条件．
故选：．
解不等式，根据集合的包含关系判断即可．
本题考查了集合的包含关系，考查充分必要条件，是一道基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由题可作出图形，如图所示：
．
故选：．

由题意画出图形，再由平面向量的线性运算直接可求．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由题意可知函数是奇函数，排除、，
函数的定义域为，排除．
故选：．
利用函数的定义域，以及函数的奇偶性判断选项即可．
本题考查函数的图形的判断，函数的奇偶性以及函数的定义域，是判断函数图形的常用方法，是基础题．
 6.【答案】 【解析】解：如图所示，
设四棱锥的底面边长为，四棱锥的高为，侧面三角形底边上的高为，
因为侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，
且，所以；
计算四棱锥的侧面积为，以该四棱锥的高为边长的正方形面积为，
所以以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为：
，
故选：．
可设四棱锥的底面边长为，四棱锥的高为，侧面三角形底边上的高为，分别计算四棱锥的侧面积和该四棱锥的高为边长的正方形面积，求比值即可．
本题考查了四棱锥的结构特征与侧面积、底面积计算问题，是基础题．
 7.【答案】 【解析】解：函数的最小正周期为，
则，由，得，，
的图像关于点中心对称，，
且，则，．
，，取，可得．
，
则．
故选：．
由周期范围求得的范围，由对称中心求解与值，可得函数解析式，则可求．
本题考查型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
 8.【答案】 【解析】解；分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，

设，，则，，，
，，
，
其中，
，，
当，时，取得最小值．
故选：．
建立坐标系，设，，用，表示出，利用三角函数的性质和，的范围求出最小值．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：若复数满足，则，故A为真命题；
若复数满足，则，可得，，故B为真命题；
若复数满足，不一定属于，如，故C为假命题；
若复数，满足，与不一定相等，如，，故D为假命题．
故选：．
由复数的定义及运算判断与；举例说明CD错误．
本题考查命题的真假判断与应用，考查复数的有关概念，是基础题．
 10.【答案】 【解析】解：．
“”是“”的充要条件，故A正确；
在中，由余弦定理可得：．
结合正弦定理得：，故B正确；
设向量，，若与的夹角为钝角，
则，即且，故C错误；
由，得，取的中点，
则，则点是的重心，故D正确．
故选：．
由向量的模及向量的数量积运算判断；由正弦定理及余弦定理判断；由数量积求夹角判断；由重心的性质判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查向量及其有关运算，考查运算求解能力，是中档题．
 11.【答案】 【解析】解：正实数、满足，
，
又，解得，
当且仅当时，取得最大值则、均错误；
，
，
令，
则函数在上单调递减，
，故C错误，D正确．
故选：．
由基本不等式出发，在，和进行转化，求出相应式子的取值范围即可判断．
本题主要考查基本不等式的应用及利用复合函数的单调性求最值，注意转化，属中档题．
 12.【答案】 【解析】解：，，
，
由正弦定理得：，即，

，
当时，有最大值．
故选：．
利用三角恒等变换化简已知等式可得：，由题意利用配方法可求得的面积，进而利用二次函数的性质即可求解其最大值．
本题主要考查三角恒等变换以及二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，计算量较大，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解：原式．
故答案为：．
利用对数的运算性质即可求解．
本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：，
在上的投影向量是：．
故答案为：．
可求出，然后根据投影向量的计算公式和向量坐标的数乘运算即可求出在上的投影向量．
本题考查了向量坐标的数乘和数量积的运算，投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：设圆台的母线长为，则，
．
故答案为：．
圆台的母线长为，根据，由此能求得圆台的母线．
本题考查圆台的母线长、侧面展开图扇环的圆心角、表面积、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 16.【答案】 【解析】解：因为在上单调递增，且，
所以，
由，得，得，
所以由题意可知在区间上存在零点，
即方程在区间存在实数根，
由，得，
令，则，
根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，，，
所以，
所以，
解得，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
由的单调性结合，得，则可得，则由已知可得方程在区间存在实数根，令，则，，则，然后结合对勾函数的性质可求出结果．
此题考查函数单调性的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确理解“零点相伴函数”的定义，结合零点的定义和对勾函数的性质可求得答案，考查数学转化思想，属于中档题．
 17.【答案】解：已知向量，
则，
又，且与夹角为，
则，
则；
已知，
则，
则，
即，
则实数的值为． 【解析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解即可；
已知，则，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
 18.【答案】解：如图所示：还原平面图形，作交于点，

因为，，，
所以，，，
故；
将原平面图形绕旋转一周，
所得几何体是一个以为底面半径的圆柱减去一个以为底面半径的圆锥和组成，
所以几何体的表面积为：
，
所以几何体的体积为． 【解析】根据直观图还原平面图形为一个直角梯形，再利用直角梯形的面积公式求解；
将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是一个以为底面半径的圆柱减去一个以为底面半径的圆锥和组成，再结合圆柱和圆锥的体积公式和表面积公式求解．
本题主要考查了平面图形的直观图，考查了圆柱和圆锥的体积公式和表面积公式，属于基础题．
 19.【答案】解：由题意，，
最小正周期，
当，即时单调递增，
函数的单调递增区间为；
函数的图象沿轴向左平移个单位长度得到函数的图象，
则，
当时，，
，
，． 【解析】根据已知条件，结合三角函数的性质，以及恒等变换，即可求解；
先求出，再结合余弦函数的图象，即可求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
 20.【答案】解：选：的内角，，所对的边分别是，，，
，
，，
，，．
选：的内角，，所对的边分别是，，，
，
，
即，
，，，，
，
．
选：的内角，，所对的边分别是，，，
，
，
，
，即，
，
，；
由，．
的面积，
，，
，，
，
的周长，且，
，即的周长的取值范围为． 【解析】选，利用已知条件，结合正弦定理推出，结合余弦定理求解．
选，利用同角三角函数基本关系式化简求解．
选，通过同角三角函数基本关系式以及正弦定理推出，结合余弦定理求解求解，即可求解三角形的面积．
通过三角形的面积，推出，然后求解三角形周长，然后求解范围即可．
本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，是中档题．
 21.【答案】解：依题意得，，
在中，，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
则甲、乙两人之间的距离为；
由题意得，，

在中，，
在中，由正弦定理得，
即，
所以，，
所以当时，有最小值，
则甲、乙之间的最小距离为． 【解析】由题意，，中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；
中，由正弦定理可得，可将甲乙之间的距离表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
 22.【答案】解：已知，函数定义域为，
此时不等式，
转化为，
即，
因为，
又，
所以，
解得，
所以原不等式的解集为；
因为，
易知当时，
所以，
等价于，
整理得，
令
此时，，
所以，
因为，
所以，，
则，
即，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，
即，，
，
整理得，
所以实数的取值范围为． 【解析】由题意，不等式转化为，利用因式分解、指数函数的单调性即可求解；
根据得到，转化成，利用换元法，令，此时，根据，得到的单调性，进而即可求解．
本题考查函数恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．