2022西宁高一下学期期末数学试题含解析

西宁市2021－2022学年第二学期末调研测试卷

高数学

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．

2．本试卷为试题卷，不允许作为答题卷使用，答题部分请在答题卡上作答，否则无效．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场、座位号填写在答题卡上，同时将学校、姓名、准考证号、考场填写在试卷上．

4．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑（如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号）．非选择题用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卡相应的位置，书写工整，字迹清晰．

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中只有一个选项符合要求）

1. 如果，则正确的是（    ）

A. 若a>b，则 B. 若a>b，则

C. 若a>b，c>d，则a+c>b+d D. 若a>b，c>d，则ac>bd

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.

【详解】对于A:取则，故A错，

对于B:若，则，故B错误，

对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，

对于D:若，则，，故D错误.

故选：C

2. 下列事件：①长度为3、4、5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天．其中，是随机事件的是（    ）

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②

【答案】B

【解析】

【分析】根据随机事件的定义即可做出判断.

【详解】①长度为3、4、5的三条线段可以构成一个直角三角形是必然事件；②经过有信号灯的路口，可能遇上红灯也可能不遇上红灯，是随机事件；③下周六可能是晴天也可能不是晴天，是随机事件.

故答案为：B

3. 在△ABC中，，，，则满足条件的△ABC（    ）

A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 不能确定

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦定理进行判断即可.

【详解】由正弦定理可知：，

显然不存在这样的角，

故选：A

4. 已知为、的等差中项，为、的等比中项，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出、的值，利用等式的性质可得结果.

【详解】由题可得，，则．

故选：A.

5. 在中，若，则此三角形的最大边长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出，根据大角对大边得到最大，再利用正弦定理计算可得；

【详解】解：在中，，，

所以，因为，所以，

由正弦定理，可以求出．

故选：B．

6. π是一个令人着迷，它永无止境.3月14日是国际数学节也是国际圆周率日（Piday）.为了估算π的值，小敏向正方形内随机投1000粒芝麻，其中有784粒芝麻落在其内切圆内，由此估算得π的值是（    ）

A. 3.128 B. 3.132 C. 3.136 D. 3.144

【答案】C

【解析】

【分析】运用几何概型来估计圆周率的值

【详解】令正方形内切圆的半径为，则正方形边长为，则由题意中“落在正方形内的豆子的总数为1000，其中有784粒豆子落在该正方形的内切圆内”可得，化简得.

故选：C.

7. 某种产品价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示：

根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论错误的是（    ）

A. 变量y与x呈负相关 B. 回归直线经过点

C.  D. 该产品价格为35元/kg时，日需求量大约为3.4kg

【答案】D

【解析】

【分析】算出后可得，从而可判断各项的正误.

【详解】，

故即，故ABC都正确.

此时，令，则，

故D错误

故选：D

8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】执行程序框图，列方程计算

【详解】由图可知输出，得

故时退出循环，条件为

故选：B

9. 若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（    ）

A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】令，再利用余弦定理得解.

【详解】解：由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大，

由余弦定理可得，所以角为直角.

故是直角三角形．

故选：B．

10. 已知数列{}满足（n∈N*），则=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件，应用作差法可得，进而求得数列{}的通项公式，注意验证是否满足通项公式.

【详解】由题设，①，则②，

①-②得：，

所以，由①知也满足上式，故（n∈N*）.

故选：C.

11. 学校医务室对本校高一名新生的视力情况进行跟踪调查，随机抽取了名学生的体检表，得到的频率分布直方图如下，若直方图的后四组的频率成等差数列，则估计高一新生中视力在以下的人数为（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由频数相加为100，后四组成等差数列，计算每个组别的人数，再计算视力在以下的频率为，据此得到答案.

【详解】由图知：第一组人，第二组人，第三组人，

后四组成等差数列，和为90

故频数依次为，，，

视力在以下的频率为，故高一新生中视力在以下的人数为人.

故答案选C

【点睛】本题考查了频率直方图，等差数列，概率的计算，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.

12. 已知等比数列，，的最小值为（    ）

A. 70 B. 90 C. 135 D. 150

【答案】B

【解析】

【分析】设的公比为，分析可知，，利用基本不等式结合等比数列的性质可求得的最小值.

【详解】设的公比为，由等比数列的知识可知，，

结合可得，.

由基本不等式及等比数列的性质可得，

当且仅当，时等号成立，故的最小值为.

故选：B

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若满足条件，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数，不难求出目标函数的最大值．

【详解】解：满足约束条件的可行域，

如下图所示：

由图可知，当，时，目标函数有最大值11．

故答案为：11．

【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，属于基础题．

14. 为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎防控期间，有关部门对辖区内12家药店所销售的口罩进行抽检，检测的100个口罩中有80个口罩的穿透率为0.02，有20个口罩的穿透率为0.03，则这100个口罩穿透率的平均值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据加权平均数的定义即可求解.

【详解】由题意可知，这100个口罩穿透率的平均值为

.

故答案为：.

15. 数列的前项和，则_____.

【答案】

【解析】

【分析】根据来求得数列的通项公式.

【详解】当时，，

当时，.

当时上式也符合，

所以.

故答案为：

16. 截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学在公路、两点处测得基站顶部处的仰角分别为、，且.该同学沿着公路的边缘从处走至处一共走了.则山高为__________m.（该同学的身高忽略不计）

【答案】

【解析】

【分析】设，则，然后利用直角三角形，直角三角形，结合三角函数的定义表示出，，最后在三角形中，利用余弦定理列出关于的方程求解即可．

【详解】如图，设，则，

又由已知得，为直角三角形，

且，，

所以由，为直角三角形得：

，，

解得，，

在中，又，，

由余弦定理得：，

即，

解得．

故答案为：．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 甲、乙两人对局，甲获胜的概率为0.3，甲不输的概率为0.55，求：

（1）成平局的概率；

（2）乙不输的概率．

【答案】（1）0.25   

（2）0.7

【解析】

【分析】（1）由题意可得甲不输即为甲获胜或成平局，然后利用互斥事件的概率公式结合已知条件可求得结果，

（2）由于甲获胜与乙不输互为对立事件，所以利用对事件的概率公式求解即可

【小问1详解】

记甲获胜为事件A，平局为事件B，甲不输为事件C．

甲不输即为甲获胜或成平局，则C＝A+B

因为A与B互斥，

所以P（C）＝P（A+B）＝P（A）+P（B）

则P（B）＝P（C）－P（A）

＝0.55－0.3＝0.25

故成平局的概率为0.25；

【小问2详解】

因为甲获胜即乙输，所以甲获胜与乙不输互为对立事件，

则乙不输的概率P＝1－P（A）

＝1－0.3＝0.7．

18. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝﹣5，S6＝﹣12.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求当n取何值时Sn有最小值.

【答案】（1）an＝2n﹣9   

（2）Sn＝（n﹣4）2﹣16，当n＝4时，Sn取得最小值

【解析】

【分析】（1）设{an}的公差为d，由题意得，解得a1，d，即可得出通项公式.

（2）由（1）得Sn＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，利用二次函数单调性即可得出.

【小问1详解】

（1）设{an}的公差为d，由题意得，即，

得a1＝﹣7，d＝2.

∴{an}的通项公式为an＝2n﹣9.

【小问2详解】

由（1）得Sn＝=n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，

∴当n＝4时，Sn取得最小值，最小值﹣16.

19. 新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：）的频率分布表.

（1）求该校学生总数及频率分布表中实数的值；

（2）已知日睡眠时间在区间的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.

【答案】（1）1800人，   

（2）

【解析】

【分析】（1）设该校学生总数为，根据题意由求解；

（2）利用古典概型的概率求解.

【小问1详解】

解：设该校学生总数为，

由题意，解得，

该校学生总数为1800人.

由题意，解得，

【小问2详解】

记“选中的2人恰好为一男一女”为事件，

记5名高二学生中女生为，男生为，

从中任选2人有以下情况：，，基本事件共有10个，

其中事件包含的基本事件有6个，

故，

所以选中的2人恰好为一男一女的概率为.

20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角C的大小；

（2）若______，，求b的值．

在①，②sinA＝3sinB，这两个条件中，任选一个，补充在问题中，并加以解答．

【答案】（1）；   

（2）选条件①，b＝3或b＝4；选条件②，b＝2.

【解析】

【分析】（1）由余弦定理可得答案；

（2）由可得，然后两个条件中选一个建立方程求解即可.

【小问1详解】

已知，所以

由余弦定理，所以

因为，所以；

【小问2详解】

由（1）知

因为，，即，

选条件①，，则，，

解得b＝3或b＝4；

选条件②，由可得a＝3b，

所以，解得b＝2．

21. 已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列．

（1）求等差数列的通项公式；

（2）若等差数列的前n项和为，证明：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据条件求出即可；

（2）利用裂项相消法求出即可证明.

【小问1详解】

因为，，成等比数列，所以

又因为为等差数列，公差为2

所以，解得，

则；

【小问2详解】

由（1）得

则

．

22. 已知函数，的解集为．

（1）求的解析式；

（2）当时，求的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）依题意，为方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得、，即可求出求出函数解析式；

（2）由（1）可得，利用基本不等式求出函数的最大值；

【小问1详解】

解：因为函数，的解集为，

那么方程的两个根是，，且，

由韦达定理有 

所以．

【小问2详解】

解：，

由，所以，当且仅当，即时取等号，

所以，当时取等号，

∴当时，．