四川省成都市树德中学2023届高三理科数学适应性考试试题（Word版附解析）

数学试题（理科）

一、单项选择题

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据补集的定义结合指数函数分析运算.

【详解】由题意可得：.

故选：D.

2. 已知复数为纯虚数，则实数a等于（    ）

A. －1 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果.

【详解】因为为纯虚数，

所以，解得.
故选：A.

3. 等差数列中，，则的前9项和为（    ）

A.  B.  C. 90 D. 180

【答案】C

【解析】

【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列前项和公式及下标和性质计算即可.

【详解】因为，所以，

又，所以，

所以

故选：C.

4. 设为两条不重合直线，是两个不重合平面，则正确命题为（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.

【详解】对于选项A，，，m与n可以平行、异面或者相交，故A错误；

对于选项B，因为，，所以.又，所以，故B错误；

对于选项C，由，则存在直线，使得，又，所以，且，所以.故C正确；

对于选项D，因为，可设，则当，时，可得到，，但此时.故D错误.

故选：C

5. 若直线，与相切，则最大值为（    ）

A.  B.  C. 3 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】由条件可得，然后设，由三角函数的知识可得答案.

【详解】的圆心为，半径为，

因为直线，与相切，

所以，即，

所以可设，

所以，其中，

故选：B

6. 某人每天早上在任一时刻随机出门上班，他的报纸每天在任一时刻随机送到，则该人在出门时能拿到报纸的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设某人离开家时间距离为分钟，送报时间距离为分钟，某人能拿到报纸，则，画出区域及在中对应区域，计算面积即可得答案.

【详解】设某人离开家时间距离为分钟，送报时间距离为分钟，则

，某人能拿到报纸，则.画出区域，为下图矩形，

中对应区域如下图所示，

设矩形面积为，则该人在出门时能拿到报纸的概率为.

故选：A

7. 已知双曲线离心率为2，实轴长为2，则焦点到渐近线的距离（    ）

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题目条件可得双曲线焦点，渐进线，即可得答案.

【详解】由对称性，设双曲线右焦点为，则由题可得

，则，则双曲线其中一条渐进线方程为，又，

则焦点到渐近线的距离为.

故选：D

8. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】

，

，，，解得，

，.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.

9. 为：的焦点，点在曲线上，且在第一象限，若，且直线斜率为，则的面积（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出点坐标，即可求的面积.

【详解】 

如图，设点，

，所以，

由题意，所以，

得，或（舍去），

所以，

，

故选：B

10. 为棱长为2的正方体，点分别为，的中点，给出以下命题：①直线与是异面直线；②点到面距离为；③若点三点确定的平面与交于点，则，正确命题有（    ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

【答案】B

【解析】

【分析】利用异面直线定义，结合图形，即可判断①，对②，利用线面垂直判定定理，得出线面垂直，则垂线段的长即为点到面的距离，进而求解，对③，延展平面，结合正方体性质，即可求解.

【详解】对①，由图可知，不在平面内，故直线与是异面直线，故①正确；

对②，取中点，过作，连接，

由为2的正方体，是的中点，可得平面，

因为平面，所以，

因为，，，平面，

所以平面，故即为点到面距离，

又，所以四点共面，

所以即为点到面距离，

由条件可求，，，，

所以，

所以，因为，

所以点到面距离为，故②错误；

对③，如图，将面扩展，取，则，

取的中点，连接，

则与的交点即为点三点确定的平面与的交点，

因为，所以为的中点，

又，所以，故③错误.

故选：B.

11. 分别为左右顶点，点在圆上，线段与交于另一点．若，则椭圆的离心率（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设 ，得到和，两式相除即可求解.

【详解】设 ，

则，

，

两式相乘得,①

因为直径所对的角是直角，所以

所以  ,②

①除以②得，故，

故选：D

12. 已知、分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则、、大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数奇偶性的定义求出函数、的解析式，利用导数分析函数在上的单调性，并比较、、的大小关系，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系.

【详解】因为、分别为上的奇函数和偶函数，且，

则，

所以，，所以，，

当时，，令，其中，

则，函数在上单调递增，

则，因此函数在上为增函数，

因为，

所以，，，

，

因为，

所以，，所以，，

因为函数为上的偶函数，故.

故选：C.

二、填空

13. 展开式中项的系数________.

【答案】5

【解析】

【分析】根据二项式展开式的特征，即可求解.

【详解】，则展开式中的项为，

所以项的系数为5，

故答案为:5

14. 数列前项和，若，令，则前10项和________．

【答案】45

【解析】

【分析】利用已知条件求出数列和的通项公式，进而求和即可.

【详解】数列前项和，由①得

当时解得，

当时②，

由①②式作差得出，

所以数列是等比数列，首项为1，公比为2，所以.

所以，从而前10项和为.

故答案为：45

15. 埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为_____________．（注：球壳厚度不计）.

【答案】

【解析】

【分析】由已知分析需求正四棱锥的外接球的半径，根据正四棱锥的性质和外接球的性质，构造直角三角形，利用勾股定理，求得外接球的半径，从而求出金属球壳的表面积的最小值.

【详解】由题意，要使金属球壳的表面积最小，则金属球是正四棱锥的外接球.

如图所示，在正四棱锥中，，，

为其外接球的球心，连接与相交点于，连接，

为顶点在底面上的投影，即为正方形的中心，

设球的半径为，表面积为，

则在正方形中，，

在中，，

则，

在中，，，，

因为，所以，

化简得，则，

所以外接球的表面积为.

故答案为：.

16. 已知中，，则_________．

【答案】##06

【解析】

【分析】由以为基底表示，结合，，可得,后即可得答案.

【详解】由图可得，因，则

，则，

因，则，，代入上式有：

，.则.

故答案为：

三、解答

17. 已知函数最小正周期为，且，

（1）求；

（2）将图象往右平移个单位后得函数，求的最大值及这时值的集合．

【答案】（1），   

（2）1；的集合为．

【解析】

【分析】（1）根据周期确定参数，再根据结合的取值范围确定；

（2）先确定函数的解析式，化简，确定最大值，再利用整体法确定取最大值时值的集合．

【小问1详解】

因为最小正周期为，所以；

由可知，，

即，，得，，

又因为，所以．

【小问2详解】

由（1）知，

因为将图象往右平移个单位后得函数，所以，

即，

所以

因为，所以的最大值为1，

当，即时取得，

故取最大值时值的集合为．

18. 为了了解中学生是否有运动习惯，我校以高一新生中随机抽取了100人，其中男生40人，女生60人，调查结果显示，男生中只有表示自己不喜欢运动，女生中有32人不喜欢运动，为了了解喜欢运动与否是否与性别有关，构建了列联表：

（1）请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为“喜欢运动”与性别有关.

（2）从男生中按“是否喜欢运动”为标准采取分层抽样方式抽出10人，再从这10人中随机抽出2人，若所选2人中“不喜欢运动”人数为，求分布列及期望.

附：，

【答案】（1）列联表见解析；有把握认为“喜欢运动”与性别有关   

（2）分布列见解析；

【解析】

【分析】（1）根据卡方的计算即可求解，

（2）根据超几何分布的概率公式即可求解概率，

【小问1详解】

，有把握认为“喜欢运动”与性别有关.

【小问2详解】

抽出的10人中，2人不喜欢运动，8人喜欢运动.

.

19. 直三棱柱中，，为的中点，点在上，.

（1）证明：平面；

（2）若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据直棱柱的性质得到平面，即可得到，从而证明平面，则，再由，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到方程，求出，再根据锥体的体积公式计算可得.

【小问1详解】

∵为直三棱柱，∴平面，平面，

∴.

又，，平面，

∴平面，平面，

∴，又平面，平面，∴，

，平面，

∴平面.

【小问2详解】

因为，为中点，，所以，

∴为正三角形，如图建立空间坐标系，由（1）易知平面法向量，

设，∵，，

设平面的法向量为，

则，即，取，

由，解得或（舍去），

∵，点到平面距离为，

∴以为顶点的四面体体积为.

20. 已知椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆方程；

（2）直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由离心率为，且经过点可得答案；

（2）设，令可得坐标，代入椭圆方程得，设，可得坐标，代入椭圆方程得，利用及的取值范围可得答案．

【小问1详解】

由离心率为，且经过点可得，又，

解得，所以椭圆；

【小问2详解】

设，则，，

令，，

可得，

代入，得，

又，得，

设，，

可得，

代入，得，

又，得，

∵，∴，

∵，，∴．

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点是设，令，，分别求出、坐标，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.

21. 设函数.

（1）若最小值为，求的范围；

（2）令，的图象上有一点列，若直线的斜率为，证明：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求得，对实数的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合可得出实数的取值范围；

（2）由（1）可得，设，取点、，证明出，可得出，再利用不等式的基本性质结合等比数列求和公式可证得结论成立.

【小问1详解】

解：因为，则，

令，则，且.

①当时，即当时，

因为函数在上增函数，，，

所以，存在，使得，

且当时，，所以，函数在上单调递减，

故当时，，则函数在上单调递减，

所以，，这与在上的最小值为矛盾，舍去；

②当时，即当时，且不恒为零，

所以，函数在上单调递增，

故当时，且不恒为零，

所以，函数在上为增函数，当时，，合乎题意.

综上所述，.

【小问2详解】

证明：由（1）知，

设，取点、，

直线的斜率为，，则，

所以，曲线在处的切线的斜率为，

接下来证明，即证，即证，

令，其中，则，

令，则函数在上单调递增，

故当时，，此时函数单调递减，即函数在上单调递减，

所以，当时，，故，

所以，当时，，

所以，.，

所以，

.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求的极坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，直线经过点，交于点交于点，求的最大值．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.

（2）利用一元二次方程根与系数的关系，利用三角函数的变换求出结果.

【小问1详解】

由曲线：（为参数），

消去参数得：，

化简极坐标方程为：，

曲线：（为参数），

消去参数得：，

可得极坐标方程为：.

【小问2详解】

因点的直角坐标为，

设直线的倾斜角为，，

则直线的参数方程为：，（为参数，），

代入的直角坐标方程整理得，

，

则，

设，

则，，，

则，

直线代入的直角坐标方程整理得，

，

则，

因，

所以.

即的最大值为.

23. 已知函数．

（1）求的解集；

（2）若最小值为，正实数满足，证明：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）分区间讨论即可求解，

（2）利用图象可得的最小值，进而利用柯西不等式即可求解.

【小问1详解】

若，则，得．

若，则，得．

若，则，得．

∴解集．

【小问2详解】

，

的图象如下：

故当时，，∴．

∵，

当且仅当，即时，等号成立，

∴.