2024高考物理大一轮复习讲义 第十三章 第1讲 交变电流的产生和描述

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第1讲 交变电流的产生和描述
目标要求 1.理解正弦式交变电流的产生过程，能正确书写交变电流的函数表达式.2.理解并掌握交变电流图像的意义.3.理解描述交变电流的几个物理量，会计算交变电流的有效值.4.知道交流电“四值”在具体情况下的应用．
考点一 正弦式交变电流的产生及变化规律
1．产生
在匀强磁场中线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动．
2．两个特殊位置的特点
(1)线圈平面转到中性面时，S⊥B，Φ最大，eq \f(ΔΦ,Δt)＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变．
(2)线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，eq \f(ΔΦ,Δt)最大，e最大，i最大，电流方向不改变．
3．一个周期内线圈中电流的方向改变两次．
4．描述交变电流的物理量
(1)最大值
Em＝NBSω，与转轴位置无关，与线圈形状无关(均选填“有关”或“无关”)．
(2)周期和频率
①周期(T)：交变电流完成一次周期性变化所需的时间．单位是秒(s)，公式T＝eq \f(2π,ω).
②频率(f)：交变电流在单位时间内完成周期性变化的次数．单位是赫兹(Hz)．
③周期和频率的关系：T＝eq \f(1,f)或f＝eq \f(1,T).
5．交变电流的变化规律(线圈从中性面开始计时)
1．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，一定会产生正弦式交变电流．( × )
2．线圈在磁场中转动的过程中穿过线圈的磁通量最大时，产生的感应电动势也最大．( × )
3．线圈经过中性面时，感应电动势为零，感应电流方向发生改变．( √ )
4．当线圈从垂直中性面开始计时，产生的电动势按正弦规律变化，即e＝Emsin ωt.( × )
书写交变电流瞬时值表达式的技巧
(1)确定正弦交变电流的峰值：根据已知图像读出或由公式Em＝NBSω求出相应峰值．
(2)明确线圈的初始位置：
①若线圈从中性面位置开始计时，则i－t图像为正弦函数图像，函数表达式为i＝Imsin ωt.
②若线圈从垂直中性面位置开始计时，则i－t图像为余弦函数图像，函数表达式为i＝Imcs ωt.
例1 (2023·广西柳州市模拟)为研究交变电流产生的规律，某研究小组把长60 m导线绕制成N＝100匝的矩形闭合线圈，如图所示．现把线圈放到磁感应强度大小B＝0.1 T、方向水平向右的匀强磁场中，线圈可以绕其对称轴OO′转动．现让线圈从图示位置开始(t＝0)以恒定的角速度ω＝10π rad/s转动．下列说法正确的有( )
A．t＝0时，线圈位于中性面位置
B．t＝0.05 s时，感应电流达到最大值
C．当bc＝2ab时，感应电动势的表达式为e＝2πsin 10πt (V)
D．当ab＝ad时，感应电动势的有效值最大
答案 D
解析 t＝0时，线圈位于与中性面垂直的位置，故A错误；线圈的周期为T＝eq \f(2π,ω)＝0.2 s，t＝0.05 s时，线圈转过90°，到达中性面位置，此时磁通量最大，感应电流为零，故B错误；电动势最大值为Em0＝NBS0ω，S0＝ab·bc，N(ab＋bc)×2＝60 m,2ab＝bc，联立可得Em0＝2π V，线圈从题中图示位置(平行于磁场方向)开始转动，因此感应电动势的表达式为e＝2πcs 10πt (V)，故C错误；线圈周长为0.6 m，当ab＝ad时，边长相等，此时线圈面积最大，又Em＝NBSω，则感应电动势最大，即感应电动势的有效值最大，故D正确．
例2 (2023·江苏省高三月考)两人在赤道上站立，各自手握金属绳OPO′的一端，绕东西方向的水平轴沿顺时针方向匀速摇动，周期为T，将金属绳连入电路，闭合回路如图所示，取金属绳在图示的最高位置时为t＝0时刻，则下列说法正确的是( )
A．电路中存在周期为T的变化电流
B．t＝0时刻，回路中磁通量最大，电路中电流最大
C．t＝eq \f(T,4)时刻，电流向左通过灵敏电流计
D．t＝eq \f(T,2)时刻，回路磁通量最大，电路中电流最大
答案 A
解析 金属绳在匀强磁场中匀速摇动时，产生周期性变化的电流，所以这个电路中存在周期为T的变化电流，故A正确；在t＝eq \f(T,4)时刻，金属绳向下运动，由右手定则可知，电流向右通过灵敏电流计，故C错误；在t＝0时刻和t＝eq \f(T,2)时刻，磁通量的变化率最小，则电路中电流最小，故B、D错误．
例3 一手摇交流发电机线圈在匀强磁场中匀速转动，内阻不计．转轴位于线圈平面内，并与磁场方向垂直．产生的电动势随时间变化的规律如图所示，则( )
A．该交变电流的频率是0.4 Hz
B．t＝0时刻，线圈恰好与中性面重合
C．t＝0.1 s时，穿过线圈的磁通量最大
D．该交变电动势瞬时值表达式是e＝10eq \r(2)cs 5πt (V)
答案 C
解析 由题图可知电动势随着时间变化的周期为T＝0.4 s，故频率为f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,0.4) Hz＝2.5 Hz，故A错误；在t＝0时刻，电动势最大，所以此时穿过线圈的磁通量为0，线圈和中性面垂直，故B错误；在t＝0.1 s时，电动势为0，穿过线圈的磁通量最大，故C正确；该交变电动势最大值为Um＝10 V，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,0.4) rad/s＝5π rad/s，因从垂直中性面开始计时，所以电动势瞬时值表达式是 e＝Emcs ωt＝10cs 5πt (V)，故D错误．
考点二 交变电流有效值的求解
1．有效值
让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等，则这个恒定电流的电流I与电压U就是这个交变电流的有效值．
2．正弦式交变电流的有效值与峰值之间的关系
I＝eq \f(Im,\r(2))，U＝eq \f(Um,\r(2))，E＝eq \f(Em,\r(2)).
1．有效值等于峰值的eq \f(\r(2),2)，这一关系适用于所有交变电流．( × )
2．交变电流的有效值就是一个周期内的平均值．( × )
例4 阻值为R的电阻上通以如图所示的交变电流，则此交变电流的有效值为( )
A．1 A B.eq \r(2) A
C．2 A D．3 A
答案 B
解析 根据焦耳定律以及有效值的概念得I2RT＝(2 A)2×R×eq \f(T,3)＋(1 A)2×R×eq \f(2T,3)，解得I＝eq \r(2) A，B正确．
例5 (2023·湖北黄冈市模拟)如图是某一线圈通过的交流电的电流－时间关系图像(前半个周期为正弦波形的eq \f(1,2))，则一个周期内该电流的有效值为( )
A.eq \f(3,2)I0 B.eq \f(\r(5),2)I0 C.eq \f(\r(3),2)I0 D.eq \f(5,2)I0
答案 B
解析 设该电流的有效值为I，由I2RT＝(eq \f(I0,\r(2)))2R·eq \f(T,2)＋(2I0)2R·eq \f(T,4)，解得I＝eq \f(\r(5),2)I0，故选B.
有效值的计算
1．计算有效值时要根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”，先分段计算热量，求和得出一个周期内产生的总热量，然后根据Q总＝I2RT或Q总＝eq \f(U2,R)T列式求解．
2．若图像部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的eq \f(1,4)周期(必须是从零至最大值或从最大值至零)和eq \f(1,2)周期部分可直接应用正弦式交变电流的有效值与最大值之间的关系I＝eq \f(Im,\r(2))、U＝eq \f(Um,\r(2))求解．
考点三 交变电流“四值”的理解和计算
1．交流电压表和电流表测量的是交流电的峰值．( × )
2．可以用平均值计算交变电流产生的热量．( × )
3．求通过导体横截面的电荷量q＝It，其中的I指的是有效值．( × )
例6 (多选)如图甲所示，标有“220 V 40 W”的灯泡和标有“20 μF 320 V”的电容器并联接到交流电源上，为交流电压表，交流电源的输出电压如图乙所示，闭合开关．下列判断正确的是( )
A．t＝eq \f(T,2)时刻，的示数为零
B．灯泡恰好正常发光
C．电容器不可能被击穿
D.的示数保持110eq \r(2) V不变
答案 BC
解析 的示数应是交流电压的有效值，即为220 V，选项A、D错误；交流电压的有效值恰好等于灯泡的额定电压，灯泡正常发光，选项B正确；交流电压的峰值Um＝220eq \r(2) V≈311 V，小于电容器的耐压值，故电容器不可能被击穿，选项C正确．
例7 一个U形金属线框在两匀强磁场中绕OO′轴以相同的角速度匀速转动，通过导线给同一电阻R供电，如图甲、乙所示．甲图中OO′轴右侧有磁场，乙图中整个空间均有磁场，两图中磁场的磁感应强度相同．则甲、乙两图中交流电流表的示数之比为( )
A．1∶eq \r(2) B．1∶2 C．1∶4 D．1∶1
答案 A
解析 题图甲中OO′轴的右侧有磁场，所以线框只在半个周期内有感应电流产生，感应电流随时间变化的图像如图(a)，交流电流表测的是有效值，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BSω,\r(2)R)))2·R·eq \f(T,2)＝I2RT，得I＝eq \f(BSω,2R)；题图乙中整个空间均有磁场，线框中产生的感应电流随时间变化的图像如图(b)，所以I′＝eq \f(BSω,\r(2)R)，则I∶I′＝1∶eq \r(2)，故A正确．
例8 (2023·江苏省常熟中学模拟)图甲是某发电机的示意图，正方形金属框边长为L，其两端与两个半圆环相连，在磁感应强度为B的匀强磁场中以恒定角速度绕OO′轴转动．阻值为R的电阻两端的电压如图乙所示，Um为已知，其他电阻不计，则金属框转动一周( )
A．框内电流方向不变
B．电动势的有效值大于eq \f(\r(2),2)Um
C．流过电阻的电荷量为eq \f(2BL2,R)
D．电阻产生的焦耳热为eq \f(πUmBL2,R)
答案 D
解析 金属框每次经过中性面时框内电流方向都会改变，故A错误；由题图乙可知，金属框产生感应电动势的图像应为完整的正弦曲线，所以电动势的有效值等于eq \f(\r(2),2)Um，故B错误；金属框转动一周的过程中，流过电阻的电荷量为q＝eq \x\t(I)×eq \f(T,4)×4＝eq \f(\x\t(E),R)×eq \f(T,4)×4＝eq \f(ΔΦ,R)×4＝eq \f(4BL2,R)，故C错误；设金属框转动的角速度为ω，则有Um＝BL2ω，金属框转动的周期为T＝eq \f(2π,ω)，根据焦耳定律可得电阻产生的焦耳热为Q＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(Um,\r(2))))2eq \f(T,R)，联立上述三式解得Q＝eq \f(πUmBL2,R)，故D正确．
课时精练
1.在匀强磁场中，匝数N＝100的矩形线圈绕垂直磁感线的转轴匀速转动，线圈中产生的感应电动势随时间变化规律如图所示，则下列说法正确的是( )
A．t＝0.5×10－2 s时，线圈平面与中性面重合
B．t＝1×10－2 s时，线圈中磁通量变化率最大
C．穿过每一匝线圈的最大磁通量为1×10－3 Wb
D．线圈转动的角速度为50π rad/s
答案 C
解析 由题图可知，当t＝0.5×10－2 s时，感应电动势最大，线圈平面与中性面垂直，故A错误；当t＝1×10－2 s时，感应电动势为0，线圈中磁通量变化率为0，故B错误；该交流电的周期T＝0.02 s，则线圈转动的角速度ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,0.02) rad/s＝100π rad/s，交流电的最大感应电动势Em＝NBSω，所以Φm＝BS＝eq \f(Em,Nω)＝eq \f(10π,100×100π) Wb＝1×10－3 Wb，故C正确，D错误．
2.(2022·广东卷·4)如图是简化的某种旋转磁极式发电机原理图．定子是仅匝数n不同的两线圈，n1>n2，二者轴线在同一平面内且相互垂直，两线圈到其轴线交点O的距离相等，且均连接阻值为R的电阻，转子是中心在O点的条形磁铁，绕O点在该平面内匀速转动时，两线圈输出正弦式交变电流．不计线圈电阻、自感及两线圈间的相互影响，下列说法正确的是( )
A．两线圈产生的电动势的有效值相等
B．两线圈产生的交变电流频率相等
C．两线圈产生的电动势同时达到最大值
D．两电阻消耗的电功率相等
答案 B
解析 根据E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，可知穿过两线圈的磁通量的变化率相等，但是匝数不同，则产生的感应电动势最大值不相等，有效值也不相等，根据P＝eq \f(E2,R)可知，两电阻的电功率也不相等，选项A、D错误；因两线圈放在同一个旋转磁铁的旁边，则两线圈产生的交变电流的频率相等，选项B正确；当磁铁的磁极到达线圈轴线时，磁通量变化率最大，感应电动势最大，由题图可知两线圈产生的感应电动势不可能同时达到最大值，选项C错误．
3．一只低压电源输出的交变电压为U＝10eq \r(2)sin 314t (V)，π取3.14，以下说法正确的是( )
A．这只电源可以使“10 V 2 W”的灯泡正常发光
B．这只电源的交变电压的周期是314 s
C．这只电源在t＝0.01 s时电压达到最大值
D．“10 V 2 μF”的电容器可以接在这只电源上
答案 A
解析 这只电源交变电压的峰值Um＝10eq \r(2) V，则有效值U有＝eq \f(10\r(2),\r(2)) V＝10 V，所以这只电源可以使“10 V 2 W”的灯泡正常发光，故A项正确；ω＝314 rad/s，则T＝eq \f(2π,ω)＝0.02 s，故B项错误；在t＝0.01 s时，经过半个周期，电压为零，故C项错误；当电容器的耐压值小于峰值时，电容器被击穿，10 V小于10eq \r(2) V，则“10 V 2 μF”的电容器不能接在这只电源上，故D项错误．
4.(多选)如图所示，图线a是线圈在匀强磁场中匀速转动时所产生正弦式交变电流的图像，当调整线圈转速后，其在同一磁场中匀速转动过程所产生正弦式交变电流的图像如图线b所示．下列关于这两个正弦式交变电流的说法中正确的是( )
A．在图中t＝0时刻穿过线圈的磁通量均为零
B．线圈先后两次转速之比为3∶2
C．交变电流a的电动势瞬时值表达式为e＝10sin(5πt) V
D．交变电流b的电动势最大值为eq \f(20,3) V
答案 BCD
解析 由题图可知，在t＝0时刻线圈均在中性面位置，穿过线圈的磁通量最大，A错误；由图像可知Ta∶Tb＝2∶3，故na∶nb＝3∶2，B正确；由图像可知，交变电流a的电动势最大值为10 V，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,0.4) rad/s＝5π rad/s，所以交变电流a的电动势瞬时值表达式为e＝10sin(5πt) V，C正确；交变电流的电动势最大值为Em＝NBSω，故Ema∶Emb＝3∶2，知Emb＝eq \f(2,3)Ema＝eq \f(20,3) V，D正确．
5.某研究小组成员设计了一个如图所示的电路，已知纯电阻R的阻值不随温度变化．与R并联的是一个理想的交流电压表，D是理想二极管(它的导电特点是正向电阻为零，反向电阻为无穷大)．在A、B间加一交流电压，其瞬时值的表达式为u＝20eq \r(2)sin 100πt(V)，则交流电压表的示数为( )
A．10 V B．20 V C．15 V D．14.1 V
答案 D
解析 二极管具有单向导电性，使得半个周期内R通路，另外半个周期内R断路，在通路的半个周期内，交流电压的有效值为20 V，有eq \f(U2,R)T＝eq \f(20 V2,R)·eq \f(T,2)，解得U＝10eq \r(2) V≈14.1 V，选项D正确．
6．(2018·全国卷Ⅲ·16)一电阻接到方波交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q方；若该电阻接到正弦交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q正．该电阻上电压的峰值均为u0，周期均为T，如图所示．则Q方∶Q正等于( )
A．1∶eq \r(2) B.eq \r(2)∶1
C．1∶2 D．2∶1
答案 D
解析 由有效值概念知，一个周期内产生的热量Q方＝eq \f(u02,R)·eq \f(T,2)＋eq \f(u02,R)·eq \f(T,2)＝eq \f(u02,R)T，Q正＝eq \f(U有效2,R)T＝eq \f(\f(u0,\r(2))2,R)T＝eq \f(1,2)·eq \f(u02,R)T，故Q方∶Q正＝2∶1，故选D.
7．(多选)如图所示，一个半径为r的半圆形线圈，以直径ab为轴匀速转动，转速为n，ab的左侧有垂直于纸面向里(与ab垂直)的匀强磁场，磁感应强度大小为B.M和N是两个集流环，负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，若图示位置为初始时刻，则( )
A．感应电动势的最大值为2π2Bnr2
B．从图示位置起到转过eq \f(1,4)转的时间内，负载电阻R上产生的热量为eq \f(π4B2nr4,8R)
C．从图示位置起到转过eq \f(1,4)转的时间内，通过负载电阻R的电荷量为eq \f(πBr2,2R)
D．电流表的示数为eq \f(π2r2nB,2R)
答案 BCD
解析 感应电动势的最大值为Em＝BSω＝B·eq \f(πr2,2)·2πn＝π2Bnr2，A错误；因线圈只在半个周期内有电流，因此由有效值的定义得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(Em,\r(2))))2,R)·eq \f(T,2)＝eq \f(E2,R)T，解得感应电动势的有效值为E＝eq \f(Em,2)＝eq \f(π2Bnr2,2)，则电流表的示数为I＝eq \f(E,R)＝eq \f(π2r2nB,2R)，D正确；从题中图示位置起到转过eq \f(1,4)转的时间内，负载电阻R上产生的热量为Q＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(Em,\r(2))))2,R)·eq \f(T,4)＝eq \f(Bπ2r2n2,2R)×eq \f(1,4)×eq \f(1,n)＝eq \f(π4B2nr4,8R)，B正确；根据eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)，eq \x\t(I)＝eq \f(\x\t(E),R)，q＝eq \x\t(I)Δt，联立解得q＝eq \f(ΔΦ,R)，则从题中图示位置起到转过eq \f(1,4)转的时间内，通过负载电阻R的电荷量为q＝eq \f(πBr2,2R)，C正确．
8．(多选)(2023·陕西咸阳市模拟)如图所示，发电机内部线圈处于磁体和圆柱形铁芯之间的径向磁场中，磁体的N、S极间的过渡区域宽度很小，可忽略不计．线圈的匝数为N、面积为S、总电阻为r，线圈所在位置的磁感应强度大小为B.当线圈以角速度ω匀速转动时，额定电压为U、电阻为R的小灯泡在电路中恰能正常发光，则( )
A．发电机输出的电流为矩形波交流电
B．灯泡两端电压U＝eq \f(\r(2),2)NBSω
C．感应电动势的有效值是(1＋eq \f(r,R))U
D．转动过程中穿过线圈的磁通量始终为零
答案 AC
解析 线圈在径向磁场中做切割磁感线运动，产生的感应电动势大小不变，方向做周期性变化，发电机输出的电流为矩形波交流电，A正确；线圈以角速度ω匀速转动时，根据法拉第电磁感应定律，则有感应电动势的最大值为Em＝NBSω，因磁场是辐向磁场，线圈切割磁感线的有效速度大小不变，所以发电机产生的感应电动势的有效值E＝NBSω，灯泡两端电压U＝eq \f(NBSω,R＋r)R，B错误；根据闭合电路欧姆定律，电源电动势大小为E＝eq \f(U,R)(R＋r)＝(1＋eq \f(r,R))U，C正确；若转动过程中穿过线圈的磁通量始终为零，则不会产生感应电动势，D错误．
9．(多选)如图甲所示，电阻不计、面积S＝0.04 m2的固定矩形线圈水平放置，与线圈平面垂直的空间有均匀分布的匀强磁场，磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示．此时与线圈连接的额定电压是40 V的灯泡正常发光，氖泡两端瞬时电压达到40 V时开始发光．下列说法正确的是(不计灯丝电阻随温度的变化)( )
A．氖泡两端电压的瞬时值表达式为u＝40eq \r(2)·cs 100πt (V)
B．矩形线圈匝数N＝50匝
C．氖泡的发光频率为50 Hz
D．若将氖泡换成一个耐压值为40 V的电容器，电容器可以安全工作
答案 AB
解析 根据法拉第电磁感应定律可知，矩形线圈中会产生周期为0.02 s的正弦式交流电，因为小灯泡正常发光，其两端电压有效值为40 V，因此原线圈两端电压的瞬时值表达式为 u＝40eq \r(2)cs 100πt (V)，A项正确；线圈产生的正弦式交流电电动势的最大值Em＝NBSω＝40eq \r(2) V，解得N＝50匝，B项正确；一个周期内，氖泡发光两次，因此氖泡发光频率是交流电频率的两倍，为100 Hz，C项错误；电容器的击穿电压(耐压值)指的是电压的最大值，题述交流电压的最大值大于40 V，所以耐压值为40 V的电容器接在氖泡位置将被击穿，D项错误．
10.如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直向上且磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一端接阻值为R的电阻．一有效电阻为r、质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t＝0时刻开始运动，其速度随时间的变化规律为v＝vmsin ωt，不计导轨电阻．求：
(1)从t＝0到t＝eq \f(2π,ω)时间内，电阻R上产生的热量；
(2)从t＝0到t＝eq \f(2π,ω)时间内，外力F所做的功．
答案 (1)(eq \f(BLvm,R＋r))2eq \f(πR,ω) (2)eq \f(πB2L2vm2,ωR＋r)
解析 (1)由导体棒切割磁感线产生感应电动势有E＝BLv，得e＝BLvmsin ωt
回路中产生正弦式交变电流，其有效值为
E有效＝eq \f(BLvm,\r(2))
在0～eq \f(2π,ω)时间内，电阻R上产生的热量
Q＝(eq \f(E有效,R＋r))2R·eq \f(2π,ω)＝(eq \f(BLvm,R＋r))2eq \f(πR,ω).
(2)由功能关系得：外力F所做的功W＝eq \f(R＋r,R)Q＝eq \f(πB2L2vm2,ωR＋r).
11.(2023·山东德州市模拟)如图所示，坐标系xOy的第一、四象限的两块区域内分别存在垂直纸面向里、向外的匀强磁场，磁感应强度的大小均为1.0 T，两块区域曲线边界的曲线方程为y＝0.5sin 2πx(m)(0≤x≤1.0 m)．现有一单匝矩形导线框abcd在拉力F的作用下，从图示位置开始沿x轴正方向以2 m/s的速度做匀速直线运动，已知导线框长为1 m、宽为0.5 m、总电阻为1 Ω，开始时bc边与y轴重合．则导线框穿过两块区域的整个过程拉力F做的功为( )
A．0.25 J B．0.375 J
C．0.5 J D．0.75 J
答案 D
解析 导线框位移为0≤x≤0.5 m过程，只有bc边在磁场中切割磁感线，产生的电动势大小为E1＝Byv＝sin 2πx (V)，此过程所用时间为t1＝eq \f(0.5,2) s＝0.25 s，此过程的最大电动势为E1m＝sin(2π×0.25) V＝1.0 V，导线框位移为0.5 m