北师大版九年级上册1 认识一元二次方程精品综合训练题

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第08讲 认识一元二次方程

1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；
2．会把一元二次方程化为一般形式．

一、一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
二、一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
　　 (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
三、一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.



考点1：一元二次方程的概念

例1．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义进行判断即可．
解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程；
②，当a=0时不是一元二次方程；
③，是一元二次方程；
④，整理后不含二次项，不是一元二次方程，
所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个，
故选：B
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
例2．下列叙述正确的是（       ）
A．形如的方程叫一元二次方程
B．方程不含有常数项
C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0
D．是关于y的一元二次方程
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的一般形式，形如的方程叫一元二次方程，可得答案．
解：A．形如的方程叫一元二次方程，故A不符合题意；
B．方程的一般形式是，常数项是，故B不符合题意；
C．一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数及常数项可以为0，故C不符合题意；
D．是关于y的一元二次方程，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程的一般形式是解题关键．
例3．下列方程中，是一元二次方程的有（       ）个
①；②；③；④；⑤．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义判断，应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．
①变形为，是一元二次方程；
②，整理变形为，最高次数为4，不是一元二次方程；
③，变形为，是一元二次方程；
④变形为，不是一元二次方程；
⑤，是分式方程；
故①③满足，共有个一元二次方程
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，一元二次方程应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．
例4．下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：①，时不是一元二次方程；
②是一元二次方程；
③是分式方程；
④为任意实数）是一元二次方程；
⑤，是根式方程，是无理方程，不是一元二次方程；
综上所述，一元二次方程的个数是2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
考点2：一元二次方程的一般形式
例5．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为从而可得答案．
解：∵，
∴

∴方程的一般形式为：
故选A
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式： ”是解本题的关键．
例6．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．2，5，4 B．2，﹣5，4 C．﹣2，﹣5，4 D．2，﹣5，﹣4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的概念及一般形式即可判断，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
例7．把化成一般形式为__________，二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________．
【答案】          3          0
【解析】
【分析】
原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可．
解：，，
去括号：，
移项合并同类项：，
∴二次项系数为：；一次项系数为：，常数项为：；
故答案为：；；；．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：是解题的关键．
例8．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用完全平方公式以及平方差公式去括号，进而得出答案．
解：，
去括号得：x2-5+4x2-4x+1=0，
整理得：5x2-4x-4=0．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确应用乘法公式是解题关键．
考点3：根据一元二次方程的概念确定参数
例9．已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝________．
【答案】－1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义m-1≠0，且，解答即可．
∵（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，
∴m-1≠0，且，
∴m-1≠0，且，
∴，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
例10．当___________时，方程是一元二次方程．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义解答．
∵是一元二次方程，
∴且，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
例11．关于x的方程是一元二次方程，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可．
解： 关于x的方程是一元二次方程，

由①得：
由②得：
所以
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键．
例12．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,且二次项系数不等于0,即可进行求解,
由题意得:
解得:m=-2.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.
例13．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（       ）
A．3 B． C． D．0或
【答案】B
【解析】
【分析】
把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，
∴m=-3
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键.
例14．要使方程是关于x的一元二次方程，则（       ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
【答案】B
【解析】
【分析】
本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a-3≠0，a≠3．
故选B．
【点睛】
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．
例15．关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足______时，方程为一元二次方程，当m满足______时，方程为一元一次方程．
【答案】    
    
【解析】
【分析】
分别根据一元二次方程和一元一次方程的定义列式求解即可.
解：由题意得：m2﹣4≠0，解得：，即当时，方程为一元二次方程；
由题意得：m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，即当m＝﹣2时，方程为一元一次方程．
故答案为：；m＝﹣2．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程是通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程；一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．
例16．关于x的一元二次方程，常数项为0，求m的值．下面是小莉和小轩的解题过程：
小莉：由题意，得，所以．
小轩：由题意，得，且，所以．
其中解题过程正确的是（       ）
A．两人都正确 B．小轩正确，小莉不正确
C．小莉正确，小轩不正确 D．两人都不正确
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义和绝对值的性质进行计算，然后即可得出答案．
由题意，得，且，
解得．故小轩正确，小莉不正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，得出关于m的方程是解题关键．
考点4：一元二次方程的解
例17．若关于的一元二次方程有一个解为，则的值是（       ）
A．1 B．3 C．－3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=-1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．
解：把x=-1代入x2-2x+m=0得1+2+m=0，
解得m=-3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
例18．若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（       ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将代入中，求出的值，再根据，即可确定的值．
将代入中

解得
∵这是关于的一元二次方程
∴
解得
故
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键．
例19．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为（　　）
A．2﹣ B．2+ C．1 D．﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将x＝2+代入关于x的方程x2﹣4x+c＝0，列出关于c的新方程，通过解新方程来求c的值．
解：∵2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，
∴2+满足方程x2﹣4x+c＝0，
∴（2+）2﹣4（2+）+c＝0，
解得c＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的定义．
考点5：根据一元二次方程的解整体代换及相关变形
例20．若m是方程的一个根，则的值为_____．
【答案】2023
【解析】
【分析】
由题意知，即，再将整理并将整体代入计算求解即可．
解：由题意知：，即，
∴


=2023．
故答案为：2023．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义．
例21．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（       ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【答案】D
【解析】
【分析】
设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，x=2021．
由得到，
对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于x的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．
例22．已知a是方程的一个根，则的值为（       ）．
A． B．2022 C．2021 D．无法计算
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义，得到，然后将其变形得到a2=2022a-1，a2+1=2022a，最后整体代入代数式求值即可．
解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴a2=2022a-1，a2+1=2022a，
∴原式=2022a-1-2021a+
=a-1+=
=-1
=2021，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，整体代入求代数式的值，关键是运用整体代入的思想．
例23．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为______．
【答案】/1.5
【解析】
【分析】
根据方程根的定义得到，，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54变形后，利用整体代入，得到关于a的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可．
解：∵关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，
∴，
∴，
∵(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，
∴[2（am2－2bm＋a）] [3(an2－2bn)－2a]＝54
∴
解得或
∵ab≠0
∴a，b均为非零实数，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．
考点6：试根法和利用整体未知数求解方程的解法
例24．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（        ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．
解：∵，
把代入得：，
即方程的一个解是，
把代入得：，
即方程的一个解是；
故选：C．
【点睛】
本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．
例25．关于的方程必有一个根为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
【答案】A
【解析】
【分析】
分别把，，，代入中，利用一元二次方程的解，当为任意值时，则对应的的值一定为方程的解.
解：A、当是，，所以方程必有一个根为1，所以A选项正确；
B、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以B选项错误；
C、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以C选项错误；
D、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以D选项错误.故选：A
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键.
例26．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（       ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【解析】
【分析】
把化为： 再结合题意可得从而可得方程的解.
解：可化为：

关于的一元二次方程有一个根为，
把看作是整体未知数，则


即有一根为
故选D
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.
例27．如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有(    )
A．2个 B．3个 C．6个 D．8个
【答案】C
【解析】
【分析】
先把等式左边展开，由对应相等得出a+b=k，ab=18；再由a，b，k均为整数，求出k的值即可．
解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+18，
∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+18，
∴a+b=k，ab=18，
∵a，b，k均为整数，
∴a=±1，b=±18，k=±19；
a=±2，b=±9，k=±11；
a=±3，b=±6，k=±9；
故k的值共有6个，
故选C．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握．
例28．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ）
A．2020 B． C．-2020 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
∵，，a+c=0
∴，
∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，
∴，，
∴，，
∵是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
即是方程的一个根
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．
考点7：复杂的一元二次方程的解的求值及其他问题
例29．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___．
【答案】
【解析】
【分析】
利用新定义得到“天宫”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，
∴“天宫”方程的一个解为，
方程是“天宫”方程，
，
，，，








．
故答案为：．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键．
例30．若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根得到（a-m）（a-n）=-1＜0，进而判断出m＜a＜n，同理判断出m＜b＜n，即可得出结论．
解：∵a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根，
∴（a-m）（a-n）+1=0，
∴（a-m）（a-n）=-1＜0，
∵m＜n，
∴m＜a＜n，
同理：m＜b＜n，
∵a＜b，
∴m＜a＜b＜n．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m）（a-n）＜0是解本题的关键．
例31．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a和b的值，再代入计算即可．
解：==1．
∵方程x2+ax+b=0的一根是，
∴++b=0．
∴．
∴．
∵、是整数，
∴
解得
∴==．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题关键．
考点8：一元二次方程的解的估算
例32．根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值．
x
1.63
1.64
1.65
1.66
…
x2+2x
5.9169
5.9696
6.0225
6.0756
…
根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是______（精确到0．01）
【答案】1.65
【解析】
【分析】
先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解．
解：6-5.9696=0.0304， 6.0225-6=0.0225，
∵0.0304＞0.0225，
∴6.0225比5.9696更逼近6，
∴ 方程x2+2x=6的一个解大约是1.65，
故答案为：1.65．
【点睛】
此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近．


一、单选题
1．（2022·青海·统考中考真题）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（　　）
A．4 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据方程根的定义，将代入方程，解出m的值即可．
【解析】解：关于x的方程的一个根为，
所以，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
2．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（    ）
A．0 B．1 C．−3 D．−1
【答案】B
【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
【解析】解：根据题意得，
解得；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
3．（2022·四川遂宁·统考中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（    ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【分析】根据题意有，即有，据此即可作答．
【解析】∵m为的根据，
∴，且m≠0，
∴，
则有原式=，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．

二、填空题
4．（2019·四川资阳·统考中考真题）a是方程的一个根，则代数式的值是_______．
【答案】8
【分析】直接把a的值代入得出，进而将原式变形得出答案．
【解析】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为8．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
5．（2018·湖北荆门·统考中考真题）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____．
【答案】﹣3
【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可．
【解析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．


一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（  ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义，即可．
【解析】一元二次方程的定义：等式两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程
A、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，
∴A是一元二次方程，符合题意；
B、整理得：，是一元一次方程，不符合题意；
C、方程中含有分式，不是整式方程，不符合题意；
D、是一元三次方程，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（        ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．
【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：，，．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确确定各项系数是解题关键．
3．下列方程中是一元二次方程的是（    ）
①；②；③； ④； ⑤；⑥．
A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
【解析】解：①当时，不是一元二次方程；
②是一元二次方程；
③是一元二次方程；
④是分式方程；
⑤不是一元二次方程；
⑥，化简得：，不是一元二次方程．
∴是一元二次方程的是②③．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．
4．一元二次方程成立的条件是（   ）
A． B． C．为任意实数 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据一元二次方程成立的条件，即一元二次方程中，，据此即可判定
【解析】解：一元二次方程成立的条件是，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程成立的条件，熟练掌握和运用一元二次方程成立的条件是解决本题的关键．
5．已知方程的一个根是，则的值是（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把代入原方程得出，求出k的值即可．
【解析】解：∵方程的一个根是，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查方程的根的概念及有理数的混合运算，掌握概念正确代入计算是解题关键．
6．已知是方程的一个根，则式子的值等于（      ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把代入方程求出，把化成代入求出即可．
【解析】解：根据题意，将代入方程，
得：，
则，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．
7．若是一元二次方程，则m的值为（      ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【解析】解：由题意得：，
解得：．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知一元二次方程的定义：一般地，形如（a、b、c都是常数，）的方程叫做一元二次方程．
8．已知关于方程的两个实数根是，，则方程的两个实数根是（    ）
A．， B．，
C．， D．；
【答案】D
【分析】设，则方程变为，根据方程的两个实数根是，，得或，即可求出方程的两个实数根．
【解析】解：设，则方程变为，
方程的两个实数根是，，
∴方程的两个实数根是，，
或，
或，
方程的两个实数根是，．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是关键．
9．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（　　）
A． B．1 C．1或 D．或0
【答案】A
【分析】根据方程是一元二次方程，可得，将代入解析式，求出的值即可．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴，，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．
10．根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　）
x


1
4

0.06
0.02



A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用表中数据得到，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一解的取值范围．
【解析】解：∵当时，当时，
∴当x在中取一个值时，，
∴一元二次方程的某一个解的取值范围是．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．

二、填空题
11．若方程的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数项是_______．
【答案】 0
【分析】先将方程化为一般形式，然后得出答案即可．
【解析】解：方程化为一般形式为：，
∴方程的二次项系数是4，方程的一次项系数是，常数项是0．
故答案为：；0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是理解题意，将方程化为二次项系数是4的一般形式．
12．方程是一元二次方程，则的值是________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义得到：且，由此可求得m的值．
【解析】∵方程是一元二次方程，
∴且，
即且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．一元二次方程的一般形式是 _____________．
【答案】
【分析】利用整式的乘法运算展开，然后整理即可得解．
【解析】解：，
，
，
，
所以，一般形式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
14．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．
【解析】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键．
15．若关于的一元二次方程（）的一个解是，则______．
【答案】1
【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到（）进行求解即可．
【解析】解：关于的一元二次方程（）的一个解是，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
16．若关于x的方程的一个根是3，则b的值为______．
【答案】
【分析】将代入方程求解即可．
【解析】解：将代入方程，得，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
17．若是一元二次方程的一个根，则的值是________________．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后解关于的方程即可．
【解析】解：把代入得，
解得，
，
，
．
故答案为：2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，还考查了二次根式有意义的条件．
18．若m是关于x的方程的根，则的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，变形得，然后整体代入的方法计算．
【解析】解：根据题意得，
所以，
所以

．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解以及整体代入思想，掌握整体代入思想是解题的关键．

三、解答题
19．判断下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．
【答案】②③⑥.
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【解析】解：①不是方程；
④ 不是整式方程；
⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；
⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程，
②③⑥符合一元二次方程的定义．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．
20．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)
【答案】(1)，这个方程的二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是
(2) ，这个方程的二次项系数是 ，一次项系数是2，常数项是5

【分析】根据一元二次方程的定义，形如（a、b、c为常数，）的整式方程叫做一元二次方程，其中a为二次型系数，b为一次项系数，c为常数项．
【解析】（1），
移项得：，
二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是；
（2），
展开得：，
移项得：，
二次项系数是 ，一次项系数是2，常数项是5．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．
21．填表：
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项





















【答案】见解析
【分析】根据一元二次方程的一般形式：，进行填写即可．
【解析】解：
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项


1




2
0
0



0



3

9
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握：，其中，分别为二次项系数，一次项系数，常数项，是解题的关键．
22．已知一元二次方程 ，
(1)如果方程有一个根是，那么，，之间有什么关系？
(2)如果方程有一个根是，那么，，之间有什么关系？
(3)如果方程有一个根是，那么未知项的系数或常数项有什么特征？
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）把代入方程即可得出答案；
（2）把代入方程即可得出答案；
（3）把代入方程即可得出答案．
【解析】（1）解：把代入方程得：，
∴，，之间的关系是：；
（2）把代入方程得：，
∴，，之间的关系是：；
（3）把代入方程得：，
∴常数项．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，掌握这个概念是关键．
23．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根．
(1)（，，）．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)、是方程的根，不是方程的根
(2)、是方程的根，不是方程的根
(3)、是方程的根，不是方程的根
(4)是方程的根，、不是方程的根

【分析】将括号内的未知数的值代入方程式计算即可判断．
【解析】（1）当时，
，
当时，
，
当时，
，
、是方程的根，不是方程的根，
故答案为：、是方程的根，不是方程的根．
（2）当时，
，
当时，
，
当时，
，
、是方程的根，不是方程的根，
故答案为：、是方程的根，不是方程的根．
（3）当时，
，
当时，
，
当时，

、是方程的根，不是方程的根，
故答案为：、是方程的根，不是方程的根．
（4）当时，
方程左边，
方程右边，
方程左边方程右边；
当时，
方程左边，
方程右边，
方程左边方程右边右边；
当时，
方程左边
方程右边
方程左边方程右边；
是方程的根，、不是方程的根，
故答案为：是方程的根，、不是方程的根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
24．当k取何值时，关于x的方程（k﹣5）x2＋（k＋2）x＋5＝0
(1)是一元一次方程？
(2)是一元二次方程？
【答案】(1)k＝5
(2)k≠5

【分析】（1）方程是一元一次方程，根据二次项系数为0，以及一次项系数不为0两个条件进行解答即可．
（2）方程是一元二次方程，根据二次项系数不为0解答即可．
【解析】（1）解：（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0，
当k﹣5＝0且k+2≠0时，方程为一元一次方程，
即k＝5，
所以当k＝5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元一次方程．
（2）解：（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0，
当k﹣5≠0时，方程为一元二次方程，
即k≠5，
所以当k≠5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元二次方程．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元二次方程的概念．区分二次项或一次项的系数是否为0是解题的关键．
25．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；
(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1)m＝1；x＝﹣1
(2)m≠1；二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1

【分析】（1）当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程，然后解方程即可；
（2）当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程．
（1）解：若关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程，则m﹣1＝0且m﹣2≠0，解得m＝1．∴原方程变形为﹣x﹣2+1＝0解得x＝﹣1．
（2）解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，此时该方程的二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1．
【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义及解一元一次方程，难度不大．掌握一元一次方程及一元二次方程的相关定义是解决本题的关键．
26．定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋3b；当a＜b时，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42
(1)x2*（x2﹣2）＝30，则x＝ ；
(2)小明在计算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的．
【答案】(1)±3
(2)见解析

【分析】（1）认真阅读题目，理解新运算的定义，然后计算即可；
（2）先判断出（﹣3x2＋6x﹣5）与（﹣x2＋2x＋3）大小关系，然后根据新运算定义计算．
（1）
解：∵x2*（x2﹣2）＝30，x2≥（x2﹣2）
∴x2＋3（x2－2）＝30，解得x＝±3，
故答案为：±3．
（2）
解：∵（﹣3x2+6x﹣5）－（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0，
∴﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3，
（﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣3x2+6x﹣5+3x2﹣6x﹣9＝﹣14，
∵化简后的结果与x取值无关，
∴不论x取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，
∴小华说小明计算错误．
【点睛】本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．