数学九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系精品随堂练习题

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第12讲 一元二次方程的根与系数的关系

掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.

一.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
二.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
以两个数为根的一元二次方程是.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程的两根为、，则
①当△≥0且时，两根同号．
当△≥0且，时，两根同为正数；
当△≥0且，时，两根同为负数．
②当△＞0且时，两根异号．
当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．


考点1：利用一元二次方程根与系数的关系求值
例1．若、是一元二次方程的两根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算求值即可．
【解析】解：∵、是一元二次方程的两根，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根，则，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
例2．设方程的两个根为，，则的值是（    ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【解析】解：由一元二次方程根与系数的关系得：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记，．
考点2：通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值
例3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系代入求解即可得到答案．
【解析】解：由题意可得，
，，
∵，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系：，．
例4．已知、是方程的两个实数根，则的值是（    ）
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
【解析】解：∵、是方程的两个实数根，
∴，，
即，
∴


，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
例5．若方程的两个实数根为、，则的值为（    ）
A．7 B．3 C．－5 D．9
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案．
【解析】解：∵方程的两个实数根为、，
∴，，
∴

，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知：若是一元二次方程的两个根，则，；是解本题的关键．
例6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则= （   ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，对分式进行运算，代入求解即可．
【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根
则，，
，
故选B
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及分式的运算，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，，是一元二次方程的两个实数根，则，．
例7．设 ， 是一元二次方程 的两个根，那么 的值等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，，进而推出，再推出，代入即可得到答案．
【解析】解：∵， 是一元二次方程 的两个根，
∴，，。
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，正确推出是解题的关键．
考点3：利用一元二次方程根与系数的关系求参数
例8．若关于x的一元二次方程的两个根互为相反数，则m的值为（     ）
A．3或 B． C．3 D．2或
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系，则这两个根的和为零，从而得，解方程即可．
【解析】设一元二次方程的两个根分别为、，由题意得：，
由一元二次方程根与系数的关系得：，
解方程得：，，
此时，判别式的值，符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，关键是由根与系数的关系得到关于m的一元二次方程．
例9．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（    ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】设、是的两根，根据根与系数的关系，得出，再根据倒数的定义，得出，再利用等量代换，得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的的值．
【解析】解：设、是的两根，
∴根据根与系数的关系，可得：，
∵方程的两根互为倒数，
∴可得，
∴，
解得：，
∵方程有两个实数根，
∴，
当时，，
∴符合题意，
当时，，
∴不符合题意．
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
例10．是方程的两个实根，若恰成立，则的值为（   ）
A． B．或 C． D．或1
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系，结合判别式的取值范围，进行求解即可．
【解析】解：是方程的两个实根，
则：，解得：，
，
∴
整理得：，
解得：或，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．解题时要注意判别式的符号．
考点4：利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假
例11．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
【答案】D
【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为a，b，利用根与系数的关系表示出a+b与ab，判断即可．
【解析】解：设方程两根设为a，b，
方程整理得：x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴由根与系数的关系得：a+b＝﹣1＜0，ab＝﹣2﹣p2＜0，
则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小．
故选：D．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，绝对值，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
例12．有两个关于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四个结论中，
①如果，那么方程M和方程N有一个公共根为1；
②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；
③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是．其中错误的结论的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】当时，得出，得出即可判断①；根据根与系数的关系，由即可判断②；将代入方程中可得出，方程两边同时除以4可得出，由此可得出是方程的一个根，即可判断③；设相同的根为，将其代入两方程中作差后可得出，解之可得出，进而可得出两方程有相同的根，即可判断④．
【解析】解：，
方程的一个根为1，方程有一个根为1，
如果，那么方程和方程有一个公共根为1，结论①正确；
，
，
，
，
方程和方程的两根之积必相等，结论②正确；
是方程的一个根，
，即，
是方程的一个根，结论③正确；
设相同的根为，则，
①②得：，
．
，，，
，
，
．
即有相同的根，结论④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，逐一分析四条选项的正误是解题的关键．
考点5：利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小
例13．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将一元二次方程化成一般式，再根据根与系数关系得出x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，，然后根据，得出m-10，即可求解．
【解析】解：∵x2+x+n=mx，
∴x2+（1-m）x+n=0，
∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根．
∴x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，
∵，
∴x1+x20，
∴m-10，
∴m0，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系“，是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），则x1+x2=-，x1x2=”是解题的关键．
例14．关于x的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论一定正确的是（    ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】C
【分析】将原式整理为一元二次方程的一般式，根据关于x的方程(x−2)(x−3)=m有两个不相等的实数根，运用根的判别式可判断A选项；运用根于系数的关系可判断选项B；运用求根公式可判断选项C、D．
【解析】解：(x−2)(x−3)=m整理为x2−5x+6−m=0，
A、∵关于x的方程(x−2)(x−3)=m有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac＞0，即(−5)2−4×1×(6−m)＞0，
解得：m＞，故此选项正确，不符合题意；
B、根据根于系数的关系可得：x1+x2=，
∴，故此选项正确，不符合题意；
C、当m>0时，
，
，
∴当m>0时，x1