初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程课后复习题

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第10讲 用因式分解法解一元二次方程

1. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
2. 因式分解法解一元二次方方程的应用。

一.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
二.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

考点1：因式分解法解一元二次方程
例1．方程的根为(     )
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】由提公因式法进行因式分解，既而可解一元二次方程．
【解析】解：


故选：D．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及提公因式法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
例2．方程的解是（        ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将方程移项后，再运用因式分解法求解即可．
【解析】解：



∴
故选：B
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解答本题的关键．
例3．解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）先整理，再利用因式分解法解答，即可求解．
（1）解：，∴，解得：；
（2）解：，整理得：，∴，解得：
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法——直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题的关键．
例4．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
(1)
解：

解得，
(2)
解：


解得，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
例5．用适当的方法解方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，
【分析】将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
(1)
解：，
，
则或，
解得，，
所以，原方程的解为，；
(2)
解：
，
则，
或，
解得，．
所以，原方程的解为，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
例6．一元二次方程的根是__________．
【答案】，
【分析】方程变形为x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解析】解：x（2x﹣5）＝4x﹣10，
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
（x﹣2）（2x﹣5）＝0，
x﹣2＝0或2x﹣5＝0，
所以，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想），掌握因式分解解方程的方法是解题的关键．
考点2：因式分解法解一元二次方程易错题
例7．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是       (       )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2
C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2
【答案】B
【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【解析】∵，
∴，
∴，
∴x-4=0或x+2=0，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键．
例8．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（       ）
A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0
B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1
C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3
D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0
【答案】A
【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．
【解析】A：等式右边为0，分解正确，符合题意；
B：等式右边≠0，不符合题意；
C：等式右边≠0，不符合题意；
D：x(x+2)=0 ，∴x+2=0或x=0；
故答案为：A
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，用因式分解法时，方程的右边必须为0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，才能将方程降次为两个一元一次方程．
考点3：因式分解法解一元二次方程的应用
例9．如果代数式与的值相等，那么x=______．
【答案】2
【分析】由题可得，整理得到即解出即可．
【解析】解：根据题意得



故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键．
例10．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
【解析】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.
例11．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．
【答案】或
【分析】将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可．
【解析】解：一元二次方程的解为，，
，解得，
一元二次方程可化为，
，
，
解得，．
一元二次方程的解为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解．
例12．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（       ）
A．11 B．21 C．11或21 D．11或1
【答案】A
【分析】先求出方程的根，然后分x＝1和x＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可．
【解析】解：由可得，
∴或，
解得x＝1或x＝11，
当x＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11；
当x＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
考点4：换元法
例13．已知，则的值是（       ）
A．3或 B．或2 C．3 D．
【答案】C
【分析】设，则原方程变为解出关于a的方程，取非负值值即为的值．
【解析】解：设，
∵，
∴，即，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意．
例14．解方程：(x-2013)(x-2014)＝2015×2016．
【答案】x1＝4029，x2＝-2
【分析】设x-2013 = t，则x-2014=t-1，可得t2-t-2015×2016=0，再利用因式分解法可得t1=2016，t2=-2015，再代入，即可求解．
【解析】解：设x-2013 = t，则x-2014=t-1，
∴t（t-1）=2015×2016，即t2-t-2015×2016=0，
∴（t-2016）（t+2015）=0
解得：t1=2016，t2=-2015，
∴x－2013 =2016或x－2013 =-2015，
解得：x1＝4029或-2，
∴原方程的解为x1＝4029，x2＝-2．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
考点5：分类讨论思想
例15．关于 的一元二次方程 的两实根都是整数，则整数 p的取值可以有（    ）
A．2个
B．4个
C．6个
D．无数个
【答案】D
【解析】求得和为-5，积为p的所有整数解，也就求得了p的个数．然后由-5+0=-5；-4+（-1）=-5；-3+（-2）=-5；1+（-6）=-5；2+（-7）=-5；3+（-8）=-5；4+（-9）=-5…
可得p=-5×0=0或-4×（-1）=4或-3×（-2）=6或1×（-6）=-6或2×（-7）=-14；或3×（-8）=-24；或4×（-9）=-36…．
故选：D．
点睛：本题考查求有整数解的一元二次方程系数的问题；用到的知识点为：有整数解的一元二次方程的常数项分解的2个数的和应等于一次项是系数，积等于常数项．
例16．解方程的解是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论：当x≥0时，原方程化为：x2-x-2=0；当x＜0时，原方程化为：x2+x-2=0，然后分别利用因式分解法解两一元二次方程即可．
【解析】解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，
因式分解得(x-2)(x+1)=0，
解得：x1=2或x2=-1（不合题意舍去）；
当x≤0时，原方程化为x2+x-2=0，
因式分解得(x+2)(x-1)=0，
解得：x1=-2或x2=1（不合题意舍去）；
所以，原方程的根是x1=2，x2=-2．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，绝对值的代数意义，以及解一元二次方程-分解因式法，分类讨论是解本题的关键．
考点6：创新题型
例17．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（   ）
A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2
【答案】A
【分析】将x0、﹣x0分别代入已知的两个方程，求出a的值，再将a的值代入要求解的方程，解方程即可.
【解析】设x0为方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一个根，则﹣x0为方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2=0的一个根，
∴（a+1）x02﹣a x0+a2﹣a﹣2=0①，
（a+1）x02﹣a x0﹣a2+a+2=0②，
∴①﹣②得：2a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣a﹣2=0，
解得a=2或﹣1，
当a=2时，3x2+2x=0，解得x=0或﹣；
②当a=﹣1时，﹣x﹣1﹣1+2=0，解得x=0.
∴方程的解是0或﹣.
故选A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义.
例18．于实数a，b先定义一种新运算“★”如下：a★b=，若，则实数m等于（       ）
A．6 B．2 C．2或 D．2或或6
【答案】B
【分析】分两种情况讨论：当m≤1时， 当m＞1时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可．
【解析】解：当m≤1时，则1★m=m+2=8，解得：m=6，故无解；
当m＞1时，则1★m=m2+2m=8，解得：m1=2，m2=-4，
∴m=2，
综上，m=2，
故选：B．
【点睛】本题考查新定义，一元二次方程解法，理解新定义，列出方程是解题的关键．
例19．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记，，，…，那么，则的值是（       ）

A．13 B．10 C．8 D．7
【答案】D
【分析】由已知数列得出an＝1+2+3+…+n，再求出a9、ai、a11的值，代入计算可得．
【解析】解：由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1+2+3+…+n，
∴a945、ai、a1166，
则a9+a11﹣ai＝83，
可得：45+6683，
解得：i＝7，（负根舍去）
故选：D．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an＝1+2+3+…+n，

一、单选题
1．（2022·山东临沂·统考中考真题）方程的根是（   ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案．
【解析】解：，

或
解得：
故选B
【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．
2．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．
【解析】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且，
∴,
∴一次函数表达式为，

有图像可知，一次函数不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．
3．（2021·贵州遵义·统考中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
【解析】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.

二、填空题
4．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．
【答案】
【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
【解析】解：移项得：，
∴，
∴或，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
5．（2020·贵州毕节·统考中考真题）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．
【答案】1
【分析】把方程的根代入原方程得到，解得k的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．
【解析】∵方程是一元二次方程，
∴k+2≠0，即k≠-2；
又0是该方程的一个根，
∴，
解得，，，
由于k≠-2，
所以，k=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．
6．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．
【答案】1
【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．
【解析】解
（x-3m）（x-m）=0
∴x-3m=0或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，
∴3m-m=2
解得m=1
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．

三、解答题
7．（2022·四川凉山·统考中考真题）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【解析】解：，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．
【答案】（1）见解析；（2）0或-2或1或-1
【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值；
【解析】解：（1）
∵△=
=
∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵
∴
∴=0
∴，或，
当，时，

∵k与都为整数，
∴k=0或-2
当，时，
∴，
∵k与都为整数，
∴k=1或-1
∴k所有可能的值为0或-2或1或-1
【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．


一、单选题
1．方程的根是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用因式分解法解方程即可得到正确选项．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
2．方程的根是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】移项，得，因式分解，得，则或，解得或．
3．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ）
A．∵，∴或
B．∵，∴或
C．∵，∴或
D．∵，∴
【答案】A
【解析】∵，∴或，A选项正确，符合题意；由于使用因式分解法解方程时方程右边须为0，故B，C选项错误；∵，∴或，故D选项错误．
4．下列方程适合用因式分解法解的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题可将选项先化简成，看是否可以配成两个相乘的因式，满足则方程适用因式分解．
【解析】A、，适用公式法，不适合用因式分解法来解题；
B、，即，适用公式法，不适合用因式分解法来解题；
C、，即，则，故适合用因式分解法来解题；
D、，适用公式法，不适合用因式分解法来解题；
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
5．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（　　）
A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．5
【答案】C
【分析】由已知的方程进行换元a= x2+y2转化为一元二次方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可
【解析】设a= x2+y2，则原方程可化为a2+2a﹣15=0，
∴(a+1)2=16，解得：a=3或a=﹣5，
又∵a≥0，∴a= x2+y2=3.
故选C.
【点睛】解此题的关键在于利用换元法将原方程简化.
换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化.
6．若x，y都是负数，且，则的值是（    ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】将x+y看作一个整体，把已知等式进行因式分解即可求出x+y的值．
【解析】解：，
∴，
即，
可得或．
∵x，y都是负数，
∴x+y＜0，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是利用整体思想，掌握因式分解法．
7．已知3是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（    ）
A．7 B．10 C．10或11 D．11
【答案】C
【分析】把x＝3代入已知方程求得m的值，然后求出该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【解析】解：把x＝3代入方程得：，
解得m＝6，
则原方程为，
解得：x1＝3，x2＝4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，符合三角形三边关系，△ABC的周长为4＋4＋3＝11，
②当△ABC的腰为3，底边为4时，符合三角形三边关系，△ABC的周长为3＋3＋4＝10，
综上所述，△ABC的周长为10或11．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．
8．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为(　　)
A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1
【答案】B
【分析】先将，代入一元二次方程得出与的关系，再将用含的式子表示并代入一元二次方程求解即得．
【解析】∵关于的一元二次方程的两根为，
∴或
∴整理方程即得：
∴
将代入化简即得：
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．
9．阅读理解：解方程．解：（1）当时，原方程可以化为，解得（不合题意，舍去）；（2）当时，原方程可以化为，解得（舍去），∴原方程的解为．那么方程的解为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的定义当x≥1时方程为x2-x+1-1=0，求出方程的解；当x＜1时方程为x2+x-1-1=0，求出方程的解，即可求出答案．
【解析】当x≥1时，方程为x2-x+1-1=0，
∴x1=0（舍去），x2=1；
当x＜1时，方程为x2+x-1-1=0，
∴x1=-2，x2=1（舍去），
∴方程的解是x1=-2，x2=1．
故选：B．
【点睛】此题考查绝对值，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解题的关键．
10．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（    ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可；
③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．
【解析】①当时，若，则
∴或者，故①错误；
②等式化简后为
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，即
∴，故②正确；
③若，，则两个方程相加得：，
∴

∴ ，故③错误；
④整理得：

∴
∵整数解
∴，，，
∴，， ，， ，，，，，
∴ 整数解共9对，故④错误；
综上所述，结论正确的有②；
故选：A．
【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．

二、填空题
11．一元二次方程的解是________．
【答案】
【解析】原方程可转化为，∴或，解得．
12．一元二次方程的解是________．
【答案】
【解析】∵，∴．∴．∴或，解得．
13．一元二次方程的解为__．
【答案】，
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式．
【解析】解：


，．
故答案是：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
14．关于x的方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0的根为整数，则所有整数的和为____________．
【答案】
【分析】分两种情况讨论，当时，方程为一元一次方程时，或当时，根据因式分解法解题即可．
【解析】当时，原方程可化为
解得为整数；
当时，原方程是关于x的一元二次方程，可化为

根据题意根为整数，或，
解得
所有整数的和为：
故答案为：-5．
【点睛】本题考查方程的解，涉及解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．若方程和的解相同，则的值为______．
【答案】4
【分析】根据方程解相同，得到常数项相等即可求出b的值．
【解析】解：根据题意得：b2-16=-3b+12，即b2+3b-28=0，
分解因式得：（b-4）（b+7）=0，
解得：b=4或-7，
当b=-7时，两方程为x2+3x+33=0无解，舍去，
则b=4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
16．菱形的两条对角线长分别为方程的两个根，则该菱形的周长为______．
【答案】10
【分析】解方程，可得菱形的对角线长，根据菱形的性质，可通过菱形的对角线求得菱形的边长，进而求出周长．
【解析】解：解方程，解得，，
菱形的对角线互相垂直且边长相等，
根据勾股定理可得，边长为，
菱形的周长为．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，熟知菱形性质是解题的关键．
17．定义新运算“”，规则：，如，．若的两根为，则_____．
【答案】或
【分析】首先解方程求得方程的两个解，根据，可以得到的值是两个根中的较大的一个．
【解析】解：解方程，
，
或，
解得：，或，，
，
当，时，
．
当，时，
.
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是理解．
18．已知正整数满足：，则值为___________．
【答案】146
【分析】将xy+x+y=71，x2y+xy2=880稍作变化，变为xy+（x+y）=71，xy（x+y）=880．此时x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解．解出该方程的解即为x+y，xy的值．再将x+y，xy代入x2+y2=（x+y）2-2xy求值即可．
【解析】解：∵xy+x+y=71，x2y+xy2=880，
∴xy（x+y）=880，xy+（x+y）=71，
∴x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，
解得t=55或16，
∴x+y=55、xy=16（此时不能满足x、y是正整数，舍去）或x+y=16、xy=55，
当x+y=16、xy=55时，x2+y2=（x+y）2-2xy=162-2×55=146．
故x2+y2的值为146．
故答案为146.
【点睛】本题考查因式分解的应用、一元二次方程，难度较大，解决本题的关键是将x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，解出t即可知x+y、xy的值．

三、解答题
19．用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】解：（1）∵，
∴．
则或
解得．
（2）∵，
∴．
则，
解得．
（3）∵，
∴．
则，
∴或．
解得．
（4）∵，
∴．
∴或．
解得．
20．用因式分解法解下列关于x的方程
（1）                （2）
（3）                  （4）
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解析】解：（1）


解得：，
（2）



解得：，
（3）


解得：，
（4）


解得：，
【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键．
21．用因式分解法解下列关于x的方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．
【分析】（1）移项后提取公因式；
（2）使用平方差公式；
（3）等式右边用平方差公式分解，然后移项提取公因式；
（4）前面三项可以用完全平方公式分解，然后用平方差公式．
【解析】解：（1），
，
，
则有或，
解得：，；
（2），
，
，
则有或，
解得：，；
（3），
，
，
，
则有或，
解得：，；
（4），
，
，
则有或，
解得：，．
【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，需要先将等式右边变成0，然后观察等式左边，采用适当的方法进行因式分解，最后由每个因式等于0求出方程的根．
22．已知关于的方程．
(1)求证：无论取什么数，方程总有两个实数根；
(2)若已知方程有一个实数根是，试求出另一个实数根．
【答案】(1)见解析
(2)方程的另一个实数根是

【分析】（1）根据根的判别式进行判断即可；
（2）把代入方程，求出m的值，再把m的值代入原方程，解方程即可．
【解析】（1）证明：关于的方程中，，，，
则

，
∴无论取什么数，方程总有两个实数根；
（2）解：把代入方程得：，
解得：，
把代入原方程得：，
整理得：，
解得：，，
∴方程的另一个实数根是．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
23．以下是小滨在解方程时的解答过程．
解原方程可化为，
解得原方程的解是．
小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】有，正确的过程见解析
【分析】有错误，忽略了的情况，根据解一元二次方程的方法写出正确的解答过程即可．
【解析】解：小滨的解答有错误，忽略了的情况，
正确的解答为：
方程可化为：，
移项得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
24．已知关于的一元二次方程，其中分别是的边长．
(1)若方程有两个相等的实数根，试判断的形状；
(2)若是等边三角形，试求该一元二次方程的根．
【答案】(1)是直角三角形
(2)，

【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，可得，代入化简即可；
（2）根据是等边三角形，可得，将原方程化简求解即可．
【解析】（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）当是等边三角形，
∴，
可整理为：，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元一次方程，勾股定理，熟知关于的一元二次方程：若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程没有实数根；是解本题的关键．
25．数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题：
已知非零实数a，b同时满足等式，求的值．
小白：哈哈！结果为正数．          小青：x，y不一定相等哦．
结合他们的对话，请解答下列问题：
(1)当时，①求x的值．②求的值．
(2)若，则_____________．
【答案】(1)①，②
(2)

【分析】（1）将代入方程，然后解一元二次方程求解；
（2）联立方程组，运用加减消元法并结合完全平方公式，求得和的值，然后将原式通分化简，代入求解．
【解析】（1）解：①当时，，
整理得，
，
解得，
②；
（2）当时，联立方程组得
将，得：
整理，得：，
，
又∵
∴，
将①+②，得：，
整理，得：，
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简求值及完全平方公式的运用，解一元二次方程，掌握完全平方公式的公式结构和分式的化简计算法则准确计算是解题关键．
26．观察下列各等式：
①
②
③
④
(1)按以上等式规律，请完成第⑤个等式　　；
(2)按以上等式规律，请完成第n个等式　　，并证明这个等式的正确性；
(3)直接写出等式右边等于20201的等式．
【答案】(1)61
(2)，见解析
(3)

【分析】（1）由前4个等式可直接得出；
（2）根据完全平方公式和二次根式的性质解答即可；
（3）利用（2）中的规律解答即可．
【解析】（1）．
故答案为：61；
（2）．
证明：左边


．
由题意可知n为大于或等于1的整数，
∴，
∴，
∴左边右边，即成立．
故答案为：；
（3）等式右边等于20201的等式为：．
理由：由题意得：，
∴，
∴，
∴（舍）．
∴等式右边等于20201的等式为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简与计算，完全平方公式的应用，数字的变化规律．观察数字的变化发现规律和掌握二次根式的性质是解题关键．
27．已知，，为有理数，且多项式能够写成的形式．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）若，，为整数，且，试求，，的值．
【答案】（1）；（2）；（3），，．
【分析】（1）因为是的一个因式，所以方程的解方程的解，代入解即可求得；
（2）根据（1）中a、b、c的关系即可求得；
（3）根据（1）中a、b、c的关系，和，，为整数，即可求得．
【解析】（1）是的一个因式，
，即，是方程的解，
，
得：③，
．
（2）由③得：④，
④代入①得：⑤，
．
（3），
，
，
解得：，
又，均为大于的整数，
可取的值有，，，，，
又为正整数，
，，
则，
，，．
【点睛】本题考查多项式的因式和一元二次方程，掌握多项式与因式之间的关系并正确求出系数的关系是解题的关键．