精品解析：四川省凉山州安宁河联盟2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

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安宁河联盟2022～2023学年度下期高中2022级期中联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知平面向量，.若，则实数的值为（    ）A.  B.  C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意，由平面向量共线的坐标运算，列出方程，即可得到结果.【详解】因为，且，，则，解得.故选：C2. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ）A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】根据函数图象变换直接求解.【详解】因为,所以要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位,故选:B3. 的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用两角差正弦公式求解即可.【详解】因为，所以故选：C.4. 若函数的图像关于轴对称，则的值可能为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知当时，取得最值，从而可得，进而可得答案.【详解】因为函数的图像关于轴对称，所以当时，取得最值，所以，得，对于A，若，则，解得，不合题意，对于B，若，则，解得，不合题意，对于C，若，则，解得，题意，对于D，若，则，解得，不合题意，故选：C5. 如图，若，，，点是线段上一点，且.若，则（    ）  A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理求解即可.【详解】因为，所以，所以.所以，即，.故选：B6. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角余弦公式求解可得结论.【详解】因为，，所以.故选：C.7. 函数的单调递增区间为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由正切函数的单调区间，列出不等式，求解即可得到结果.【详解】令，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：C8. 已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（    ）A. 4 B.  C.  D. 2【答案】A【解析】【分析】根据题意，由条件可得，然后结合图形，由平面向量数量积的几何意义即可得到结果.【详解】∵，∴为中点，则为直径，∴，又∵在上的投影向量为，如图：  过作，垂足为点，∴，∴为中点，则，∴.故选：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题正确的是（    ）A. 若向量，满足，则，为平行向量B. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底C. 模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等D. 若是等边三角形，则【答案】AB【解析】【分析】由平行向量定义可知A正确；由基底的要求可知B正确；由相等向量定义知C错误；由向量夹角的定义知D错误.【详解】对于A，，是平行向量，A正确；对于B，为一组基底，不共线，也不共线，也可以作为一组基底，B正确；对于C，虽然单位向量模相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，C错误；对于D，为等边三角形，，D错误.故选：AB.10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的交点为.则下列结论正确的是（    ）  A. 最小正周期为B. 的最大值为2C. 在区间上单调递增D. 为偶函数【答案】BC【解析】【分析】A选项，根据图象得到，A错误；B选项，先根据最小正周期求出，代入特殊点坐标，求出，，得到B正确；C选项，代入检验得到区间上单调递增；D选项，求出，利用函数奇偶性定义判断.【详解】A选项，设的最小正周期为，由图象可知，解得，A错误；B选项，因为，所以，解得，故，将代入解析式得，因为，所以解得，因为函数经过点，所以，故，的最大值为2，B正确；C选项，，当时，，因为在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确；D选项，，由于与不一定相等，故不是偶函数，D错误.故选：BC11. 数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音.复合音的产生是发声体在全段振动，产生的频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来.如我们听到的某个声音函数，对此以下说法正确的是（    ）A. 函数的周期为B. 函数图象关于点对称C. 函数图象关于直线对称D. 函数在单调递增【答案】BD【解析】【分析】根据周期函数的定义判断A，证明，判断B，证明判断C，结合正弦函数单调性判断D.【详解】对于A：，A选项错误对于B：.∴函数关于点对称，∴B选项正确，对于C：∴函数不关于直线对称，∴C选项错误对于D：，，，在均单调递增，由函数单调性的性质可知，在上单调递增所以D选项正确故选：BD.12. 关于函数，以下说法正确的有（    ）A. 是偶函数B. 在区间上单调递增C. 在上有4个零点D. 的值域是【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用偶函数的定义判断即可，对于B，，，然后利用复合函数判断单调性的方法分析判断即可，对于C，由于在上为偶函数，所以只需考查在上有几个零点即可，对于D，由于是偶函数，所以只要求出时函数的最大值和最小值即可.【详解】，定义域为对于A：，∴为偶函数，A选项正确对于B：当时，令，，∵在上单调递增，∴又∵，对称轴为，∴在上单调递增由复合函数单调性可知，在上单调递增，B选项正确对于C：∵在上为偶函数，只需考查在上有几个零点当时，，令，∴即：，∴或，，，由对称性得，∵在有6个零点，C选项错误对于D：当时，，令，.对称轴为，∵开口向上，∴当时，，当时，，∴结合偶函数性质得的值域为，D选项正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的综合问题，考查复合函数单调性和值域的求法，解题的关键是通过换元法，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 求值：__________．【答案】【解析】【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得；【详解】解：故答案为：14. 已知，则__________.【答案】##【解析】【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；【详解】解：因为，所以，所以故答案为：15. 已知，，，则与的夹角为___________.【答案】【解析】【分析】先根据求出，利用夹角公式可得答案.【详解】因为，，所以，又所以；所以，因为，所以.故答案：.16. 已知点是所在平面内一点，满足，若，，则的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】由条件结合重心性质可得点为的重心，根据向量线性运算可得，根据向量的数量积的性质可得，设，，可得，利用基本不等式求的最小值.【详解】∵，∴点为的重心，∴∴又∵∴设，，，∴∴当且仅当时，等式成立，∴ ，当且仅当时，等式成立，∴当时，取最小值，最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知平面向量，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标运算公式求解；（2）先求的坐标，再由向量的模的坐标公式求模即可.【小问1详解】∵，，∴【小问2详解】∵，，∴，∴18. 已知，，.（1）求的值；（2）求角的大小.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先由条件根据同角关系求出，再求；（2）先根据，，求出，再根据求解即可.【小问1详解】∵，，∴∴；【小问2详解】∵，∴又∵，∴∴，∵，∴.19. 已知函数  （1）用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像；（2）结合第（1）图象写出函数在上单调递增区间；（3）当时，的取值范围为，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析    （2），    （3）【解析】【分析】（1）由，计算出的取值范围，通过列表、描点、连线，可作出函数在上的图象；（2）观察图象可得函数在上的单调递增区间；（3）由已知可得，结合正弦函数性质列不等式可求的取值范围.【小问1详解】，，由可得，，列表如下：25200作图：  【小问2详解】结合图像，函数在上的单调递增区间为，【小问3详解】，，又，所以，所以，，的取值范围是．20. 已知.（1）求的最小正周期；（2）当时，求的值域；【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，诱导公式，辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数周期公式求周期；（2）利用不等式性质结合正弦函数性质求值域.小问1详解】∴函数的最小正周期【小问2详解】令，∵，∴∵，即，在上单调递增，在上单调递减，而，，，则值域为，则值域为.21. 如图，在梯形中，，、是的两个三等分点，，是的两个三等分点，线段上一动点满足.分别交、于，两点，记，.  （1）当时，用，表示；（2）若，求的最大值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据题意，由平面向量基本定理，即可表示出.（2）根据题意，连接，，用，分别表示出，，然后根据，，三点共线，，，三点共线列出方程表示出，再结合基本不等式即可得到结果.【小问1详解】∵，∴，∴，【小问2详解】  连接，，则因为，，三点共线，，，三点共线，设，，所以，因为，所以，得因为，所以，所以，因为，所以，即，代入得因为，所以解得因为，∵，∴当且仅当时取得等号，∴的最大值是22. 已知函数，函数的图象经过点且的最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度；再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数图象，令函数，区间（且）满足：在上至少有18个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根据三角函数周期性和函数的图象经过点，分别求出即可；（2）利用换元法以及不等式恒成立关系可得，从而求解；（3）根据三角函数的图像变换确定的解析式，再根据函数的零点的概念列出方程求解.【小问1详解】由题意，∴，∴,∴,又∵的图象过点∴，∴,又∵，∴，∴.【小问2详解】∵,又∵,∴令，即，∴,∵，∴，∴,∴，即,∴,要使原不等式恒成立，只要∴,在单调递增,当时，，∴.【小问3详解】向下平移1个单位,横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变,纵坐标变为原来的倍，横坐标不变,,令得：,∴或,∴解得：或,∴相邻两个零点之间的距离为或,若要使最小，则，均为的零点,此时，在区间，，…，分别恰有3，5，…个零点,∴在区间恰有：个零点,∴至少有一个零点，∴,即,检验可知：在恰有个零点，满足条件,∴，即.