2023年山东省青岛市局属学校中考数学二模试卷（含答案）

2023年山东省青岛市局属学校中考数学二模试卷

一、选择题

1.  年，在全球经济受到新冠疫情的影响下，我国仍逆势增长，经济总量达到亿元数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，将一个圆柱体垂直切去右边一部分，左边部分的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在如图所示的平面直角坐标系中，将向右平移个单位长度后得到，再将绕点旋转后得到，那么点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，于点，连接，，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点是，点在抛物线上，且在直线上方，则下列结论正确的是(    )
 

A.
B. 方程有两个不相等的实数根
C.
D. 点到直线的最大距离
 

8.  已知：如图，菱形中，对角线，相交于点，且，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，直线从点出发，沿方向匀速运动，速度为，，且与，，分别交于点，，；当直线停止运动时，点也停止运动．连接，设运动时间为设四边形的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题

9.  计算  ______．

10.  一个不透明的袋子中装有若干个只有颜色不同的小球，随机摸出一个白色小球的概率是；如果再往袋子中放入个同样的红色小球，随钒摸出一个白色小球的概率变为，则原来袋子中有白色小球______ 个

11.  甲、乙两射击运动员进行次射击，甲的成绩是，，，，，，，，，，乙的成绩如图所示．则甲、乙射击成绩的方差之间关系是______填“”，“”，“”．

12.  如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点．若的半径为，，，则阴影部分的面积为______．

13.  如图，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点．设的长度为，与的长度和为，图是关于的函数图象，则图象上最低点的坐标为______．

14.  在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为______ ．

三、解答题

15.  如图，已知矩形，请用尺规作图法在矩形内部找一点使得要求：作出符题意的一点即可，保留作图痕迹，不写作法．

16. 
计算：
；
解不等式组，并求它的所有整数解的和．

17. 
某数学兴趣小组准备了张卡片，正面图案如图所示，它们除正面图案不同之外其他完全相同，把这张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，用列表或画树状图的方法，求这两张卡片的正面图案都是轴对称图形的概率．

18. 
为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度：，米，米，求广告牌的高度测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，

19. 
电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试七、八年级各有名学生，现从这两个年级各随机抽取名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩按：，：，：，：四个评价等级进行整理，得到了不完整的统计图表七年级成绩统计表：

八年级测试成绩评价等级为的全部分数单位分如下：，，，，，，，，，，，，．

表格中， ______ ；
八年级测试成绩的中位数是______ ；
若测试成绩不低于分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？

20. 
如图，为的直径，、是的弦，延长、交于点，连接，．
若平分，求的度数；
若点为的中点，，，求的半径．

21. 
如图，一次函数的图象交反比例函数图象于，两点．
求，的值；
点是轴上一点，且，求点的坐标；

22. 
已知：在中，，点、分别是、的中点，连接并延长交外角的平分线与点．
求证：；
连接，，当满足什么条件时，四边形为正方形？请证明你的结论．

23. 
探究发现
下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
如图，在等边三角形内部有一点，，，求的度数．

解：将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．
，，，

为______ 三角形
的度数为______ ．
类比延伸
如图，在正方形内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．
联想拓展
如图，在中，，点在直线上方且，试判断是否存在常数，满足若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

24.
跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到例处的水平距离为米时，例水平线的高度为米．
求抛物线的函数解析式；
当运动员与点的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
运动员从点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？

25.
如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧，点的坐标为，．
求抛物线的函数关系式；
若点是轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点且以为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方及完全平方公式分别计算并判断．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方及完全平方公式，掌握各计算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：左边部分的左视图是：
．
故选：．
左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且，
又为整数，
的最大值为．
故选：．
由二次项系数非零及根的判别式，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：

点的坐标，
故选：．
根据题意，画出图形，即可得出答案．
本题考查平移、旋转的性质．
平移的基本性质是：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行或在同一条直线上且相等，对应线段平行或在同一条直线上且相等，对应角相等．
旋转的性质是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的垂直平分线的交点是旋转中心．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，，
，，
，故选：．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息，结合函数的性质对选项进行判断是解题的关键．
根据图象可知，，再由对称轴可知，可判断；根据抛物线的顶点可知方程有且只有一个实数根，可判断；当时函数有最大值，由此可判断；求出函数的解析式和直线的解析式，当的面积最大值时，点到的距离最大．
【解答】
解：由图象可知开口向下，
，
函数与轴的交点在轴的正半轴上，
，
对称轴为直线，
，
，
故A不符合题意；
抛物线的顶点坐标是，
时，方程的解为，
方程有且只有一个实数根，
故B不符合题意；
当时，，
，即，
故C符合题意；
设直线的解析式为，
，解得，
，
设抛物线，将点代入，
，解得，
，
过点作轴交于点，
设点坐标为，则，
，
当时，的面积有最大值，
，，
，
，
，
点到直线的最大距离，
故D不符合题意，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，
，
即，
．

．
∽，
，
即，

同理，

．
．
是二次函数，开口向下，答案符合，
故选：．
过点作于点，由，求出据得出与之间的函数关系式；
本题主要考查了四边形的面积，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数图象的性质，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．
 

9.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先把化成，然后根据负整数指数幂、零指数幂的运算方法，分别求出、的值各是多少；最后根据实数的运算顺序，从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：；．
此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：为正整数；计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
 

10.【答案】 

【解析】解：设袋子中有白球个，
随机摸出一个白色小球的概率是，
袋子中原有小球个，
又再往袋子中放入个同样的红色小球，随机摸出一个白色小球的概率变为，
，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
袋子中有白球个，
故答案为：．
设袋子中有白球个，可得袋子中原有小球个，添加个红色小球后根据概率公式可得方程，解方程即可得答案．
本题主要考查概率公式的应用，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图中知，甲的成绩为，，，，，，，，，，
乙的成绩为，，，，，，，，，，
，
，
甲的方差，
乙的方差
．
故答案为：．
从折线图中得出乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，最后进行比较即可解答．
本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，，

是的切线，
，
，
点是的中点，点为的中点，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是的直径，
，
点是的中点，
，
，
图中阴影部分的面积
故答案为：
连接，，由切线的性质及圆周角定理证出，求出，，由扇形的面积公式可得出答案．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

、关于对称，
，
，
当、、共线时，的值最小，如下图：

观察图象可知，当点与重合时，，
，，
在中，，
的最小值为，
点的纵坐标为，
，
，
，
，
点的横坐标为，

故答案为：
如图，连接由、关于对称，推出，推出，推出当、、共线时，的值最小，观察图象可知，当点与重合时，，推出，，分别求出的最小值，的长即可解决问题．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：点坐标为，
直线为，，
，
直线为，
解得或，
，
，
，
直线为，
解得或，
，

，
，
故答案为：
根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
 

15.【答案】解：作的垂直平分线交于点，再以点为圆心，为半径作，接着再矩形内部的圆上任意取点，
则点为所作．
 

【解析】先作的垂直平分线得到的中点，再以点为圆心，为半径作，接着再矩形内部的圆上任意取点，根据圆周角定理得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质和圆周角定理．
 

16.【答案】解：


；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的所有整数解为：，，，，，
，
它的所有整数解的和为． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：四幅图、、、中轴对称图形为、，画树状图如图：

共有种可能的结果，这两张卡片的正面图案都是轴对称图形的结果有种，则这两张卡片的正面图案都是轴对称图形的概率为． 

【解析】找出四幅图中轴对称图形为、，画树状图，共有种等可能的结果，其中、正面朝上的有种，再用概率公式求解即可．
本题考查了树状图求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，涉及到概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，过点作，，垂足分别为，，

根据题意可知，，，，米，米，
，
，
米，米，
米，
，
米，
米，
在中，，米，
米，
米，
答：广告牌的高约为米． 

【解析】根据坡度的意义，求出，再利用直角三角形的边角关系求出，进而求出与，以及，最后结合直角三角形中的边角关系求出，进而求出．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：，
故答案为：；
把八年级名学生的测试成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数为，
故答案为：；
人，
答：估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共约有人．
用总数乘等级的频率可得的值；
根据中位数的定义解答即可；
用样本估计总体即可．
本题考查了频数分布分布表、扇形统计图、用样本估计总体等知识，掌握数形结合的思想解答是关键．
 

20.【答案】解：为的直径．
，，
又平分．
，
，
又四边形是的内接四边形．
，
答：的度数为；
连接，

点为弧的中点，
，
，
又，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
答：的半径为． 

【解析】由圆周角定理求得，推出，再根据圆内接四边形的性质求解即可；
连接，由垂径定理和圆周角定理推出，根据平行线分线段成比例得到，，再证明∽，据此求解即可．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】解：把点，代入中，得：，
反比例函数的解析式为，
将点代入得；
设直线的表达式为，
把，代入得，
解得，
直线的表达式为，
点的坐标为，
，
设点的坐标为，
，
，
解得：，
点的坐标为或． 

【解析】把点代入中，利用待定系数法求得的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把代入求得的解析式，即可求得的值；
根据待定系数法即可求得直线的表达式，即可求得直线与轴的交点，根据求得的面积，设点的坐标为，根据得到关于的方程，解方程求得，从而求得点的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
平分，
，
，
是的中点，
，
在与中，
，
≌，
；
解：当，四边形是正方形，
理由：，，
是等腰直角三角形，
，
平分，
，
，
，
由知，
四边形是平行四边形，
点是的中点，
，
，
，
矩形是正方形． 

【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据外角的性质定理得到，由角平分线的定义得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
由已知条件得到是等腰直角三角形，求得，推出，由知，得到四边形是平行四边形，根据直角三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理得到结论．
本题考差了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

23.【答案】直角   

【解析】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．
，，，
．
为直角三角形．
的度数为．
故答案为：直角；；

理由如下：
如图，把绕点顺时针旋转得到，连接．
则，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
．
．

证明：如图
将 绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，
可得，，，
，
，
，

，
．
根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数；
把绕点顺时针旋转得到，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得，，然后求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出，，再求出，然后利用勾股定理得出，等量代换得出．
将 绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，论证，再根据勾股定理代换即可．
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
 

24.【答案】解：由题意可知抛物线：过点和，将其代入得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；
当运动员和小山坡到水平线的高度相同时，
，
整理得：，
解得：，舍去，
当运动员与点的水平距离是，运动员和小山坡到水平线的高度相同；
设运动员与小山坡的高度差为，
则，
，
当时，有最大值，最大值为，
运动员与小山坡的高度差最大是米． 

【解析】根据题意将点和代入：求出、的值即可写出的函数解析式；
令，解方程即可；
设运动员与小山坡的高度差为，根据题意得，由函数的性质可以求出的最大值．
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：点的坐标为，
，
，
，
点，
，解得：，
抛物线的函数关系式为：；

存在，理由：
如图，当点在轴下方时，则点的纵坐标为，

令，则，
解得：或，
点的坐标为：；
如图，当点在轴上方时，由点到轴的距离为，可得点到轴的距离为，

令，则，
解得：，
点的坐标为：或，
综上可得，点的坐标为：或或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
如图，当点在轴下方时，则点的纵坐标为，则，即可求解；如图，当点在轴上方时，同理可解．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，平移的性质，分类讨论是解本题的关键．