2023辽宁省六校协作体高二下学期6月联合考试数学试题含答案

2022-2023（下）六校协作体高二6月联合考试

数学试题

考试时间：120分钟  满分：150分

第一命题校：葫芦岛市一高中    第二命题校：北镇高中

一、单项选择通：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．下列各命题的否定为真命题的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．“”是”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要分件

4．已知函数（且），若，则不等式的解集为（    ）

A．  B．

C． D．

5．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ）

A．（，） B．（，）

C．（，） D．（，）

6．设，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

7．已知定义在上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的一个周期为6 B．在区间上单调递增

C．的图像关于直线对称 D．在区间上共有100个零点

8．已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足（），则下列说法正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分．

9．已知函数，则（    ）

A．的定义域为 B．的图像关于对称

C．  D．的值域是

10．已知是定义在上的连续偶函数，是定义在上的连续奇函数，且，在单调递减，则（    ）

A． B．

C． D．

11．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，，则是等比数列

C．若是等差数列，则，，成等差数列

D．若是等比数列，则，，成等比数列

12．下列不等关系中成立的有（    ）

A．（） B．

C．  D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分．

13．已知函数，则曲线所有的切线中斜率最小的切线方程为______．

14．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则______．

15．已知，，则的最小值为______．

16．若存在实数，（），使得关于的不等式对恒成立，则的最大值为______．

四、解答题：本題共6小题，计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的两条公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米．若要求观景台与两接送点所成角与互补，且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路和，求观光线路之和最长是多少千米，此时为多少千米？

18．（本题满分12分）

已知定义在上的两个函数和，为偶函数，为奇函数，且．

（1）求函数和的解析式；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围．

19．（本题满分12分）

记数列的前项和为，且，（）．

（1）求数列的通项公式；

（2）设为整数，且对任意，，求的最小值．

20．（本题满分12分）

已知函数（，）．

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．

21．（本题满分12分）

已知数列的各项均为正数，其前项和满足，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）若，求数列的前项和．

22．（本题满分12分）

已知定义域均为的两个函数，．

（1）若函数，且在处的切线与轴平行，求的值；

（2）若函数，讨论函数的单调性和极值；

（3）设，是两个不相等的正数，且，证明：．

高二数学6月联考试题参考答案

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

17．解：在中，由余弦定理得，

即，即，

因为，所以，

当且仅当时取等，

此时，所以千米

18．解：（1）∵为偶函数，为奇函数

∴

∴，

（2）由（1）得，由得，

根据在上单调递增，

故，

令，，则原不等式等价于

对恒成立，在上恒成立

∵，∴，

即的取值范围是

19．解：由题设可知，当时，，故

，

（2）设，则时，

故．

于是

整理可得，故，

又，所以符合题设条件的的最小值为7

20．解：（）

①当时，恒成立，函数的递增区间为．

②当时，令，解得或．

所以函数的递增区间为，递减区间为．

（2）对任意的，使恒成立，只需对任意的，．

①当时，在上是增函数，所以只需，

而，所以满足题意；

②当时，，在上是增函数，

所以只需，而，所以满足题意；

③当时，，在上是减函数，上是增函数，

所以只需即可而，从而不满足题意；

综上可知，实数的取值范围为．

21．（1）证明：因为，，

所以    ①，

当时，   ②，

则①－②得：，

因为，所以

整理得：，即，所以数列是等比数列；

（2），；

22．解（1）因为，所以，

所以，

又在处的切线与轴平行，

所以，所以，

所以，

即，所以；

（2）因为，

所以的定义域为，

，令，得，

当变化时，的关系如下表：

所以在，上单调递减；在上单调递增．

所以的极小值为，为极大值；

（3）证明：要证，

只需证，根据，

只需证，又，是两个不相等的正数，不妨设，

由得，

两边取指数，，化简得：，

令，所以，

，

根据（2）得在，上单调递减，在上单调递增（如图所示），

由于在上单调递减，在上单调递增，

要使且，不相等，

则必有，，即，

由得，．

要证，只需证，

由于在上单调递增，要证，

只需证，

又，只需证

只需证，

只需证，只需证，

只需证，即证，

令，（）

，，

只需证，（），

，

令，则，（），

所以在上单调递减，所以，

所以，所以在上单调递减，

所以，所以，