2023浙江省强基联盟高一下学期5月统测数学试题含解析

2022学年第二学期浙江强基联盟高一5月统测

数学试题

命题人：浙江省义乌中学—桂晓宇

审题人：杭师大附中—黄超

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集，则图中阴影部分对应的集合是（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知（其中为虚数单位），则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.下列说法错误的是（    ）

A.一个八棱柱有10个面

B.任意四面体都可以割成4个棱锥

C.棱台侧棱的延长线必相交于一点

D.矩形旋转一周一定形成一个圆柱

4.设是平行四边形的对角线的交点，则（    ）

A.    B.    C.    D.

5.若，则（    ）

A.-1    B.1    C.-2    D.2

6.若，则（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.如图所示，在三棱锥中，与所成的角为，且.在线段上分别取靠近点的等分点，记为，.过作平行于的平面，与三棱锥的截面记为，其面积为，则以下说法错误的是（    ）

A.截面都为平行四边形

B.

C.

D.

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知是虚数单位，下列说法正确的是（    ）

A.若复数满足，则

B.若复数满足，则

C.若是纯虚数，则实数

D.若，则的最大值为

10.在锐角中，角的对边分别为，则下列选项正确的是（    ）

A.    B.    C.    D.

11.如图，在中，，则的可能值为（    ）

A.    B.    C.    D.

12.在正方体中，为棱的中点，在平面上运动，且，已知正方体的棱长为2，则（    ）

A.平面

B.的轨迹长度为

C.的最小值为

D.当在棱上时，经过三点的正方体的截面周长为

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在三棱锥中，平面，则三棱锥的表面积为__________.

14.已知，则__________.

15.已知向量，若，则的最小值为__________.

16.水平桌面上放置了3个半径为2的小球，3个小球的球心构成正三角形，且相邻的两个小球相切，若用一个半球形的容器罩住3个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为__________.

四､解答题：第17题10分，18~22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知向量.

（1）若，求实数的值；

（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.

18.（本小题满分12分）

在中，角的对边分别为，在以下条件中选择一个条件：①；②；③.求解以下问题.（选择多个条件的，以所选的第一个计分）

（1）求角；

（2）若，且，求的内切圆半径.

19.（本小题满分12分）

在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，底面是的中点，是的中点，分别在线段和上，且.

（1）证明：平面平面.

（2）求直线与底面所成角的大小.

20.（本小题满分12分）

杭州市为迎接2023年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图所示的四边形.运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车､公共器材车或收容车处获得帮助，如修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点处进行，还需要运送一些补给物品，例如食物､饮料､工具和配件，所以项目设计需要预留出为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），为赛道，，.

（1）设点到赛道的最短距离为，请用表示的解析式；

（2）应该如何设计，才能使折线段赛道最长（即最大），最长值为多少？

21.（本小题满分12分）

如图，在多面体中，平面平面，平面平面是菱形，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

22.（本小题满分12分）

已知函数，其中.

（1）当时，求的值域；

（2）若对任意，求实数的取值范围.

2022学年第二学期浙江强基联盟高一5月统测

数学试题参考答案

1.D  ，选D.

2.D  ，选D.

3.D  对于选项，根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10个面，故A正确；

对于选项，在任意四面体内取一点，将点与四面体的各个顶点连接，即可构成4个棱锥，故B正确；

对于选项C，根据棱台的定义，其侧棱的延长线必交于一点，故C正确；

对于选项D，矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D错误.故选D.

4.A  ，选A.

5.C  由得到，由集合相等可以推出，选.

6.A  ，所以，故选A.

7.B  ，则，，要有且仅有三个不相等的实根，则，则，，故选B.

8.C  过作平行于的平面分别交于.

对于，因为平面，且平面平面，所以，同理，故四边形为平行四边形.故A正确.又所成的角为，所以所成的角也为.又为靠近的等分点，故.故

.

对于，故B正确.

对于是关于的开口向下的二次函数，先增后减，错误.

对于D，对单调递增，故D正确.故选C.

9.BD  对于，当时，，所以错误；

对于，设，因为，所以，于是，所以B正确；

对于是纯虚数，则即，故C错误；

对于，由，得在复平面内对应的点的轨迹是单位圆，所以，所以D正确.故选.

10.ACD  正确.

正确.

，D正确.

，B错误.

11.BD  由于是上的两个三等分点，则.

由图形可得，

因为，所以，

整理得，即，

由基本不等式得，

当且仅当时，等号成立.

所以的最小值为，所以选.

12.BCD  取的中点，连接，则与平面不平行，错误.

因为平面平面，所以.取的中点，连接，则的轨迹为正确.

在中，，

所以，C正确.

取上靠近点的四等分点的中点上靠近的三等分点，五边形即为截面，

所以，D正确.故选BCD.

13.  .

14.  令，则，

故.

15.  ，

，当且仅当，即，即，时，等号成立.故的最小值为6.

16.  如图所示，设3个球心分别为个球分别与水平桌面相切于三点，

假设半球形的容器与球相切于点，则此时半球形容器内壁的半径最小，最小半径设为，

则.

17.解：（1）.

，

.

（2）的夹角为锐角，且不共线，

且且，即实数的取值范围为，

18.解：（1）选①.因为，所以，

所以，因为，

所以，

所以，

因为，所以，所以，

因为，所以，所以.

选②.，则，所以，即，

所以，所以.

选③.因为，所以，又，所以，所以.

（2）因为，由（1）可知，所以，

又因为，所以，

.

由的面积，得.

19.（1）证明：取的中点，取上靠近的四等分点，连接.

且，

同理有且，

且四边形是平行四边形，.又平面，平面平面，

.

又平面平面，

平面.

平面平面.

（2）解：由（1）知，又底面，

底面，连接，

就是与底面所成的角.

在Rt中，，

与底面所成角的大小是.

20.解：（1）由已知得.

在中，由正弦定理得，

.

又，且，

，

即.

（2）在中，由正弦定理得，

，

.

当时，取得最大值.

21.（1）证明：分别取的中点，连接.

平面平面，平面平面平面，

平面，又平面，同理，，

平面平面，

又平面.

（2）解：在上取，连接.由勾股定理可知，，

即为二面角的平面角.

二面角的平面角的余弦值为.

22.解：（1）.

令，则.

所以，

所以的值域为，即的值域为.

（2）令，

由题意，即满足.

因为，所以为开口朝上的二次函数，对称轴为，

当时，.

①当时，此时，

，得，无解.

②当时，此时，所以，

故或.