江苏省四所百强中学2022-2023学年高二数学下学期6月月考试题（Word版附答案）

南京师大附中2023届高二年级期末考试

数学

2023.6

（总分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.

2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.

3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.复数在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

2.设集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.设某中学的女生体重单位：与身高（单位：具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为.若该中学女生的平均身高为，则该中学女生的平均体重的估计值是（    ）

A.    B.    C.    D.

4.设与均为单位向量，它们的夹角为.若，则的范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

5.设，则（    ）

A.    B.

C.    D.

6.现有5名同学去3个养老院参加公益活动，每名同学只去1个养老院，每个养老院至少安排1名同学，则不同安排方案的种数为（    ）

A.25    B.40    C.150    D.240

7.设函数，则关于的不等式的解集为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.设抛物线的焦点为，准线为是与轴的交点，.过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点与相交于点，若，则点到轴的距离为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.甲､乙两地四月7日至14日的最高气温如图所示，下列说法中正确的是（    ）

A.乙地在这8日内最高气温的极差为

B.甲､乙两地12日温差最大

C.甲地这8日平均气温为

D.甲地的75百分位数是

10.已知为各项为正数的等比数列，.记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（    ）

A.数列的公比为2

B.

C.数列为等差数列

D.数列的前项和为

11.若函数，则在区间内可能（    ）

A.单调递增    B.单调递减

C.有最小值，无最大值    D.有最大值，无最小值

12.如图，圆锥内有一个内切球，球与母线分别切于点.若是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（    ）

A.球的表面积与圆锥的侧面积之比为

B.平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线

C.四面体的体积的取值范围是

D.若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为

第II卷（非选择题共90分）

三､填空题（本大题共4小题，每小顾5分，共20分）

13.若，则的值为__________.

14.展开式中的常数项为__________.（结果用数字表示）

15.现有两个罐子，1号罐子中装有2个红球､1个黑球，2号罐子中装有3个红球､1个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为__________.

16.若存在实数使得，则的值为__________.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知各项不为零的数列满足：.

（1）求，并求的通项公式；

（2）记数列的前项和为，证明：.

18.（本小题满分12分）

的内角的对边分别为，已知.

（1）求；

（2）求周长的最大值.

19.（本小题满分12分）

“总要来趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多万，居全省第一.南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵､夫子庙､玄武湖､南京博物院等传统景区，又有科巷､三七八巷､德基广场等新晋网红景点.

（1）如果随机访问了50名外地游客，所得结果如下表所示：

试判断是否有的把握认为是否首选网红景点与性别有关；

（2）根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是0.6，首选网红景点的概率是0.4.如果随机访问3名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为，求的分布列和期望.

附：（其中.

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱台中，平面，四边形为菱形，.

（1）证明：；

（2）点是棱上靠近点的三等分点，求二面角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知双曲线经过点，且离心率为2.

（1）求的方程；

（2）过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点.设点为双曲线上的两个动点，直线的斜率分别为，若，求.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若，讨论的单调性；

（2）若，存在满足，且，求的取值范围.

2024届高二年级6月份数学学科测试答案

一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.D    2.C    3.A    4.B    5.D    6.C    7.D    8.B

二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.BCD    10.ABC    11.BC    12.ABD

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.    14.60    15.    16.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17.解：（1）因为，所以，

所以，

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以，所以；

（2），

所以

所以.

18.解：（1）由正弦定理，可知，

整理得，

因为，所以，

因为，所以，所以，

又因为，所以.

又，所以；

（2）由余弦定理，得，

所以，

则，

所以，当且仅当“”时取得等号，

所以周长的最大值为.

19.解：（1）提出假设

：是否选择网红景点与性别没有关系.

由题意，补全列联表得

根据公式求得.

因为当成立时，的概率约为0.1，所以有的把握认为，是否首选网红景点与性别有关.

（2）由题意知，随机变量服从二项分布.

则的分布列为：

即

的分布表为：

所以的期望值..

（分布列和分布表写出一个即可得分，期望值也可以直接用定义计算）

20.解：（1）四棱台中，延长后交于一点，故共面，

因为平面平面，故，

连接，因为底面四边形为菱形，故，

平面，

故平面，

因为平面，所以；

（2）过点作的垂线交与点，以作为轴，以分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则，

由于，故，

由于点是棱上靠近点的三等分点，故，

则，

则，

记平面的法向量为，则，

即，

令，则，即..

平面的法向量可取为，

则

由图知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.

21.解：（1）由题意得，解得.

所以的方程为.

（2）由题意，点坐标为，点坐标为，设.

方法一：

①若直线斜率存在，设直线方程为，

，消去可得，

且，

且.

整理可得，

，

化简得，

即，

因为直线不过点，所以，所以，

所以直线的方程为，恒过定点.

②若直线斜率不存在，则.

，

解得，所以直线的方程为，过定点.

综上，直线恒过定点.

设点到直线的距离为，点到直线的距离为，

方法二：

因为直线不过点，所以可设直线方程为

.

由可得，

即，

，

得，

等式左右两边同时除以得

，

，

，解得.

所以直线方程为，恒过定点

下同法一.

22.解；（1）当时，，

①当时，对任意恒成立，

所以的单调增区间是，无减区间；

②当时，令，得，令，得，

所以的单调增区间是，单调减区间是；

综上，当时，的单调增区间是，无减区间；

当时，的单调增区间是，单调减区间是.5分

（2）方法一：

当时，，

因为，所以，

又因为，不妨设，

所以.

令，

则问题转化为在上有解.

注意到，

①当，即时，

对任意恒成立，

所以在上单调递增，，

在上无解，不符题意，舍去..

②当，即时，

因为在上单调递增，所以，

从而在上单调递减.

因为，

所以存在.

从而在上单调递增，上单调递减.

取，

令恒成立，

所以，从而，即，

因为，所以，所以.

此时

因为

且在上单调递增，上单调递减，

所以必有，从而存在，符合题意.

综上，.

方法二：

当时，，

因为，

所以，

因为，且，

所以，

令，

从而，

即，

令，

则问题转化为在上有解.

①若，即时，

在上恒成立，

所以在上单调递增，，

所以在上无解，不符题意，舍去.

②若，即时，

在上单调递增，，

所以在上单调递增，

因为，

，

所以存在，

从而在上单调递减，在上单调递增.

令，

所以，从而，即，

此时‘’

取，

此时，

所以

因为

且在上单调递减，上单调递增，

所以必有，从而存在，符合题意.

综上，.