河南省开封市2023届九年级中考第一次模拟考试数学试卷(含解析)

2023年中招第一次模拟考试

数学试题

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的．

1. 在0，，，这四个数中，最小的数是（    ）

A. 0 B.  C. －1 D.

2. 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 黄河是中华民族的母亲河，发于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，长度约为5464000米，请将数据5464000用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 如图，已知，若，，则为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. “学习强国”平台，立足全体党员，面向全社会．某省有532.9万名党员注册学习，为了解党员学习积分情况，随机抽取了10000名党员学习积分进行调查，下列说法错误的是（    ）

A. 总体是该省532.9万名党员“学习强国”积分 B. 个体是每一个党员

C. 样本是抽取的10000名党员的“学习强国”积分 D. 样本容量是10000

6. 若，则方程根的情况是（    ）

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根

C 有一个实数根 D. 没有实数根

7. 已知点，，在下列某个函数图象上，则这个函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，则为（    ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 如图，在中，，，分别以点A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P、Q，作直线，分别交、于点E、F，连接，若，则四边形的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 如图，点坐标为，点在轴的正半轴上，过点作轴于点，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在边上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题．（每小题3分，共15分）

11. 如果水位升高记作“”，那么“”表示的意义是______．

12. 不等式组的最小整数解是______．

13. 如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则灯泡发光的概率为______．

14. 繁塔是古城开封现存古老的建筑之一．某数学小组测量繁塔的高度，如图，在A处用测角仪测得繁塔顶端D的仰角为，沿方向前进13m到达B处，又测得繁塔顶端D的仰角为．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与繁塔的底部C在同一水平线上，则繁塔的高度为______（结果精确到0.1m．参考数据：，，）．

15. 如图，在中，，，是边上的中线，E是边上一动点，将沿折叠得到，若点F（不与点C重合）落在的角平分线所在直线上，则的长为______．

三、解答题．（本大题8个小题，共75分）

16. （1）计算：；

（2）化简：．

17. 为提高学生身体素质，初中生每天参加体育锻炼的时间应不少于1小时，某校为了解该校学生平均每周（7天）体育锻炼时间，从该校学生中随机抽取若干名学生平均每周体育锻炼时间进行调查，并根据调查结果将学生平均每周的体育锻炼时间x（小时）分为五组：共五种情况．最后将调查结果用频数分布直方图和扇形统计图描述如下：

根据以上信息，解答下列问题：

（1）请补全频数分布直方图．

（2）在这次调查中，学生每周锻炼时间的中位数落在第______（填序号）组，达到平均每天运动1小时及以上的学生人数占被调查人数的百分比为______；

（3）请对该校学生体育锻炼时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．

18. 如图，在平面直角坐标系中，轴上的点坐标为，过点作轴的垂线交反比例函数的图像于点，连接，的面积为6．

（1）求反比例函数解析式；

（2）若点为轴正半轴上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，与反比例函数交于点，并求出点的坐标（要求：不写作法，保留作图痕迹）．

19. 阅读材料，解决问题．

相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．

则第n个三角数可以用（且为整数）来表示．

（1）若三角数是55，则______；

（2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和；

（3）在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由．

20. 2006年5月20日，朱仙镇木版年画经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．某店选中两款木版年画，两款木版年画的进价和售价如下表：

（1）第一次该店用875元购进了两款年画共40个，求这两款年画分别购进的数量；

（2）第二次该店进货时，计划购进两款年画共40个，且款年画进货数量不得少于款年画进货数量一半．应如何设计进货方案才能获得最大利润，并求出最大利润．

21. 乒乓球台（如图①）的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线与弧所在的圆相切于点G，连接，，且，．

（1）求证：；

（2）若弓形的高为，，且，求的长．

22. 某校开展“阳光体育”活动，如图①是学生在操场玩跳长绳游戏的场景，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图②所示是以点为原点建立的平面直角坐标系（甲位于点处，乙位于轴的处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点、点，且的水平距离为米，他们到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米．

（1）请求出该抛物线的解析式；

（2）跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方；

（3）经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于米时才能安全起跳，小明与其他位同学一起跳绳，如果这名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？

23. 综合实践

在中，点是边的中点．

（1）如图①，延长到点，使，连接，可得出，其依据是______．（填序号）

①        ②        ③       ④        ⑤

（2）如图②，在边上任取点，（不与两点重合）连接，并延长到点，使．连接，在图②中画出相应的图形，并观察四边形是特殊的四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由．

解决问题

如图③，在中，，点为平面内一点，，将线段绕点顺时针旋转得，点为中点，当时，请求出的长．

答案

1. C

解：∵，

∴最小的数是：，

故选：C．

2. A

解：主视图是从正面看物体，得到的平面图形分上下两层，而上层第二列缺一个小正方形，

故选：A．

3. D

解：根据科学记数法要求5464000的5后面有6位数，从而用科学记数法表示为，

故选：D．

4. C

解：∵，

∴，

又∵，，

∴，

故选：C．

5. B

解：总体是该省532.9万名党员的“学习强国”积分，故A选项正确；

个体是每一个党员的“学习强国”积分，故B选项错误；

样本是抽取的10000名党员的“学习强国”积分，故C选项正确；

样本容量是10000，故D选项正确；

故选：B．

6. A

解：方程，

，

，

，

，

一元二次方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

7. B

解：A、当时，，当时，，

∴点，不能同时在函数图象上；

B、当时，，当时，，

当时，，

∴有，，

此时，，符合题意，

∴点，，可同时在函数图象上；

C、当时，，当时，，

∴点，不能同时在函数图象上；

D、当时，，当时，，

当时，，

∵若，则，

∴，不符合题意，

∴点，，不能同时在函数图象上；

故选：B．

8. C

解：由题意可知，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：C．

9. D

解：如图，连接，过作，
 

由题意可得是的垂直平分线，

，

在中：，

，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

， 

．

故选：D．

10. C

解：由旋转性质得到，

点坐标为，

，

，，，

轴，

，

，

，即，解得，

点的坐标为，

故选：C．

11. 水位下降

解：∵正负数表示两种具有相反意义的量，

∴如果水位升高记作“”，那么“”表示的意义就是水位下降，

故答案为：水位下降．

12. 2

解：，

由①得：，

由②得：，

∴不等式组的解集为：，

∴不等式组的最小整数解为：2．

故答案为：2．

13.

解：随机闭合开关、、中的两个出现的情况列表得：

共三种等可能结果，其中符合题意的有两种

所以能让灯泡发光的概率为，

故答案为：．

14. 366m

解：由题意得：，，，，

设，则有，

，

在中：

，

，

解得：，

，

．

故答案：．

15. 或

解：如图1，当点在的角平分线上时，连接

，

，

，

由折叠可知，

，

是中线，

，

，

，

，

∴是的中点，

∵，

，

，

∵是的中点，

∴，

在中，，

，

；

如图2，当点在的角平分线上时，连接

由折叠知，，

，

，

，

，

，

；

综上所述：长为或或，

故答案为：或．

16. 解：（1）

；

（2）

．

17. （1）

解：由图可得调查的样本容量为：，

第④组的人数为：（人），

补全频数分布直方图如下：

（2）

由统计图可知，抽取的这500名学生平均每天睡眠时间的中位数为第250个和第251个数据的平均数，

故落在第③组；

平均每天运动1小时及以上的学生人数分布在这两组，占被调查人数的百分比为：，

故答案：③，；

（3）

评价：该校学生平均每天运动1小时及以上的人数不到一半．

建议：增加学生的课外活动时间，组织学生及时参加体育锻炼．

18. （1）

解：根据的面积为6，由题意得，解得，

点的坐标为，

把代入中，得，

∴反比例函数的解析式为；

（2）

解：尺规作图得到的平分线，如图所示：

延长交的平分线于点N，连接，如图所示：

∵点，，

由勾股定理得，

∵平分，过点作轴的垂线交反比例函数的图像于点，

，

∴，

∴点的坐标为，

设直线的解析式为，把点代入得，

直线的解析式为，

的平分线与反比例函数交于点，

联立，消去得到，解得，

∵，

∴x＝6，

把代入中，解得，即点坐标为．

19. （1）

解：由题意得，，即，

∴，

解得（负值舍去），

故答案为：10；

（2）

解：由题意得：前n行所有点数的和为

；

（3）

解：不能，理由如下：

假设能为120，则，即

解得：，

∵n为正整数，

∴前n行的点数和不能为120．

20. （1）

解：设款年画购进个，款年画购进个，由题意列方程组得：，解得，

答：款年画和款年画分别购进25个和15个；

（2）

解：设款年画购进个，则款年画购进个，利润为，则，解得，

，

∵，

∴随的减少而增大，

当时，最大，最大利润为元，

答：款年画购进14个，款年画购进26个，利润最大，利润为424元．

21. （1）

证明：如图，延长，交于点O，则点O是弧所在圆的圆心，连接，

∵直线与圆O相切于点G，

∴，，

∵，，，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

∵，，

∴；

（2）

解：如图，连接，设与交于点H，

∵，，，

∴，

∴，

∵，，

∴，，弓形高，

∴，

在中，由勾股定理得：，

∴．

22. （1）

解：由题意设抛物线的解析式为，

将点代入，中，得，

∴该抛物线的解析式是．

（2）

解：将代入，

解得，，

∴小明站在距甲米或米时，绳子刚好过他的头顶上方．

（3）

解：他们可以安全起跳，理由如下：

当时，，，

∴可以站立跳绳的距离为米，

又∵米，

∴，

∴他们可以安全起跳．

23. 解：（1）点是边的中点，

，

在和中，

，

，

故选：②；

（2）如图1所示：

四边形平行四边形，

理由如下：

∵，

∴四边形是平行四边形．

解决问题：根据题意，分两种情况：①在线段上；②在线段延长线上；

①延长到点，使，连接，如图2所示：

∵，

四边形是平行四边形，

∴，

∵，，

∴三点在同一条直线上，

∴，

∵，

，

在中，，由勾股定理得，

∴；

②延长到点，使，连接，如图3所示：

同理，由①可知，

∵，

四边形是平行四边形，

∴，

∵，，

∴三点在同一条直线上，

∴，

∵，

，

在中，，由勾股定理得，

∴；

综上所述，的长为和．