2023全国甲卷高考模拟预测(金太阳5004C）理科数学

高三数学考试(理科)

(考试时间:120分钟  试卷满分:150分)

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则

A.       B.       C.        D.

2.若向量，，，且∥，则

A.       B.       C.       D.1

3.函数在[0，]内零点的个数为

A.1         B.2       C.3       D.4

4.若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知，则下列数是z的同部复数的是

A.        B.       C.       D.

5.关于θ，甲、乙、丙、丁四人有不同的判断.甲:θ是第三象限角.乙：.丙:.丁：不小于2.若这人只有一人判断错误，则此人是

A.甲         B.乙       C.丙       D.丁

6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是长为1，宽为的矩形，俯视图为扇形，若球O的体积与该几何体的体积相等，则球O的半径为

A.       B.        C.1       D.

7.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲态输了，则甲最后获胜的频率为

A.       B.        C.       D.

8.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，F1，F2分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点F2的一条弦，且△PQF1的周长为3|F1F2|.若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为

A.米        B.米        C.米        D.米

9.已知为奇函数，当时，，当时，，则

A.       B.

C.       D.

10.若不等式组，表示的可行域与圆有公共点，则的取值范围是

A.        B.      C.       D.

11在空间直角坐标系中，已知A(a2，2a，5)，B(0，0，1)，C(1，1，2)，D(-1，0，3)，E(a2，0，5)，则当点A到平面CD的距离最小时，直线AE与平直BCD所成角的正弦值为

A.       B.        C.         D.

12.设P为抛物线C：上的动点，A(2，4)关于P的对称点为B，记P到有线x=-1，x=-3的距离分别，，则的最小值为

A       B.       C.        D.

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.某工厂要对生产流水线上的600个零件(编号为001，002，...，599，600)进行抽检，若采用系统抽样的方法抽检50个零件，且编号为015的零件被抽检，则被抽检的零件的最小编号为___________。

14.若lgx=2lgy，lg(x+y)=lgy-lgx，则____________。

15.中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题(如图1)：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步。(古制单位:180丈=300步)

16.若存在实数()，使得关于x的不等式对x∈(0，+∞)恒成立，则b的最大值是_________。

三、解答题:共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题:共60分.

17.(12分)

苗已知，分别为等差数列，等比数列，且，，，.

(1)求，的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

18.(12分)

在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为CD1的中点，且点E既在平面AB1C1内，又在平面ACD1内.

(1)证明:E∈AO.

(2)若AA1=4，E为AO的中点，且，求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积.

19.(12分)

已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；

(2)若对x∈R恒成立，求m的取值范围.

20.(12分)

已知双曲线C；经过点，右焦点为F(c，0)，且成等差数列.

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点(P在Q的上方)，PQ的中点为M，M在直线l:上的射影为N，O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明:是定值。

21.(12分)

为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议.

(1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望.

(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位执心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100；名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了m(m∈N✱，2<m<100)名代表，卫生监督管理部门邀请了n(n∈N✱，2<n<100)名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且m+n>100，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.(备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P(X=k)取值最大时，X的估计值为k)

(二)选考题:共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22.；[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)AB是圆C上的两点，且∠AOB=，求△AOB面积的最大值。

23.[选修1-5:不等式选讲](10分)

已知函数.

(1)求的最小值，并指出此时x的取值集合:

(2)求不等式的解集.

高三数学考试参考答案(理科)

1.A  【解析】本题考查集合的并集，考查数学运算的核心素养.

因为，，所以.

2.A  【解析】本题考查向量的坐标运算与平行，考查数学运算的核心素养.

，因为∥，所以，解得.

3.C   【解析】本题考查三角函数的零点，考查运算求解能力.

由，得，由，得或π或2π，所以f(x)在[0，π]内零点的个数为3.

4.B  【解析】本题考查复数的新概念与复数的运算，考查数学运算的核心素养.

因为，所以3-2i与z的虚部相等，所以3-2i是的同部复数.

5.D  【解析】本题考查三角恒等变换，考查逻辑推理的核心素养.

因为，所以乙和丁的判断只有一个正确.，若丁的判断正确，则，，丙的判断错误:若乙的判断正确，则，丙的判断也正确，此时，θ是第一或第三象限角，所以当θ是第三象限角，且时，只有丁的判断错误，故此人是丁.

6.A   【解析】本题考查三视图与简单几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力.

由三视图可知，该几何体是四分之一个圆柱(高为，底面半径为1)，其体积.设球O的半径为r，则，解得.

7.C   【解析】本题考查相互独立事件的概率，考查应用意识与逻辑推理的核心素养.

因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为.

8.B  【解析】本题考查椭圆的实际应用，考查直观想象的核心素养由题意可知.

，所以，.由该椭球横截面的最大直径为2米，可知米，所以米，米，该椭球的高为米.

9.A   【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查逻辑推理的核心素养.

因为当时，，当时，，

且，所以在[0，1]上单调递增，在(1，3)上单调递减，在[3，+∞)上单调递增.因为，，所以.

10.D  【解析】本题考查线性规划与圆，考查直观想象的核心素养与数形结合的数学思想.

作出不等式组表示的可行域，如图所示，当直线BC：与圆相切时，，则，则m的最小值为；当圆经过点C(-3，1)时，，则m的最大值为17.故m的取值范围是[，17].

11.C【解析】本题考查空间向量与立体几何，考查数学运算的核心素养.

依题意可得，，.

设是平面BCD的法向量，

则即令，得.

所以点A到平面BCD的距离，

当时，d取得最小值，此时，

所以直线AE与平面BCD所成角的正弦值为.

12.A  【解析】本题考查抛物线定义的应用，考查直观想象的核心素养以及化归与转化的数学思想.

如图，，因为A(2，4)关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，所以2(，所以当P在线段AF上时|取得最小值，且最小值为。

13.003  【解析】本题考查系统抽样，考查数据处理能力.

因为，所以被抽检的零件的最小编号为003.

14.1  【解析】本题考查对数的运算，考查数学运算的核心素养.

因为，，所以，，

则，所以.

15.3280  【解析】本题考查解三角形的实际应用，考查直观想象的核心素养.

由题可知步，步，步.步.

在Rt△AHF中，在Rt△AHG中.

所以，，则.

所以步.

16.  【解析】本题考查导数与不等式的交汇，考查化归与转化的数学思想.

当，且寸，由，得.

设，则

得g(x)在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减，

，得，

等价于，而，

所以，则

解得，所以b的最大值是.

17.解:(1)设的公差为d，的公比为q，

则..................................1分

..................................2分

所以............................................................................4分

................................................................................................6分

(2)由(1)知.........................................................8分

则..........................................9分

................................................12分

评分细则：

【1】第(1)问还可以这样解答:设的公差为d，则，解得...........1分

所以...........................................................................3分

设的公比为q，则，解得..............................................4分

所以..................................................................................6分

【2】第(2)问中，最后的结果写为，不扣分.

18.(1)证明：连接..............................................................................1分

在正四棱柱中，∥，则A，，，D四点共面，...............2分

所以E∈.......................................................................3分

因为侧面CC1D1D为矩形，且O为的中点.

所以，所以O为平面与平面的一个公共点，............4分

所以平面AB1C1D∩平面，即平面∩平面................5分

故..........................................................6分

(2)解:以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.

设，其中，则(t，0，4)，C(t，t，0)，(t，t，4)，E(，，1)，..................8分

，

所以，解得.......................................................10分

所以正四棱柱的侧面积为。

评分细则：

【1】第(1)问中，必须展示作辅助线的过程，仅在图中体现辅助线但过程中无体现的扣1分；A，B1，C1，D四点共面是证明第一问的关键，不写清楚四点共面的过程要扣1分.

【2】第(2)问中，建立空间直角坐标系的形式不唯一，只要建系合理，点的坐标计算正确均可.

第(2)问的另一种解法如下：

..................................7分

.....................................9分

....................12分

由，解得，即........................................11分

所以正四棱柱的侧面积为............12分

19.:(1)由图可知的图象与x轴切于原点.................................................1分

因为，所以.............................................2分

又，所以.....................................................................3分

所以，的解析式为.............................................4分

(2)由对恒成立，得对恒成立.

设函数，

则.................................................6分

令，得...........................................................................7分

令，得；令，得.........................................8分

所以在(-∞，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增........................9分

所以..........................................................11分

所以，即m的取值范围是............................12分

评分细则:

【1】第(1)问中，未写“由图可知的图象与x轴切于原点”，但是写了“”，不扣分

【2】第(2)问中，最后得到，但是没有写成区间形式，不扣分.

20.(1)解:因为成等差数列，所以...........................................1分

又，所以........................................................................2分

将点(3，)的坐标代入C的方程得，解得..............................3分

所以，所以C的方程为.........................................................4分

(2)证明:依题意可设PQ：............................................................5分

由得......................................................6分

设P(，)，O(，)，，则..........................................7分

M(，)，N(2，)

则...................9分

而，......................................................10分

所以

所以是定值。......................................................12分

定评分细则:

【1】第(2)问中，用PQ作为底边，O到直线PQ的距离d为高，得到，不扣分.

【2】第(2)问还可以这样解答:当直线PQ的斜率不存在时，PQ：，P(3，)，Q(3，-)，N(2，0)，

........................................................................5分

当直线PQ的斜率存在时，设PQ：，设P(，)，Q(，)，，

由得........................................6分

则.............................................................................7分

，，

...............9分

而....................................................10分

所以

所以是定值。......................................................12分

21.解:(1)X的可能取值为2，3，4，则....................................1分

，，..............................................2分

则X的分布列为

........................................................3分

.........................................................4分

(2)设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A，人数为，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B，人数为，则收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B.人数为Card(A∪B)。

设参加会议的群众代表的人数为Y，则.....................................5分

若，则，

则....................................................7分

，

.......................................8分

令，得，解得...................9分

以代替k，得，

令，得，

令，得，解得..........10分

所以.

若为整数，则当或时，取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为或...........11分

若不是整数，则当时，取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为，其中，表示不超过的最大整数......................12分

评分细则:

【1】第(1)问中，，不扣分。

【2】第(2)问中，未写“”，但是，得到，不扣分.最后一行中的“最大整数”写为“整数部分”，不扣分.

22.解:(1)圆C的普通方程为...........................................1分

即..............................................................................2分

则........................................................................3分

所以圆C的极坐标方程为..................................4分

(2)不妨设A(ρ1，θ)，B(ρ2，)，，则，，...........6分

则，...........9分

当时，△AOB的面积取得最大值，且最大值为.........................10分

评分细则:

【1】第(1)问中，得到的极坐标方程写为，不扣分.

【2】第(2)问还可以这样解答:依题意可得圆C是△AOB的外接圆，由正弦定理得，

所以........................................................................6分

由余弦定理得....................................7分

即.........8分

所以，当且仅当时，等号成立，....................................9分

所以，故△AOB面积的最大值为.............10分

23.解:(1)..........2分

当且仅当，即时，等号成立，..................3分

所以得最小值为5，.......................................4分

此时x的取值集合为[-2，-1]∪[3，4].......................................5分

(2)令，则.........................6分

得或或.................................8分

解得或........................................................................................9分

因为，所以，所以，

所以不等式的解集为.....................................10分

评分细则:

【1】第(1)问中，最后未写“x的取值集合为[-2，-1]∪[3，4]，而写为“或”，扣1分，写为“x∈[-2，-1]∪[3，4]”，不扣分。

【2】第(1)问还可以这样解答:

设，则...............................2分

当且仅当时，等号成立，......................................................................3分

所以最小值为5...........................................................................................4分

此时，即.............................................5分

【3】第(2)问还可以分5段讨论解不等式，阅卷时请按步骤给分。