中考数学压轴题（27）——抛物线与函数综合题

这是一份中考数学压轴题（27）——抛物线与函数综合题，共8页。
每周两题（一）1．（2021秋•明德期中24T）若“子函数” 、满足，则称函数是“子函数” 、的“母函数”．例如，“子函数”分别为一次函数和二次函数，则“子函数” 、的“母函数”为．（1）“子函数”分别为反比例函数和一次函数，它们的“母函数”过点，求的值；（2）若“子函数” 为二次函数，且，在时取得最值，“子函数” 是一次函数，且“母函数”为，当时，求“子函数” 的最小值（用含的式子表示）；（3）“子函数”分别为二次函数与一次函数，其中且，若它们的“母函数”与轴交点为，、，，求的取值范围．                 2．（2021秋•明德期中25T）已知抛物线过点和坐标原点，一次函数与轴交于点．（1）求出抛物线的对称轴；（2）如图1，以线段为直径作，在第一象限内的圆上存在一点，使得为等边三角形，求过点的切线的函数解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，当时，若抛物线上有且只存在三点、、，使得，过点的切线与抛物线交于、两点，试问：在直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2021秋•明德期中24T）若“子函数” 、满足，则称函数是“子函数” 、的“母函数”．例如，“子函数”分别为一次函数和二次函数，则“子函数” 、的“母函数”为．（1）“子函数”分别为反比例函数和一次函数，它们的“母函数”过点，求的值；（2）若“子函数” 为二次函数，且，在时取得最值，“子函数” 是一次函数，且“母函数”为，当时，求“子函数” 的最小值（用含的式子表示）；（3）“子函数”分别为二次函数与一次函数，其中且，若它们的“母函数”与轴交点为，、，，求的取值范围．【分析】（1）根据子函数的定义求．（2）先用表示，在用二次函数性质求最值．（3）先求，再求的范围即可．【解答】解：（1）由题意得：，的“母函数”为：．．将点代入得：．．（2）由题意：．是二次函数，是一次函数．，．在取得最值．．．．．．．．开口向上，对称轴：．．当时，，．当时，，．．，当时，，．综上：（3）设与轴交于，，，．则，是方程的两根．．．，．，．，．．．．．．．．．．．．【点评】本题考查新定义及二次函数的最值，理解新定义，找到字母的关系和范围是求解本题的关键． 2．（2021秋•明德期中25T）已知抛物线过点和坐标原点，一次函数与轴交于点．（1）求出抛物线的对称轴；（2）如图1，以线段为直径作，在第一象限内的圆上存在一点，使得为等边三角形，求过点的切线的函数解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，当时，若抛物线上有且只存在三点、、，使得，过点的切线与抛物线交于、两点，试问：在直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解；（2）利用为边长为2的等边三角形，得到点的坐标为，在中，，故，则点的坐标为，进而求解；（3）抛物线上有且只存在三点、、，使得，则有一个点为抛物线的顶点，得到，利用，进而求解．【解答】解：（1）令，解得，故点，抛物线过原点，则，故抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式得：，即，故抛物线的表达式为①，则抛物线的对称轴为；（2）由（1）知，，则为边长为2的等边三角形，则该三角形的高为，故点的坐标为，在中，，故，则点的坐标为，设切线的表达式为，则，解得，故直线的表达式为②，（3）存在，理由：抛物线上有且只存在三点、、，使得，则有一个点为抛物线的顶点，如下图，根据函数的对称轴，则为边长为4的等边三角形，同理可得，点，即抛物线的顶点为，将点的坐标代入①得：，解得，则抛物线的表达式为③，联立②③并整理得：，解得，则，过点作轴交于点，设点，则点，则，，故抛物线开口向下，的面积存在最大值，此时，则点的坐标为，．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、等边三角形的性质、圆的基本的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/2/10 18:37:03；用户：严平；邮箱：15111341689学号：19129422