中考数学压轴题34

这是一份中考数学压轴题34，共9页。试卷主要包含了，平分交边于点，，垂足为点等内容，欢迎下载使用。
每周两题（九）1．（2023•长郡模拟一24T）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点．过点作线段垂直轴交于点，过点作线段垂直抛物线的对称轴交于点，我们称矩形为抛物线的“伴随矩形”．（1）请根据定义求出抛物线的“伴随矩形” 的面积；（2）已知抛物线的“伴随矩形”为矩形，若矩形的四边与直线共有两个交点，且与双曲线无交点，请直接写出的取值范围；（3）若对于开口向上的抛物线，当时，方程的两个根为，，且满足下列条件：①该抛物线的“伴随矩形” 为正方形；②（其中表示矩形的面积）；③的最小值为．请求出满足条件的值．       2．（2023•长郡模拟一25T）如图1，在中，为直径，点在圆上，，，是上一动点（与点、不重合），平分交边于点，，垂足为点．（1）当点与圆心重合时，如图2所示，则　　；（2）若，试探究与有何面积关系，并证明；（3）当与相似时，求的值．                  1．（2023•长郡模拟一23T）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点．过点作线段垂直轴交于点，过点作线段垂直抛物线的对称轴交于点，我们称矩形为抛物线的“伴随矩形”．（1）请根据定义求出抛物线的“伴随矩形” 的面积；（2）已知抛物线的“伴随矩形”为矩形，若矩形的四边与直线共有两个交点，且与双曲线无交点，请直接写出的取值范围；（3）若对于开口向上的抛物线，当时，方程的两个根为，，且满足下列条件：①该抛物线的“伴随矩形” 为正方形；②（其中表示矩形的面积）；③的最小值为．请求出满足条件的值．【分析】（1）求出，，即可得矩形的边长分别为1和2，再求面积即可；（2）先求出“伴随矩形”为矩形的四个顶点坐标分别为，，，，，，直线经过点时，直线经过点时，则时，矩形的四边与直线共有两个交点，当双曲线经过点时，，则时，矩形的四边与双曲线无交点，故时，满足题意；（3）抛物线的“伴随矩形” 的顶点分别是，，，，，，由题意可得，，求出，再由△，进一步确定，根据韦达定理得，，则，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得（舍或（舍；综上所述：的值为9或．【解答】解：（1），，当时，，，伴随矩形” 的面积；（2）， “伴随矩形”为矩形的四个顶点坐标分别为，，，，，，直线经过点时，，解得，直线经过点时，，解得，时，矩形的四边与直线共有两个交点，当双曲线经过点时，，时，矩形的四边与双曲线无交点，时，满足题意；（3），，，抛物线的“伴随矩形” 的顶点分别是，，，，，， “伴随矩形” 为正方形，，，，，抛物线开口向上，，，方程的两个根为，，△，，，，，，的最小值为，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得（舍或（舍；综上所述：的值为9或．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，弄清“伴随矩形”的定义是解题的关键． 2．（2023•长沙模拟一25T）如图1，在中，为直径，点在圆上，，，是上一动点（与点、不重合），平分交边于点，，垂足为点．（1）当点与圆心重合时，如图2所示，则　　；（2）若，试探究与有何面积关系，并证明；（3）当与相似时，求的值．【分析】（1）设，，由勾股定理得出，则，可求出，证出，根据可求出答案；（2）证明，由相似三角形的性质得出，证出，过点作于，证明，由全等三角形的性质得出，证出，根据三角形面积公式可得出答案；（3）分两种情况：①当时，可证得，再根据平分，可得，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当时，则，得出，再由平分，可得，推出，利用三角函数定义即可求得答案．【解答】解：（1）为的直径，，，，设，，，，，，，平分，，，，，，，，，，．故答案为：；（2）．证明：，，又，，，平分，，，，过点作于，，平分，，，，，，，，，．（3），，与相似，或，①当时，则，，，，，平分，，；②当时，则，，平分，，，，，，，，．综上所述，的值为或．【点评】本题是圆的综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，锐角三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．