中考数学压轴题39

这是一份中考数学压轴题39，共8页。
每周两题（十三）1．如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点为抛物线的顶点，点在轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点，使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点是轴上一点，且为直角三角形，求点的坐标．               2．如图①，线段，交于点，连接和，若与，与中有一组内错角成两倍关系，则称与为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．（1）如图②，在四边形中，对角线，交于点，已知，为等边三角形．求证：，为倍优三角形．（2）如图③，已知边长为2的正方形，点为边上一动点（不与点，重合），连接和，对角线和交于点，当和为倍优三角形时，求的正切值．（3）如图④，四边形内接于，和是倍优三角形，且为倍优角，延长，交于点．①若，，求的半径；②记的面积为，的面积为，，，当时，求关于的函数表达式．
1．如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点为抛物线的顶点，点在轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点，使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点是轴上一点，且为直角三角形，求点的坐标．【分析】（1）已知点坐标可确定直线的解析式，进一步能求出点的坐标．点是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点的坐标，依据待定系数法可解．（2）首先由抛物线的解析式求出点的坐标，在和中，已知的条件是公共边，若与不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若等于，那么还要满足的条件为：，各自去掉一个直角后容易发现，点正好在第二象限的角平分线上，联立直线与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点在第二象限的限定条件．（3）分别以、、为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．【解答】解：（1）把代入，得，，令，解得：，的坐标是．为顶点，设抛物线的解析为，把代入得：，解得，． （2）存在．，，当时，，此时平分第二象限，即的解析式为．设，则，解得，舍），，． （3）①如图，当时，，，即，，，即；②如图，当时，，，即，，即；③如图，当时，作轴于，则△，，即，，或3，即，．综上，点坐标为或或或．【点评】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形与相似三角形应用等重点知识．（3）题较为复杂，需要考虑的情况也较多，因此要分类进行讨论． 2．如图①，线段，交于点，连接和，若与，与中有一组内错角成两倍关系，则称与为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．（1）如图②，在四边形中，对角线，交于点，已知，为等边三角形．求证：，为倍优三角形．（2）如图③，已知边长为2的正方形，点为边上一动点（不与点，重合），连接和，对角线和交于点，当和为倍优三角形时，求的正切值．（3）如图④，四边形内接于，和是倍优三角形，且为倍优角，延长，交于点．①若，，求的半径；②记的面积为，的面积为，，，当时，求关于的函数表达式．【分析】（1）是等边三角形，得到，又，故，即可求解；（2）①若，得到，进而求解；②若，得到，则，即可求解；（3）①证明，则，则，设的半径为，则，解得，即可求解；②由，则，即可求解．【解答】解：（1）证明：是等边三角形，，，又，，，与为倍优三角形． （2）由题意，，．①若，则，平分．过点作于，得，不妨设，则．则，，，．②若，过点作交于，则．又，，则，故，．综上，的正切值为或； （3）①过作于点，交于点，连接，．为倍优角，，．，，，．，，，．设的半径为，，解得，的半径为．②，，．，，，，，，，，，，则，，，即．【点评】本题为圆的综合题，主要考查了圆的基本知识、三角形相似、解直角三角形、新定义等，综合性强，难度较大．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/5/19 15:08:11；用户：严平；邮箱：15111341689；学号：19129422