2023年新高二数学暑假讲义+习题（人教A版） 第1讲 空间向量及其运算

第1讲   空间向量及其运算

新课标要求

1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。

2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。

3.掌握空间向量的线性运算。

4. 掌握空间向量的数量积。

知识梳理

1.空间向量的概念

   与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母...表示.

2.几个常见的向量

3.向量的线性运算

交换律：；

结合律：；

分配律：.

4.共面向量

   平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

5.空间向量的数量积

零向量与任意向量的数量积为0.

名师导学

知识点1    空间向量的有关概念

【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为     

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有     

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

知识点2    空间向量的线性运算

【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．

化简：________；

用，，表示，则________．

【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则

A.  B.
C.  D.

【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则

A.  B.  C.  D.

【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

；

．

知识点3    共面向量

【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．

，，三个向量是否共面

点M是否在平面ABC内

【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．

求证：向量，，共面．

知识点4    空间向量的数量积

【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：

．

【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：




．

名师导练

A组-[应知应会]

1. （台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于     

A.  B.
C.  D.

2. （秦皇岛期末）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为   

A.  B.  C.  D. 0

3. （定远县期末）给出下列几个命题：

向量，，共面，则它们所在的直线共面；

零向量的方向是任意的；

若，则存在唯一的实数，使．

其中真命题的个数为     

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. （葫芦岛期末）在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是

A. ； B.  ；
C.  D.

5.（多选）（点军区校级月考）已知为正方体，下列说法中正确的是　　

A． 

B． 

C．向量与向量的夹角是 

D．正方体的体积为

6. （都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．

7. （池州模拟）给出以下结论：

两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；

若空间向量，，满足，则；

在正方体中，必有；

若空间向量，，满足，，则．

其中不正确的命题的序号为________．

8．（未央区校级期末）为空间中任意一点，，，三点不共线，且，若，，，四点共面，则实数　　．

9．（天津期末）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为　　．

10. （三明期中）如图所示，在正六棱柱中

化简，并在图中标出表示化简结果的向量

化简，并在图中标出表示化简结果的向量．

11. （都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面求证：．

12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体中，、分别在和上，且，

（1）求证：、、、四点共面；

（2）若，求的值．

B组-[素养提升]

1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算，，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有　　

A． 

B． 

C． 

D．若，，，，则