2023年新高二数学暑假讲义+习题（人教A版） 第5讲 直线的倾斜角与斜率

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第5讲   直线的倾斜角与斜率新课标要求①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 知识梳理　一、直线的倾斜角 定义当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0°记法α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可二、直线的斜率 定义(α为直线的倾斜角)α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率α=90°直线斜率不存在记法常用小写字母k表示,即k=tan α范围R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度三、直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),则直线的斜率公式为k=.四、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:前提条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l1∥l2⇔k1=k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图　示五、两条直线垂直与斜率之间的关系 对应关系l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l1与l2的位置关系是l1⊥l2.图示 名师导学知识点1    直线的斜率与倾斜角及其关系【例1-1】（广州期末）直线的倾斜角是　　A． B． C． D．【例1-2】（三明期末）已知直线的倾斜角为，则的斜率是　　A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练1-1】（舟山期末）直线的倾斜角是　　A． B． C． D．【变式训练1-2】（钦州期末）直线的倾斜角为　　A． B． C． D．知识点2    过两点的直线的斜率【例2-1】（南京期末）若直线经过两点，，则直线的斜率为　　A． B． C． D．【例2-2】（玉林期末）已知直线过点，两点，若直线的倾斜角是，则　　A． B．0 C． D．【变式训练2-1】（徐州期末）已知点，，则直线的斜率为　　A． B． C． D．2【变式训练2-2】（宁波期末）一条直线过点 和，则该直线的倾斜角为　　A．30° B．45° C．135° D．知识点3    直线斜率的运用【例3-1】(江西赣州高一期末)已知直线l过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段相交,若直线l的斜率存在,则直线l斜率的取值范围为　　　　. 【例3-2】（红桥区期中）已知、、，且、、三点共线，则　　．【变式训练3-1】设点A(3,-5),B(-2,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是(　 　)A.(-∞,-3 ]∪[1,+∞)      B. [-3,1]C.[-1,3]              D.以上都不对【变式训练3-2】（绍兴期末）已知点，，在同一直线上，则　　．知识点4    两直线平行的判定【例4-1】（济南校级月考）判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2);(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0);(4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).    【变式训练4-1】（长高一调研）已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为　　　　　. 知识点5    两直线垂直的判定【例5-1】（合肥质检）(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.   【变式训练5-1】（全国高二课时练习）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（    ）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直知识点6    平行与垂直的综合应用【例6-1】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.        【变式训练6-1】（湖南衡阳五中月考）已知在平行四边形ABCD中，.（1）求点D的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD是否为菱形.   名师导练A组-[应知应会]1．（淮安期中）已知直线，则直线的倾斜角为　　A． B． C． D．2．（广陵区校级期中）若直线经过坐标原点和，则它的倾斜角是　　A． B． C．或 D．3．（诸暨市校级期中）在平面直角坐标系中，一条直线的斜率等于，则此直线的倾斜角等于　　A． B． C． D．4．（郑州期末）过两点，的直线的倾斜角为，则　　A． B． C．5 D．65．（银川一中高二月考）已知，过A(1,1)、B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)、D(n,2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有 (　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个6．（沙坪坝区校级期末）过点，的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．或7．（公安县期末）若直线经过，，两点，则直线的倾斜角的取值范围是　　A． B． C． D．8．（多选）（惠州期末）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是　　A． B． C． D．9．（多选）（无锡期末）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有　　A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为10．（多选）下列命题中正确的为(    )A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；B.若两直线平行，则它们的斜率相等；C.若两直线的斜率之积为，则它们垂直；D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为.11．（资阳期末）若过点，的直线的倾斜角为，则　　．12．（宜兴市月考）若直线的斜率为1，则直线的倾斜角为　　．13．（北碚区校级期末）已知两点，，直线经过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是　　       ．14．（闵行区期末）若直线的倾斜角的范围为，，则的斜率的取值范围是　　      ．15．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______16．（金凤区校级期末）若三点，，在同一直线上，则实数等于　　   ．17．（山东潍坊三中期中）判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(2)l1过点A(3,4)，B(3,100)，l2过点M(－10,40)，N(10,40)；(3)l1过点A(0,1)，B(1,0)，l2过点M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2过点M(5，－2)，N(5,5)． 18．（平遥县月考）已知直线过点，，求直线的斜率和倾斜角的取值范围．  19．（全国课时练）已知，，三点，若直线AB的倾斜角为，且直线，求点A，B，C的坐标．   20．（武城县校级月考）（1）求证：，，三点共线．（2）若三点共线，求的值．  21．（芜湖期末）已知点，，．（1）若，，三点共线，求实数的值．（2）若为直角三角形，求实数的值．  22．（静宁县校级期末）已知，，．（1）求点的坐标，满足，．（2）若点在轴上，且，求直线的倾斜角．   23．（孝感期末）已知，，，，，，四点构成的四边形是平行四边形，求点的坐标．   B组-[素养提升]1．（芜湖期末）已知直线方程为，，和，分别为直线上和外的点，则方程，，，表示　　A．过点且与垂直的直线 B．与重合的直线 C．过点且与平行的直线 D．不过点，但与平行的直线2．（全国月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数在，，处的函数值分别为，，，则在区间，上可以用二次函数来近似代替：，其中，，．若令，，，请依据上述算法，估算的值是　　A． B． C． D．3．（越城区校级期中）已知两点，．且实数，，求直线的倾斜角的取值范围．