2023年新高二数学暑假讲义+习题（人教A版） 第10讲 椭圆

这是一份2023年新高二数学暑假讲义+习题（人教A版） 第10讲 椭圆，文件包含第10讲椭圆解析版docx、第10讲椭圆原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
第10讲 椭圆
新课标要求
经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。
知识梳理
1．平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为(±c,0)，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为(0，±c)．其中a，b，c的关系为 a2＝b2＋c2.
3.椭圆的简单几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－a≤y≤a
－b≤x≤b



对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，c)，F2(0，－c)
焦距
|F1F2|＝2c
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)；
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)；
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长2a，短轴长2b
离心率
e＝∈(0,1)
4．点与椭圆的位置关系
设点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)．

5．直线与椭圆的位置关系及判定
位置关系
公共点个数
组成的方程组的解
判定方法(利用判别式Δ)
相交
2个
2个解
Δ＞0
相切
1个
1个解
Δ＝0
相离
0个
无解
Δ＜0

名师导学
知识点1 椭圆定义的应用
【例1-1】(1)已知定点F1，F2，其中F1(－4,0)，F2(4,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　　　　　　 B．圆
C．直线 D．线段
(2)若P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1上一点，则△PF1F2的周长等于(　　)
A．16 B．18
C．20 D．不确定
【例1-2】若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．－9＜m＜16 B．－9＜m＜
C.＜m＜16 D．m＞
【变式训练1-1】设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．直角三角形
【变式训练1-2】若方程x2＋ky2＝3表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．

知识点2 求椭圆的标准方程
【例2-1】求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4，3)；
(2)a＝8，c＝6；
(3)经过两点(，－2)，(－2，1)．





【变式训练2-1】已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1

知识点3 椭圆的简单几何性质
【例3-1】求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．





【变式训练3-1】若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1
D．以上答案都不对

知识点4 根据椭圆的性质求椭圆的方程
【例4-1】根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)长轴长为10，离心率为；
(2)焦点在x轴上，且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，焦距为6.





【变式训练4-1】(1)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆C的标准方程为________________．
(2)若椭圆＋＝1的离心率为，则m＝__________.

知识点5 椭圆离心率的应用
【例5-1】我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道，“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点，远地点离地面的距离分别是，(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为(　　)

A. B．
C. D．
【例5-2】若椭圆上存在点P，使得P到两个焦点的距离之比为2∶1，求这个椭圆离心率的取值范围．







【变式训练5-1】已知直线l：y＝kx与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)
A.[，1 ） B．（0，）
C.（，1 ） D．（0， ]
知识点6 直线与椭圆的位置关系
【例6-1】已知椭圆C：＋y2＝1.
(1)若(，n)在椭圆内，求实数n的取值范围；
(2)m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆C相交、相切、相离？




【变式训练6-1】直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m＞1　　　　　　　 B．m＞1且m≠3
C．m＞3 D．m＞0且m≠3

知识点7 弦长问题
【例7-1】求直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦长．



【变式训练7-1】已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，则k＝________.
知识点8 直线与椭圆的综合应用
【例8-1】设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.


【变式训练8-1】如果点M(x，y)在运动过程中总满足关系式 ＋＝4.
(1)说明M的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；
(2)设直线l：y＝－x＋m(m∈R)与点M的轨迹交于不同两点A，B，且|AB|＝3，若点P(x0,2)满足(＋)·＝0，求x0.



名师导练
3.1.1椭圆及其标准方程
A组-[应知应会]
1．对于m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．方程 ＋ ＝2表示(　　)
A．椭圆 B．圆
C．直线 D．线段
3．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，则k的值为(　　)
A．1 B．－
C. D．25
4．已知△ABC的周长为18，|AB|＝8，A(－4,0)，B(4,0)，|CA|b>0)的两个焦点，则椭圆C上满足∠F1PF2＝90°的点P的个数为(　　)
A．0　　　 B．1
C．2　　　 D．4
6．已知焦点在x轴上的椭圆标准方程为＋y2＝1(a>0)，过焦点F作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为(　　)
A.　　 　 B．
C.　　 　 D．
7．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆短轴的端点，且∠F1PF2＝90°，则该椭圆的离心率为________．

9．设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为椭圆C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
10．已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程．






11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点坐标为(0，)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求·的取值范围．





12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．求椭圆的标准方程．



B组-[素养提升]
已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
3.1.3直线与椭圆的位置关系
A组-[应知应会]
1．过椭圆＋＝1(a＞)的焦点，作垂直于x轴的直线，交椭圆于A，B两点，若|AB|＝，则a的值为(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．9
2．过坐标原点，作斜率为的直线，交椭圆＋＝1于A，B两点，则|AB|的长为(　　)
A．2 B．4
C. D．
3．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若经过F点且垂直于x轴的直线l与圆M相切，则a的值为(　　)
A. B．1
C．2 D．4
4．设直线l过椭圆C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为长轴长的一半，则C的离心率为(　　)
A. B．
C. D．
5．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
6．在焦距为2c的椭圆M：＋＝1(a>b>0)上，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“bb>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为________________．
9．(怀化模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
10．(抚顺模拟)M(，1)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，且点M到椭圆两焦点的距离之和为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点，若P－，0，求证：·为定值．




11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又椭圆截直线y＝x＋2所得线段长为，求椭圆的标准方程．






12．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是椭圆C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与椭圆C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.


B组-[素养提升]
(日照模拟)已知椭圆E：＋＝1的一个顶点为H(2,0)，对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，则实数t的取值范围是________．