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初中数学北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线测试题
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这是一份初中数学北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线测试题，共6页。
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好。
外 心
三角形有六元素，三个内角有三边。
作三边的中垂线，三线相交共一点。
此点定义为外心，用它可作外接圆。
内心外心莫记混，内切外接是关键。
垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交。
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清。
内 心
三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
圆圆心称“内心”，如此定义理当然。
还有一个心叫旁心:外角平分线的交点(有3个) , 只有正三角形才有中心,这时四心合一。
考向一 垂直平分线的性质
点1﹣1 垂直平分线的性质
【例题1】如图在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，则∠DBC的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
练习1-1
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
练习1-2
△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（ ）
A．50° B．60° C．150° D．50°或130°
例题2
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）cm．
A．13 B．19 C．10 D．16
练习2
如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长．
例题3
如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，如果边BC长为8cm，则△ADE的周长为（ ）
A．16cm B．8cm C．4 cm D．不能确定
练习3-1
在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长．
练习3-2
在△ABC中，AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G．
（1）当∠BAC=100°（如图）时，∠DAE= °；
（2）当∠BAC为一任意角时，猜想∠DAE与∠BAC的关系，并证明你的猜想．
考点1﹣2 三角形三边的垂直平分
例题4
如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是（ ）
A．PB＞PC B．PB＝PC C．PB＜PCD．PB＝2PC
练习4-1
在如图所示的区域内建造一个购物中心，要求购物中心到三个小区A、B、C距离相等，这个购物中心应建在（ ）位置？
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．三角形外在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处在
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
练习4-2
在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内
部有E、F、G、H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是（ ）
A．点EB．点FC．点GD．点H
考向二 垂直平分线的判定
考点2﹣1 垂直平分线的判定
例题5
如图，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，AC与DB交于点M.
求证：点M在BC的垂直平分线上．
练习5-1
如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：OE是CD的垂直平分线．
练习5-2
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
考向三 尺规作图——画一条线段的垂直平分线
考点3﹣1 尺规作图
例题6
已知△ABC，∠B=90°，试在AC边上求作一点P，使PB=PC.
练习6
如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的
村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．
例题7
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC＜BC，分别以顶点A、B为圆心，大于12AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D，若BD=5，CD=3，则△ACD的周长是（ ）
A．7 B．8 C．12 D．13
例题7 练习7
练习7
如图，在△ABC中∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N点，作直线 MN 交AB于点D，交 BC 于点E，若AC=3，BC=4，则 DE 等于（ ）
A．2 B．103 C．158 D．152
【练习8】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC与E，已知AD＝AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF；
④S△ACD＝S△ABD；⑤DE=AE，其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
画一条线段的垂直平分线（中垂线）
步骤：
（1）在直线l上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ，直线PQ就是所求的垂直平分线．
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好。
外 心
三角形有六元素，三个内角有三边。
作三边的中垂线，三线相交共一点。
此点定义为外心，用它可作外接圆。
内心外心莫记混，内切外接是关键。
垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交。
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清。
内 心
三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
圆圆心称“内心”，如此定义理当然。
还有一个心叫旁心:外角平分线的交点(有3个) , 只有正三角形才有中心,这时四心合一。
考向一 垂直平分线的性质
点1﹣1 垂直平分线的性质
【例题1】如图在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于D点，则∠DBC的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
练习1-1
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
练习1-2
△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（ ）
A．50° B．60° C．150° D．50°或130°
例题2
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）cm．
A．13 B．19 C．10 D．16
练习2
如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长．
例题3
如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，如果边BC长为8cm，则△ADE的周长为（ ）
A．16cm B．8cm C．4 cm D．不能确定
练习3-1
在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长．
练习3-2
在△ABC中，AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G．
（1）当∠BAC=100°（如图）时，∠DAE= °；
（2）当∠BAC为一任意角时，猜想∠DAE与∠BAC的关系，并证明你的猜想．
考点1﹣2 三角形三边的垂直平分
例题4
如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是（ ）
A．PB＞PC B．PB＝PC C．PB＜PCD．PB＝2PC
练习4-1
在如图所示的区域内建造一个购物中心，要求购物中心到三个小区A、B、C距离相等，这个购物中心应建在（ ）位置？
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．三角形外在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处在
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
练习4-2
在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内
部有E、F、G、H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等的点是（ ）
A．点EB．点FC．点GD．点H
考向二 垂直平分线的判定
考点2﹣1 垂直平分线的判定
例题5
如图，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，AC与DB交于点M.
求证：点M在BC的垂直平分线上．
练习5-1
如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：OE是CD的垂直平分线．
练习5-2
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
考向三 尺规作图——画一条线段的垂直平分线
考点3﹣1 尺规作图
例题6
已知△ABC，∠B=90°，试在AC边上求作一点P，使PB=PC.
练习6
如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的
村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．
例题7
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC＜BC，分别以顶点A、B为圆心，大于12AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D，若BD=5，CD=3，则△ACD的周长是（ ）
A．7 B．8 C．12 D．13
例题7 练习7
练习7
如图，在△ABC中∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N点，作直线 MN 交AB于点D，交 BC 于点E，若AC=3，BC=4，则 DE 等于（ ）
A．2 B．103 C．158 D．152
【练习8】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC与E，已知AD＝AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF；
④S△ACD＝S△ABD；⑤DE=AE，其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
画一条线段的垂直平分线（中垂线）
步骤：
（1）在直线l上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ，直线PQ就是所求的垂直平分线．
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