2023年四川省泸州市泸县五中中考数学三模试卷（含解析）

2023年四川省泸州市泸县五中中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，直线、被直线所截，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  为了驰援上海人民抗击新冠肺炎疫情，柳州多家爱心企业仅用半天时间共筹集到了包柳州螺蛳粉，通过专列统一运往上海，用科学记数法将数据表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若点与点关于轴对称，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  正整数、分别满足、，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知非零实数满足，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移个单位长度，得到的函数图象与一次函数的图象有公共点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，当时，的长是(    )
 

A.
B.
C.
D.

11.  如图，在矩形中，，，点、分别为、的中点，、相交于点，过点作，交于点，则线段的长度是(    )
 

A.  B.  C.  D.

12.  已知二次函数是常数，且的图象过点，，若的长不小于，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  分解因式： ______ ．

14.  实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ______ ．

15.  已知关于的分式方程有一个正数解，则的取值范围为______．

16.  如图所示，在中，，、分别是、的中点，动点在射线上，交于，的平分线交于，当时， ______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图所示，已知为的平分线，，于点，于点．
求证：．

19.  本小题分
化简：．

20.  本小题分
为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次调查的样本容量是______，圆心角______度；
补全条形统计图；
已知红星中学共有名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
若在这次竞赛中有，，，四人成绩均为满分，现从中抽取人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到，两人同时参赛的概率．

21.  本小题分
金鹰酒店有间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装台，甲工程队的安装任务有台，两队同时安装．问：
甲、乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？
金鹰酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于，每台空调每小时耗电度；据预估，每天至少有间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约小时．若电费元度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费单位：元的范围？

22.  本小题分
今年，我国“巅峰使命”珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度．
如图，在平面内，点，，在同一直线上，，垂足为点，，，，求的高度．精确到
参考数据：，，，

23.  本小题分
如图，已知函的图象与一次函数的图象交于点，两点．
求一次函数的解析式．
将一次函数的图象沿轴负方向平移个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数的图象只有一个交点时的值及交点的坐标．

24.  本小题分
如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
如图，抛物线过点，，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
点为抛物线对称轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
在条件下，是否存在点为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，因此，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，因此，故D符合题意．
故选：．
负数都小于；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，由此即可判断．
本题考查实数大小比较，算术平方根，关键是掌握实数大小的比较方法．
 

2.【答案】 

【解析】解：
，
，
，
，
故选：．
根据邻补角得出的度数，进而利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
，
故选：．
根据两点关于轴对称的点的坐标的特点列出有关、的方程求解即可求得的值．
本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，牢记点的坐标的变化规律是解决此类题目的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了积的乘方，同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】
解：、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，，
，．
．
故选：．
根据、的取值范围，先确定、，再计算．
本题考查了无理数的估值，掌握立方根、平方根的意义，并能根据、的取值范围确定、的值是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
根据分式的运算以及完全平方公式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
是的切线，
，
，
，
故选：．
由圆周角定理可求得的度数，由切线的性质可知，则可中求得．
本题主要考查切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理可切线的性质分别求得和的度数是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象向下平移个单位长度，得到：，即，
则，
所以，
整理，得，
因为得到的图象与一次函数的图象有公共点，
所以，
解得，
故选：．
先根据平移原则写出解析式，再列方程组，有公共点则，则可求出的取值．
主要考查的是函数图象的平移和两函数的交点问题，两函数有公共点：说明两函数有一个交点或两个交点，可利用方程组一元二次方程的问题解决．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．
先根据等腰三角形的性质推出，进而得到，再在中，根据勾股定理求出的长度，最后根据弧长公式即可得出答案．
【解答】
解：，，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，，
，
的长度
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，，
，，，
点、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
∽，
，
，
解得：，
故选：．
根据矩形的性质得出，，，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出∽，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，得，
化简得，，
二次函数是常数，且的图象过点，，
，
，
，
，，
，
即，
的长不小于，
，
，
，
，
故选：．
由于抛物线所经过的、两点的纵坐标为，说明抛物线与直线有两个交点，则，是方程有两个不相等的根，由根与系数的关系求得便为的长度，再根据的长不小于，列出的不等式求得的取值范围，再结合方程根的判别式与解的情况的关系求得的取值范围，便可得出最后结果．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，关键是用根与系数的关系求出的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

14.【答案】 

【解析】解：由数轴可知，，，
，，，
原式
．
故答案为：．
根据数、在数轴上的位置确定，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项．
本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

15.【答案】且 

【解析】解；，
方程两边都乘以，得
，
解得，
关于的方程程有一个正数解，
，
，且，
的取值范围是且．
故答案为：且．
根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出的范围是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长交射线于，

、分别是、的中点，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
由得，∽，
，
，
即．
故答案为：．
延长交射线于，三角形的中位线定理得到，推出，∽，得到，进而推出，即可得出结论．
本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是构造等腰三角形和相似三角形．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后再计算．
本题考查实数的混合运算，理解，，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
 

18.【答案】证明：为的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
点在上，，，
． 

【解析】根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到是解题的关键．
 

19.【答案】解：



． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：本次调查的样本容量是：，
则圆心角，
故答案为：，；
成绩优秀的人数为：人，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，
恰好抽到，两人同时参赛的概率为．
由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设乙工程队每天安装台空调，则甲工程队每天安装台空调，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队每天安装台空调，乙工程队每天安装台空调，才能同时完成任务．
设每天有间客房有旅客住宿，则．
，
随的增大而增大，
，
即．
答：该酒店每天所有客房空调所用电费单位：元的范围为不少于元且不超过元． 

【解析】设乙工程队每天安装台空调，则甲工程队每天安装台空调，根据甲、乙两个工程队同时完成安装任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设每天有间客房有旅客住宿，利用每天所有客房空调所用电费电费的单价每天旅客住宿耗电总数，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数上点的坐标特征，即可求出的取值范围．
本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

22.【答案】解：设，
在中，
，
，
．
在中，
，
，
．
，
，
解得：．
的高度约为米． 

【解析】设，利用直角三角形的边角关系定理分别表示出，的长度，利用列出方程，解方程即可求解．
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用直角三角形的边角关系定理选择恰当的关系式是解题的关键．
 

23.【答案】解：点，在反比例函数的图象上，
，，解得，
一次函数的图象交于点，两点．
，
解得，
一次函数的解析式是；
一次函数的图象沿轴负方向平移个单位长度得到新图象的解析式是：．
根据题意得，
；
这个新图象与函数的图象只有一个交点，
，
解得；
当时，
解方程得，
，
；
当时，
解方程得，
，

点在第一象限，故，
不符合题意，舍去，
综上所述，， 

【解析】将点，代入反比例函数的解析式，求得、的值，然后将其代入一次函数解析式，即用待定系数法求一次函数解析式；
根据题意，写出一次函数变化后的新的图象的解析式，然后根据根的判别式求得值．最后将值代入其中，求得的坐标即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．
 

24.【答案】证明：如图，连接，则，

，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：如图，过点作，

则，，
，，


四边形是矩形，
，，
，设，，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，，舍去，
，
． 

【解析】连接，根据，，推出，得到，根据，推出，得到是的切线；
过点作，得到，根据，，推出四边形是矩形，得到，，设，，得到，，根据勾股定理得到，解得，，得到，推出．
本题主要考查了等腰三角形，圆的切线，垂径定理，矩形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，圆的切线判定和性质定理，垂径定理，矩形判定和性质，勾股定理解直角三角形．
 

25.【答案】解：由题意得：，
；
设，
，
，
，
；
假设存在点满足条件，
作交轴于，作交轴于，
的解析式为，
，
，，
，
直线的解析式为：，
由得，
，
点横坐标为或． 

【解析】由交点式可直接得出抛物线的解析式；
设，根据列出方程，进而求得点坐标；
作交轴于，作交轴于，先求出的解析式，进而求得的解析式，进一步求得结果．
本题考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理列方程，两个函数图象交点与对应方程组之间的关系等知识，解决问题的关键是转化题意，求一次函数解析式．