2023年浙江省杭州十三中中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年浙江省杭州十三中中考数学三模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. cs60°的值等于( )
A. 12B. 22C. 32D. 33
2. 地球绕太阳转动每小时通过的路程约是1.1×105km，用科学记数法表示地球转动一天(24h)通过的路程约是( )
A. 0.264×107 kmB. 2.64×106 km
C. 26.4×105kmD. 264×104km
3. 计算下列各式，值最小的是( )
A. 2×0+1−5B. 2+0×1−5C. 2+0−1×5D. 2+0+1−5
4. 如图，点A、B、C在圆O上，若∠A=50°，则∠OBC的度数为( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
5. 某班 30名学生的身高情况如下表：
则这 30 名学生身高的众数和中位数分别是( )
A. 1.66m，1.64mB. 1.66m，1.66mC. 1.62m，1.64mD. 1.66m，1.62m
6. 已知实数a、b满足a−b>0，则( )
A. a>2bB. 2a>bC. a− 2>b−2D. 2−ay2B. 若k>12，则y10)个单位，平移后的图象与y2交于点B，若A，B两点关于原点中心对称，求t的值．
21. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2=AE⋅AB，连接DE．
(1)求证：△ABD∽△ADE；
(2)若∠BAC=α，求∠EDC(结果用α表示)
(3)若AB=5，AD=4，DE=2，求EC的长．
22. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y=ax2+(a+1)x+b，其中a−b=4．
(1)若此函数图象过点(1,3)，求这个二次函数的表达式．
(2)若(x1,y1)(x2,y2)为此二次函数图象上两个不同点，当x1+x2=2时，y1=y2，求a的值．
(3)若点(−1,t)在此二次函数图象上，且当x≥−1时y随x的增大而增大，求t的范围．
23. (本小题12.0分)
如图(1)，点E在正方形ABCD边BC上(不与B，C重合)，BD为正方形对角线，CEBE=k．
(1)若DE平分∠BDC，求k的值．
(2)如图(2)，在(1)的条件下，连结AE，过点C作AE的平行线，分别交DE，BD于点M和N，求DMME的值．
(3)如图(3)，连结AE，DE，设∠AED=α，求证：tanα>1．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：cs60°=12．
故选：A．
根据特殊角的三角函数值解题即可．
本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：24×1.1×105km=26.4×105km=2.64×106km．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|12，1=2×12故本选项错误，不符合题意；
B、a−b>0，但2a>b不一定成立，例如：−1>−2，−1×2=−2，故本选项错误，不符合题意；
C、a−b>0时，a−2>b−2成立，故本选项正确，符合题意；
D、a−b>0时，−a0，
∴3m>52m，
∴S△ANE>2S四边形DBMN，
∴S△ANE2S四边形DBMN，可判断C符合题意；由S△ANES△AMC=(23)2=49，得S△AMC=274m，则S四边形NMCE=154m，即可求得S四边形DBMNS四边形NMCE=13，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ADN∽△ABM及△ANE∽△AMC是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：|x−52|=12时，x=2或3，如图：

当k>12时，x3，
xy2．
故A、B不合题意，
当k≤12时，2≤x≤3，
当x=2时，y1=−1，y2=0，y1−y2=−1，
当x=3，y1=0，y2=−1，y1−y2=1，
∴当k≤12时，−1≤y1−y2≤1，
故D选项符合题意．
故选：D．
由题意先求出|x−52|=12时，x的值是2或3，然后数形结合判断y1、y2的大小及y1−y2取值范围．
本题考查二次函数的性质，熟悉性质是解题关键．
11.【答案】(x−2)2
【解析】解：x2−4x+4=(x−2)(x−2)=(x−2)2．
故答案为：(x−2)2．
直接运用完全平方公式分解因式即可．
本题主要考查因式分解—应用公式法，掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果有3种，
∴两人恰好选中同一根绳子的概率为39=13．
故答案为：13．
画树状图得出所有等可能的结果数和两人恰好选中同一根绳子的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13.【答案】y=−20x
【解析】解：根据题意得：|k|=|xy|=20，
∴k=±20．
又∵图象与直线y=−x有两个交点，
∴k=−20．
∴所求反比例函数的解析式为y=−20x．
故答案为：y=−20x．
根据反比例函数中k的几何意义|k|=|xy|，再根据图象与直线y=−x有两个交点，可知反比例函数图象在二、四象限，即可判断k的值．
本题考查反比例函数k的几何意义，判断反比例函数的象限是关键．
14.【答案】2 23
【解析】解：连接DB，如图，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OA=3，
∴AB=6，
在Rt△ABC中，BD= AB2−AD2= 62−22=4 2，
∵BD所对的圆周角是∠C、∠A，
∴∠C=∠A，
∴sinC=sinA=BDAB=4 26=2 23，
故答案为：2 23．
连接DB，则∠ADB=90°，由勾股定理得BD=4，根据同弧所对圆周角相等可得sinC=sinA=BDAB=4 26=2 23．
本题主要考查了圆周角定理和求角的正弦值，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
15.【答案】0或−1
【解析】解：根据新定义得，
y=(kx+1)⊕(x−1)=(kx+1)(x−1)−(kx+1)−(x−1)=kx2+2kx−1，
即y=kx2+2kx−1，
当k=0时，函数为y=−1，与x轴仅有一个公共点，符合题意；
当k≠0时，函数y=kx2+2kx−1为二次函数，其图象与x轴仅有一个公共点，则：
Δ=4k2+4k=0，
解得k=−1，或k=0
综上所述，k=0或−1，
故答案为：0或−1．
先根据新定义把函数转化为常规形式，进而分k=0和k≠0时，一次函数和二次函数与x轴的交点情况求出k的值．
本题考查了新定义，一次函数图象与x轴的交点问题，二次函数图象与x轴的交点问题，难点是分两种情况研究，往往容易漏掉k=0的情形．
16.【答案】a 1+a21+a 5+12
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=a，
∴BC=AD=a，CD=AB=1，∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，
∴AC= AB2+BC2= 12+a2= 1+a2，
由旋转得∠ADF=90°=∠ADC，∠FDE=∠ADC=90°，∠E=∠ACD，ED=CD=1，DF=AD=BC，
∴点F在CD上，∠FDE+∠ADC=180°，
∴A、D、E三点在同一条直线上，
∵AD/​/BC，
∴∠E=∠CBE，
∴∠ACD=∠CBE，
∴∠CBE+∠BCA=∠ACD+∠BCA=∠BCD=90°，
∴∠BGC=90°，
∴BG⊥AC，
∵12AC⋅BG=12AB⋅BC=S△ABC，
∴BG=1×a 1+a2=a 1+a21+a；
∵DE/​/BC，
∴△EDF∽△BCF，
∴DFFC=EDBC，
∴DFFC=CDDF，
∴DF2=CD⋅FC=1×(1−DF)，
∴DF2+DF−1=0，
解得DF= 5−12或DF=− 5−12(不符合题意，舍去)，
∴DFFC=1 5−12= 5+12，
故答案为：a 1+a21+a， 5+12．
根据矩形的性质得BC=AD=a，CD=AB=1，∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，则AC= AB2+BC2= 1+a2，由旋转得∠ADF=90°=∠ADC，∠FDE=∠ADC=90°，∠E=∠ACD，ED=CD=1，DF=AD=BC，可证明点F在CD上，A、D、E三点在同一条直线上，再证明BG⊥AC，则12AC⋅BG=12AB⋅BC=S△ABC，可求得BG=1×a 1+a2=a 1+a21+a；再证明△EDF∽△BCF，可推导出DFFC=CDDF，则DF2=CD⋅FC=1×(1−DF)，可求得DF= 5−12，即可求得DFFC= 5+12，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识，证明BG⊥AC及△EDF∽△BCF是解题的关键．
17.【答案】解：不正确，正确解法如下：
2x−32≤2−x−14，
两边同乘4得：2(2x−3)≤8−(x−1)，
去括号得：4x−6≤8−x+1，
移项，合并同类项得：5x≤15，
两边同除以5得：x≤3．
【解析】根据解一元一次不等式的步骤进行判断即可．
本题考查解一元一次不等式，特别注意去括号时括号内的各项是否变号．
18.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴OD⊥BC，
∴∠BEO=90°，
∴∠C=∠BEO，
∴OD/​/AC；
(2)连接OC，
在Rt△ACB中，∠B=30°，AB=6，
∴∠AOC=2∠B=60°，AC=12AB=3，BC= 62−32=3 3，
∴S△AOC=12S△ABC=12×12×3×3 3=9 34，
∴阴影部分的面积=S扇形OAC−S△AOC=60π×32360−9 34=32π−9 34．
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠C=90°，根据垂径定理得到OD⊥BC，由平行线的判定即可得到结论；
(2)连接OC，先根据圆周角定理可得∠AOC=60°，根据含30°角的性质得AC=3，根据勾股定理得BC的长，计算△ABC的面积，由三角形中线的性质可得△AOC的面积，最后由扇形和三角形的面积公式即可得到答案．
本题考查了扇形的面积，平行线的判定，勾股定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】100
【解析】解：(1)40÷40%=100(名)，
即此次调查共调查了100名初中毕业生，
故答案为：100；
(2)B的人数：100×30%=30(名)，
C所占的百分比为：25%，
补全统计图如图；
(3)画树状图如下图：
共有12个等可能的结果，同时选中甲和乙两同学的结果有4个，
∴同时选中甲和乙两同学的概率为412=13．
(1)根据A的人数与所占的百分比列式进行计算即可得解；
(2)求出B的人数，再求出C所占的百分比，然后补全统计图即可；
(3)根据题意可以画出相应的树状图，共有12个等可能的结果，同时选中甲和乙两同学的结果有4个，由概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】解：(1)由题意得，
−k+4=mk=m，
∴m=2k=2．
∴所求函数关系式为：y1=−2x+4，y2=2x．
(2)由将y1向下平移t(t>0)个单位，
则可得新的函数解析式为：y3=−2x+4−t．
由(1)得A为(1,2)，
又A，B两点关于原点中心对称，
∴B为(−1,−2)．
又B在新函数y3上，
∴−2=−2×(−1)+4−t．
∴t=8．
【解析】(1)由题意，将A点分别代入y1和y2可得m，k的方程组，进而可以得解．
(2)依据题意，首先表示出平移后的解析式，再将B点表示出来，结合A，B两点关于原点中心对称的点的特征可以得解．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要熟练满足题意的点的坐标特征是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AD2=AE⋅AB，
∴ADAB=AEAD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAE，
∴△ABD∽△ADE．
(2)解：∵△ABD∽△ADE，
∴∠ADB=∠AED，
∴∠EDC=∠AED−∠C=∠ADB−∠C=∠DAC=12∠BAC，
∵∠BAC=α，
∴∠EDC=12α.
(3)解：∵AD2=AE⋅AB，AB=5，AD=4，DE=2，
∴AE=AD2AB=425=165，
设EC=x，则AC=x+165，
∵∠EDC=∠DAC，∠C=∠C，
∴△EDC∽△DAC，
∴DCAC=ECDC=DEAD=24=12，
∴DC2=EC⋅AC=x(x+165)，DC=12AC=12(x+165)，
∴[12(x+165)]2=x(x+165)，
解得x1=1615，x2=−165(不符合题意，舍去)，
∴EC的长是1615．
【解析】(1)由AD2=AE⋅AB，得ADAB=AEAD，而∠BAD=∠DAE，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△ADE；
(2)由△ABD∽△ADE，得∠ADB=∠AED，则∠EDC=∠AED−∠C=∠ADB−∠C=∠DAC=12∠BAC=12α；
(3)由AD2=AE⋅AB，AB=5，AD=4，求得AE=165，设EC=x，则AC=x+165，再证明△EDC∽△DAC，得DCAC=ECDC=DEAD=12，则DC2=EC⋅AC=x(x+165)，DC=12AC=12(x+165)，于是得[12(x+165)]2=x(x+165)，解方程求出符合题意的x值即可．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、一元二次方程的解法等知识与方法，证明△EDC∽△DAC是解题的关键．
22.【答案】解：(1)将(1,3)，a−b=4代入y=ax2+(a+1)x+b得：3=a+a+1+a−4，
∴a=2，
∴b=a−4=−2，
∴这个二次函数的表达式为：y=2x2+3x−2，
(2)∵y1=y2，
∴这两个点关于x轴对称，
∴−b2a=x1+x22，
∴−a+12a=1，
∴a=−13，
(3)∵点(−1,t)在二次函数图象上，
∴t=a−a−1+a−4=a−5，
∵当x≥−1时y随x的增大而增大，
当a>0时，有−a+12a≤−1，
∴0