2023年河南省南阳市唐河县中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省南阳市唐河县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图表示互为相反数的两个点是(    )

 

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

2.  水分子的直径为纳米，纳米米，则纳米用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3.  如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  是的平分线，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，四边形是平行四边形，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接下列结论中不一定成立的是(    )

A.  B.  C. 平分 D.

6.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

7.  随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图四次参加模拟考试的学生人数不变，下列四个结论不正确的是(    )

 

A. 共有名学生参加模拟测试
B. 从第月到第月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C. 第月增长的“优秀”人数比第月增长的“优秀”人数多
D. 第月测试成绩“优秀”的学生人数达到人

8.  如图，已知．
以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点．
分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
作射线交于点．
分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点．
作直线，交，分别于点，．
依据以上作图，若，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，正方形四个顶点的坐标依次为，，，若抛物线的图象与正方形有公共点，则实数的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是(    )

A. 水温从加热到，需要
B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 
C. 上午点接通电源，可以保证当天：能喝到不低于的水
D. 在一个加热周期内水温不低于的时间为

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请写出一个大于而小于的无理数______．

12.  在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解是______．

13.  如图，正方形的面积为，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则的长为______ ．

14.  如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是______．

15.  如图，平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为          ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取．

17.  本小题分
年月，教育部印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见，明确要求初中生课外作业完成时间不超过分钟．为了了解学生每天完成课外作业时间，某校数学兴趣小组决定对本校学生每天完成课外作业所用时间进行调查，他们随机抽取本校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果分为，，，四个等级，列表如下：

根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
本次抽样调查共抽取了多少名学生？将条形统计图补充完整．
学生每天完成课外作业时间的中位数落在______等级．
请对该校学生每天完成课外作业时间作出评价，并提出两条合理化建议．

 

18.  本小题分
函数的图象如图所示正方形网格边长为．
根据表格中的数据，在图中画出函数的图象，根据表格中的数据及图象，可以发现：的图象是由的图象向        填“上”或“下”平移了        个单位长度而得到的；

求函数的图象向下平移个单位长度后的函数表达式；
如图，函数的图象无限接近轴及直线，则        ，是该函数图象上的一点，轴，轴，矩形的面积为，，则        ．

19.  本小题分
如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度结果保留小数点后一位
参考数据：，，，

20.  本小题分
某商家正在热销一种商品，其成本为元件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少商家决定当售价为元件时，改变销售策略，此时售价每增加元需支付由此产生的额外费用元该商品销售量件与售价元件满足如图所示的函数关系其中，且为整数．
直接写出与的函数关系式；
当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

21.  本小题分
独轮车图俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用如图所示为从独轮车中抽象出来的几何模型在中，以的边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点．
求证：；
若，求的半径．

 

22.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且．
求抛物线的解析式及顶点坐标；
当，且时，的最大值和最小值分别为，，且，求的值．

23.  本小题分
九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
操作探究：
如图，为等腰三角形，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接，则 ______ ，与的数量关系是______ ；
迁移探究：
如图，中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，点正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
拓展应用：
如图，在等腰三角形中，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接当时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据数轴可知点表示的数为，点表示的数为，
表示互为相反数的两个点是和，
故选：．
根据相反数的和为，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即可求解．
本题考查了数轴上表示有理数，相反数的定义，数形结合是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】本题考查了用科学记数法表示较小的数．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
解：纳米米米
纳米米米．
故选：．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看从左到右第一列是两个小正方形，第二列有个小正方形，第三列有个小正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，重点是对空间观念的考查．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，平分，
所以，
因为，
所以，
故选：。
根据角平分线的定义得出的度数，再利用平行线的性质可得答案。
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义和平行线的性质。
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．首先证明四边形是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】
解：由尺规作图可知：，平分，
，
四边形是平行四边形，
，
．
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
平分，，，故选项A、C正确，
，
，故选项B正确；
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得：且，
解得：且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和判别式与根的关系可得：且，再求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：、测试的学生人数为：名，故不符合题意；
B、由折线统计图可知，从第周到第周，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，故不符合题意；
C、第月增长的“优秀”人数为人，第月增长的“优秀”人数人，故不符合题意；
D、第月测试成绩“优秀”的学生人数为：人，故符合题意．
故选：．
根据条形统计图和折线统计图分别判断即可．
此题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，垂直平分，

，，，
，
，
，
，
同理可得，
四边形为平行四边形，
而，
四边形为菱形，
，
，
，即，
．
故选：．
利用作法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线分线段成比例定理．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查坐标与图形性质，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
求出抛物线经过两个特殊点时的的值即可解决问题．
【解答】
解：当抛物线经过时，，
当抛物线经过时，，
观察图象可知，
故选A．  

10.【答案】 

【解析】解：开机加热时每分钟上升，
水温从加热到，所需时间为，故A选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，与的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意；
令，则，
，
从开机加热到水温降至需要，即一个循环为，
水温与通电时间的函数关系式为，
上午点到：共分钟，，
当时，，
即此时的水温为，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为时，，
解得：，
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
，
一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项错误，符合题意．
故选：．
根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，与的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到摄氏度所需时间为，即一个循环为，，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为摄氏度时的时间，再相减即可判断．
本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
，
即：．
故答案为：答案不唯一．
先找出到之间的一个数，再把其相反数进行开方即可求解
本题考查的是估算无理数的大小，属开放性题目，答案不唯一．
 

12.【答案】 

【解析】解：将点代入，
得，
，
原方程组的解为．
故答案为：．
先将点代入，求出，即可确定方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

正方形的面积为，
，
，
，，
，
，
平分，
，
在中，，
，
，是等腰直角三角形，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
连接，由正方形的面积为，，可得，根据锐角三角函数得，又平分，可得，故AF，，然后根据，分别是，的中点，即可解决问题．
本题考查正方形性质及应用，涉及含角的直角三角形三边关系，等腰直角三角形三边关系，解题的关键是根据已知求得．
 

14.【答案】 

【解析】解：设与相交于点，

四边形是菱形，
，，
与、分别相切于点、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
阴影部分面积的面积扇形的面积


，
阴影部分面积为，
故答案为：．
设与相交于点，利用菱形的性质可得，，利用圆的切线性质可得，从而可得，进而可得，然后求出，从而求出，，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，的度数，最后根据阴影部分面积的面积扇形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了菱形的性质，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平行线的判定、勾股定理、分类讨论等知识，熟练掌握相似三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
由题意得出点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；
当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，证出，则∽，由已知得出点横坐标为，，，，由相似对应边成比例得出即可得出结果；
点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，过点作于，证出，则∽，由已知得出，，，由勾股定理得出，则，由相似对应边成比例得出，，则即可得出结果．
【解答】
解：点在矩形的内部，且是等腰三角形，
点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；
当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图所示：

，，
，
∽，
四边形是矩形，点的坐标为，
点横坐标为，，，，
∽，
，即，
解得：，
点；
点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，
过点作于，如图所示：

，
，
∽，
四边形是矩形，点的坐标为，
，，，
，
，
∽，
，即：，
解得：，，
，
点；
综上所述：点的坐标为：或；
故答案为：或．  

16.【答案】解：



，
由，得：，
可以取的整数是，，，，
，时，原分式无意义，
或，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后求出不等式组的整数解，再从整数解中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：本次抽样调查共抽取学生名，
级人数：，
如图，

共有名学生，前三个等级的人数和为，
学生每天完成课外作业时间的中位数落在等级，
故答案为：；
该校部分学生每天完成课外作业时间没有达到意见要求．
建议：该校各学科授课教师要提高教学效率；教师要有效地引导学生高效学习，基于学情布置作业，作业要量少而精．
根据类的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其他人数求出的人数，从而补全统计图；
根据中位数的定义可得答案；
根据统计图反应的问题回答即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

18.【答案】上       

【解析】解：画出函数的图象如图，

根据表格中的数据及图象，可以发现：的图象是由的图象向上平移个单位长度而得到的；
故答案为：上，：
函数的图象向下平移个单位长度后的函数表达式是；
如图，函数的图象无限接近轴及直线，则，是该函数图象上的一点，轴，轴，矩形的面积为，，则．
故答案为：，．
观察图象即可得出结论；
根据的结论可得；
根据图象填空即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意得：，
在中，，，
，
在中，，
，
，
旗杆的高度约为． 

【解析】根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：与的函数关系式为；
设获得的利润为元，
当时，，
，
当时，有最大值，最大值为元；
当时，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大，最大值为元，
，
综上所述，当售价为元时，该商家获得的利润最大，最大利润为元． 

【解析】解：设线段的表达式为，
将点、代入上式，
得，
解得，
线段的表达式为，
设线段的表达式为，
将点、代入上式，
得，
解得，
线段的表达式为，
与的函数关系式为；
见答案；

本题考查了二次函数在实际生活中的应用．
先设出一次函数关系式，分和两种情况用待定系数法分别求出函数解析式即可；
设获得的利润为元，分当时和当时两种情况分别求出函数解析式，然后根据自变量的取值范围和函数的性质求函数的最大值．
 

21.【答案】证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，如图，
在中，，
，
为直径，
，
，，
∽，
：：，即：：，
解得，
，
，
的半径为． 

【解析】连接，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论；
连接，如图，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明∽，则利用相似比可计算出，然后利用得到，从而得到的半径．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
 

22.【答案】解：在中，令，得，
，
，
，
，
把、代入中，
得，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
顶点坐标为；
当，且时，的最大值和最小值分别为，，
，
，
，
当时，，
解得：，，
，
． 

【解析】令，得，可得，再由，可得，利用待定系数法可得抛物线解析式，运用配方法可得出顶点坐标；
函数的最大值为，由可得，当时，解方程，即可得出答案．
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：为等腰三角形，，，
为等边三角形，
将绕点旋转，得到，
≌，
为等边三角形，，，
，
，
，
，是的中点，
，
，
故答案为：，；
由旋转的性质，可知≌，
为等边三角形，平分，为等边三角形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
是的中点，
，
是等腰直角三角形，
；
分以下两种情况进行讨论：
如图当点在右边时，

，，
为等腰直角三角形，
．
，
，
由旋转的性质，得，
为等边三角形，
是的中点，
，平分，
，
，
；
如图，当点在左边时，

同理，可得，，
．
综上所述，的长为或．
证明为等边三角形，根据旋转的性质得≌，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，；
根据旋转的性质得≌，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得；
分以下两种情况进行讨论：当点在右边时，当点在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键．