2023年山东省东营市经开区中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省东营市经开区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，已知，点在线段上不与点，点重合，连接若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.  已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过千克，收费元；超过千克的部分每千克加收元小红在该快递公司寄一件千克的物品，需要付费(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

5.  班主任王老师将份奖品分别放在个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等位获“爱集体标兵”称号的同学这些奖品中份是学习文具，份是科普读物，份是科技馆通票小英从中随机抽取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，交于点，连接若，，，则的周长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  利用教材中计算器依次按键：

则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，中，，点在上，若，，则的长度为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，已知矩形中，，动点在边上从点向运动，速度为；同时动点从点出发，沿折线运动，速度为当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，则描述与时间的函数关系的图象大致是(    )

 

A.  B.
C.  D.

10.  如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，将沿折叠得到，点落在边上，连接现有如下个结论：；；；在以上个结论中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）

11.  国家统计局网站公布我国年年末总人口约万人万人用科学记数法可以表示为______ 人

12.  因式分解：______．

13.  甲、乙两名学生次立定跳远成绩的平均数相同，若甲次立定跳远成绩的方差为，乙次立定跳远成绩的方差为，则甲、乙两名学生次立定跳远成绩比较稳定的是______填“甲”或“乙”

14.  如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是______ ．

15.  随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度现在平均每天比更新技术前多生产万件产品，现在生产万件产品所需的时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同设更新技术前每天生产万件，依据题意列出关于的方程          ．

16.  如图是一个几何体的三视图图中尺寸单位：，则这个几何体的侧面积为______ ．

17.  如图，在扇形中，，平分交弧于点点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为______ ．

18.  在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，将等边绕着点依次逆时针旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中满足，且为整数．

20.  本小题分
为弘扬优秀传统文化，我区某校开展了“文化润心，学思践行”传统文化知识竞赛张老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成不完整的统计图表．

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
表中的 ______ ， ______ ；
请补全频数分布直方图．
已知该校有名学生参赛，请估计竞赛成绩在分以上的学生有多少人？
现要从组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，组中的小明和小红是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小明和小红的概率．

21.  本小题分
如图，是的切线，点在直径的延长线上．
求证：；
若，，求的长．

22.  本小题分
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点．
求一次函数和反比例函数的解析式；
求的面积；
直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围．

23.  本小题分
某出租汽车公司计划购买型和型两种节能汽车，若购买型汽车辆，型汽车辆，共需万元；若购买型汽车辆，型汽车辆，共需万元．
型和型汽车每辆的价格分别是多少万元？
该公司计划购买型和型两种汽车共辆，费用不超过万元，且型汽车的数量少于型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为．
求此抛物线和直线的解析式；
设直线与该抛物线的对称轴交于点，在线段上是否存在一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，使四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
设点是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求出点的坐标，并求出面积的最大值．

25.  本小题分
如图，和均为等腰三角形，点，，在同一直线上，连接．
如图，若，
求证：；
求的度数；
如图，若，为中边上的高，为中边上的高，试证明：
．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在，，，四个数中，
A、，、，
，
最小的数是，
故选：．
首先依据正号、负号比较大小，再依据同号比较大小即可．
此题主要考查了实数大小比较，掌握实数大小比较的方法是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据去括号法则判断即可；选项C根据完全平方公式判断即可；选项D根据平方差公式判断即可．
本题考查了合并同类项，去括号法则，完全平方公式以及平方差公式，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：为的外角，且，，
，即，
，
，
．
故选：．
由为的外角，利用外角性质求出的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出的度数．
此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得：
小红在该快递公司寄一件千克的物品，需要付费为：


元，
故选：．
根据题意列出算式，计算即可求出值．
此题考查了有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：从中随机抽取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是．
故选：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可求出答案．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
垂直平分，
，
的周长是，
，
，，
，
的周长是，
故选：．
根据题意可知垂直平分，可得到，然后得到，从而可以求得的周长．
本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查计算器数的开方，解题的关键是掌握计算器上常用按键的功能和使用顺序．利用计算器得到的近似值即可作出判断．
【解答】
解：因为，
所以与最接近的是，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用和解直角三角形的应用，关键是能够熟练解直角三角形．
在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得．
【解答】
解：，，，
，
，
．
，
，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意可以写出各段对应的函数图象，从而可以解答本题．
【解答】
解：当时，
，
时，随着的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项B，D错误；
当时，
，
时，随的增大而增大，当时取得最大值，此时，函数图象是一条线段，故选项A正确，选项C错误，
故选A．  

10.【答案】 

【解析】解：由折叠得：≌，
，，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
≌，
，
，
故正确；
点是边的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
故正确；
设，则，
由≌得：，
点是边上的中点，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得：，
，
故不正确，
，
，
，
和等高，
，
则，
，
故正确．
故选：．
根据证明两三角形≌即可判断；根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得，得，所以，即可判断；根据折叠的性质和线段中点的定义可得，设，表示出、，根据点是的中点求出、，从而得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可判断；先求的面积，根据和等高，可知 ，，即可判断．
本题考查翻折变换折叠问题，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：万，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果．
此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

13.【答案】乙 

【解析】解：，，
，
甲、乙两名学生次立定跳远成绩的平均数相同，
甲、乙两名学生次立定跳远成绩比较稳定的是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义可直接求解．
此题主要考查了方差，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
根据一元二次方程有两个相等的实根可知，求出的值即可．
此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当时，方程有两个相等的实根，当时，方程有两个不相等的实根，当时，方程无实数根．
 

15.【答案】 

【解析】解：设更新技术前每天生产万件，则现在每天生产万件，
现在生产万件产品所需的时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同，
，
故答案为：．
根据题意更新技术前每天生产万件，现在每天生产万件，再根据生产总量生产速度生产时间列出方程即可．
本题主要考查了分式方程的应用，找出题中等量关系列出相应的方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据三视图可以判定该几何体为圆锥，底面圆的半径为，母线长为，
圆锥的侧面积为，
故答案为：．
根据三视图可以判定该几何体为圆锥，底面圆的半径为，母线长为，圆锥侧面积公式为周长母线，代入公式求值即可．
本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，
此时最小，即：，
由题意得，，
，
，
的长，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：．
利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧的长与的长度和，分别进行计算即可．
本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由已知可得：
第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在轴正半轴，，
．
如此循环，每旋转次，的对应点又回到轴正半轴，而，
在第一象限，且，
，，

故答案为：
每旋转次，的对应点又回到第一象限，且画出示意图，即可得到答案．
本题考查点的坐标规律，旋转变换，涉及等边三角形、的直角三角形等知识，解题的关键是确定所在的象限．
 

19.【答案】解：原式

；



，
满足，且为整数，且，
，
原式． 

【解析】先化简二次根式，计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可；
先根据分式的混合计算法则化简，然后求出合适的的值，最后代值计算即可．
本题主要考查了实数的混合计算，分式的化简求值，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，求不等式的整数解等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：组频数，占百分比为，
抽取的总人数为：人，
组占比，
人，
人，
故答案为：，；
补全频数分布直方图如下：

竞赛成绩在分以上的学生占，
估计竞赛成绩在分以上的学生有：人；
答：估计全校竞赛成绩在分以上的学生有人；
组有人，记为：，，，，其中表示小明，表示小红，画树状图如下：

一共有种等可能的结果，其中恰好抽到小明和小红的结果数有种，
恰好抽到小明和小红．
先求出样本容量，根据组占比可求出，将样本容量减去其他组的人数可求出；
根据的结论补全频数分布直方图即可；
用样本中成绩在分以上的学生数占比乘以即可；
用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽到小明和小红的可能结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查扇形统计图，频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，熟悉统计图表的意义，掌握列表法和树状图法求等可能事件的方法是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，

是的切线，点在直径的延长线上，
，，，
，，，
；
解：，，
∽，
，
，，
，
，
即的长是． 

【解析】要证明，只要求出即可，根据题目中的条件，不难得到，，从而可以证明结论成立；
要求的长，只要证明∽即可，然后根据，，即可求得的长．
本题考查相似三角形的判定与性质、切线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：把点分别代入反比例函数，一次函数，
得，，
解得，，
所以反比例函数的解析式是，一次函数解析式是；

如图，设直线与轴的交点为，
当时，，
，
当时，，
，
；

，，
根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值． 

【解析】把的坐标分别代入反比例函数解析式和一次函数解析式求出，即可；
求出直线与轴的交点的坐标，分别求出和的面积，然后相加即可；
根据、的坐标结合图象即可得出答案．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
 

23.【答案】解：设型汽车每辆的价格为万元，型汽车每辆的价格为万元，
依题意，得：，
解得，
答：型汽车每辆的价格为万元，型汽车每辆的价格为万元；
设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据题意得：

解得：，
是整数，
或，
当时，该方案所用费用为：万元；
当时，该方案所用费用为：万元．
，
最省的方案是购买型汽车辆，购进型汽车辆，该方案所需费用为万元．
答：最省的方案是购买型汽车辆，购进型汽车辆，该方案所需费用为万元． 

【解析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组和方程组，利用方程和不等式的性质解答．
设型汽车每辆的价格为万元，型汽车每辆的价格为万元，根据“购买型汽车辆，型汽车辆，共需万元；若购买型汽车辆，型汽车辆，共需万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据题意列出不等式组解答即可．
 

24.【答案】解：抛物线经过、两点，


抛物线的解析式为，
直线经过、两点，

解得 
直线的解析式为；
，
抛物线的顶点的坐标为，
轴，
，
，
如图，点在轴下方，四边形为平行四边形，则，

设，则，
，
，
解得：，舍去，
，
综合可得点的坐标为．
如图，作轴交直线于点，

设，则，
，
，
当时，面积的最大值是，
此时点坐标为 

【解析】将、两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；
先求出点坐标和点坐标，则，点在轴下方，四边形为平行四边形，则；
如图，作轴交直线于点，设，则，可由，得到的表达式，利用二次函数性质可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 

25.【答案】证明：，
．
，，
．
和均为等腰三角形，
，．
在和中，
，
≌，
．
解：≌，
．
点，，在同一直线上，且，
，
．
，且，
．
证明：和均为等腰三角形，且，
．
，
，．
在中，，，
．
，，
，
．
在中，，，
．
，，
． 

【解析】通过角的计算找出，再结合和均为等腰三角形可得出“，”，利用全等三角形的判定即可证出≌，由此即可得出结论；
结合中的≌可得出，再通过角的计算即可算出的度数；
根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用的结论，通过解直角三角形即可求出线段、的长度，二者相加即可证出结论．
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：通过角的计算结合等腰三角形的性质证出≌；找出线段、的长．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键．