2022-2023学年江西省南昌市青山湖区雷式学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省南昌市青山湖区雷式学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省南昌市青山湖区雷式学校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  若实数、满足，且，则一次函数的图象可能是(    )A.  B.
C.  D. 3.  已知如图，在中，，于，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 4.  如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，则(    )A.
B.
C.
D. 5.  如图，矩形中，，，把矩形沿过点的直线折叠，点落在矩形内部的点处，则的最小值是(    )

 A.  B.  C.  D. 6.  如图，已知菱形的顶点，若点从点出发，沿的方向，在菱形的边上以每秒个单位长度的速度移动，则第秒时，点的坐标为(    )A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.  若函数是关于的一次函数，且随的增大而减小，则______．8.  如图，在等腰中，，顶点在平行四边形的边上，已知，则 ______ ．
 9.  如图，菱形的边长为，，是边的中点，点是对角线上的动点，当的值最小时，的长是        ．
 10.  如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，则的度数是______度．
11.  学校举办图画展览，需要依次把图画作品横着钉成一排如图，图中黑色实心圆点表示图钉，照这样，钉张图画需要图钉颗，请写出与的函数关系式______．
12.  如图，在直角坐标系中，长方形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，点的坐标为，将长方形沿对角线翻折，点落在点的位置．那么点的坐标是______ ．
 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）13.  如图所示，一辆装满货物的卡车，其外形高米，宽米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
四、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14.  本小题分
计算：
；
．15.  本小题分
如图，在由边长为的小正方形组成的的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
通过计算判断的形状；
在图中确定一个格点，连接、，使四边形为平行四边形，并求出▱的面积．
16.  本小题分
如图，是边长为的等边三角形，过点的直线与轴交于点．
求直线的解析式；
求证：．
17.  本小题分
如图，把一张长方形纸片沿折叠，点与点重合，点落在点处．若长方形的长为，宽为，求：
和的长；
求阴影部分的面积．
18.  本小题分
如图，直线与轴，轴分别交于，两点，且．
求这条直线的函数表达式；与直线在同一个平面直角坐标系内，其中，，，，将沿着轴向左平移，当点落在直线上时，求线段扫过的面积． 19.  本小题分
读取表格中的信息，解决问题． 求满足的可以取得的最小整数值．20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线分别交两轴于点、，点的横坐标为，点在线段上，且．

求点的坐标；
求直线的解析式；
在平面内是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，不必说明理由．21.  本小题分
见微知著读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想阀门发现新问题、结论的重要方法．
教材呈现如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容．

定理证明：请根据教材图的提示，结合图完成直角三角形的性质：“直角三角形斜力上的中线等于斜边的一半”的证明．
定理应用：如图，在中，，垂足为点点在上，是边的中线，垂直平分，求证：．
拓展提高：如图，在中，，，恰好是中线，求的度数．

 22.  本小题分
已知长方形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，设，
已知点在第一象限且是直线上的一点，设点横坐标为，则点纵坐标可用含的代数式表示为______，此时若是等腰直角三角形，求点的坐标；
直线过点，请问在该直线上，是否存在第一象限的点使是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．
23.  本小题分
问题：如图，是矩形内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你能发现与的数量关系为______．

探究：如图，是矩形外任意一点，上面的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
应用：如图，在中，，，是内一点，且，，求的最小值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次根式的性质和化简，注意被开方数是小数的要化成分数计算，且保证分母是完全平方数，根据进行化简．
先将被开方数化成分数，观察四个选项，再化简为，开方，注意要把化为，代入即可．
【解答】解：，故ABD错误，C正确．
故选C．  2.【答案】 【解析】解：因为实数、满足，且，
所以，，
所以它的图象经过一、三、四象限，
故选：．
根据图象在坐标平面内的位置关系确定，的取值范围，从而求解．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 3.【答案】 【解析】解：，，
．
，
．
故选C．
根据，得出的长，再由可知是直角三角形，根据勾股定理求出的长即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：由题意可知：，，，，
连接，

在直角和中，，
即，
，，
，
故选：．
连接，利用勾股定理可得，即，从而可得答案．
本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理，利用勾股定理求出的长度是解题的关键．
根据翻折的性质和当点位于连线上时最小解答即可．
【解答】
解：矩形中，，，，
在中，，
把矩形沿过点的直线折叠，点落在矩形内部的点处，
，
当点位于连线上时最小，
此时，
故选：．  6.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
在中，
，，
，
，，
，
，
点的运动速度为单位长度秒，
从点到点所需时间秒，
沿所需的时间秒，
，
移动到第秒和第秒的位置相同，当运动到第秒时点在点处，即点的坐标为，
故选：．
由菱形的性质得出，，，易求，在中，，得出，，则，，由点的运动速度为单位长度秒，则从点到点所需时间秒，沿所需的时间秒，由，得出移动到第秒和第秒的位置相同，当运动到第秒时点在点处，即点的坐标为，即可得出答案．
本题考查的是菱形的性质、直角三角形度角所对的直角边等于斜边的一半、三角函数等知识，根据题意得出点运动一周所需的时间是解答此题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：是关于的一次函数，
，
，
随的增大而减小，
，
，
，
故答案为：．
根据一次函数定义可得，解出的值，然后再根据一次函数的性质可得，进而可得确定的取值．
此题主要考查了一次函数的性质和定义，关键是掌握一次函数的自变量的次数为，一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降．
 8.【答案】 【解析】解：等腰中，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出，代入求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和平行四边形的性质，熟练掌握平行线的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：如图所示，
作点关于直线的对称点，连接，则线段的长即为的最小值，
菱形的边长为，是边中点，
，
是直角三角形，
，
，
，
．
．
故答案为：．
作点关于直线的对称点，连接，则线段的长即为的最小值，再由轴对称的性质可知，故可得出是直角三角形，由菱形的性质可知，根据锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出的长，即可求出的长．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知菱形的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：作点关于的对称点，连接，，如图所示：

，
由勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，
，
，
故答案为：．
作点关于的对称点，连接，利用勾股定理得出，，的长，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出，，的长解答．
 11.【答案】 【解析】解：钉张图画需要图钉颗数，
钉张图画需要图钉颗数，
钉张图画需要图钉颗数，

钉张图画需要图钉颗数为，
故答案为：．
根据已知图形得出钉张图画需要图钉颗数为：．
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出钉张图画需要图钉颗数为．
 12.【答案】 【解析】解：如图，过点作轴于点；轴于点；
由题意得：；；
四边形为矩形，且点的坐标为，
，，；
，，
设为，；
由勾股定理得：，
解得：；
，
，
，
解得：；，
；由勾股定理得：
，而，
，故点的坐标为
故答案为
如图，作辅助线；求出，；证明设为，；运用勾股定理求出；借助面积公式求出；运用勾股定理求出，即可解决问题．
该题主要考查了翻折变换的性质、坐标与图形的关系等几何知识点及其应用问题；解题的关键是数形结合，灵活运用坐标与图形的关系等知识点来分析、判断、解答．
 13.【答案】解：车宽米，
卡车能否通过，只要比较距厂门中线米处的高度与车高．
在中，由勾股定理可得：
，
，
卡车能通过此门． 【解析】根据勾股定理得出的长，进而得出的长，即可判定．
本题考查勾股定理、矩形的性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 14.【答案】解：

；


． 【解析】根据负整数指数幂，零指数幂，完全平方公式进行计算，即可解答；
先化简绝对值，再根据二次根式的性质化简求值，即可解答．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 15.【答案】解：由题意可得，，
，，
，
即，
是直角三角形．
过点作，过点作，
直线和的交点就是的位置，格点的位置如图，

▱的面积为：． 【解析】此题考查直角三角形的判定和性质，关键是根据勾股定理以及勾股定理的逆定理解答．
分别计算三边长度，根据勾股定理的逆定理判断；
过点作，过点作，根据平行四边形的面积解答即可．
 16.【答案】解：过点作于点，

是边长为的等边三角形，
，，
，
，
将点代入直线得：
，
解得：，
故；
证明：当时，即：，解得，
即，
，，
，
，，
，
． 【解析】利用等边三角形的性质得出，再利用勾股定理得出的长，即可得出点坐标，将点代入直线即可求出函数解析式；
先求出点坐标，得出的长、的长，再利用勾股定理逆定理得出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理以及勾股定理逆定理和一次函数图象上点的坐标性质，得出点坐标是解题关键．
 17.【答案】解：由折叠可得，，
设，则，
在中，，
，
解得，
，；

如图所示，过作于，
，，，且，
，
，
即阴影部分的面积为． 【解析】设，则，依据勾股定理列方程，即可得到和的长；
过作于，依据面积法即可得到的长，进而得出阴影部分的面积．
本题主要考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 18.【答案】解：设该直线的函数表达式为，
，且、分别在轴负半轴、轴负半轴上，
，．
将、代入，
，解得：，
这条直线的函数表达式为．

，，
．
，，
，
．
设平移后点、的对应点分别为、，
当时，，
，
．
线段扫过的四边形为平行四边形，
．
答：线段扫过的面积为． 【解析】根据结合图形可得出点、的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；
通过解直角三角形可得出点的坐标，设平移后点、的对应点分别为、，利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点的坐标，根据平移的性质结合平行四边形的面积公式即可求出线段扫过的面积．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、解直角三角形、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的面积以及坐标与图形变化中的平移，解题的关键是：根据点、的坐标利用待定系数法求出直线的函数表达式；通过解直角三角形以及一次函数图象上点的坐标特征找出点、的坐标．
 19.【答案】解：由，
，
，

．
，
．
．
，
最小整数是． 【解析】由表格可知当时，由，同理得出，由此得出，进一步整理，求得的最，小值即可．
此题考查二次根式的运用，注意找出运算的规律，进一步利用估算的方法找出解决问题的方法．
 20.【答案】解：直线分别交两轴于点、，
当时，，当时，，
点，点，
点在线段上，且，
，
点，
点的横坐标为，且在直线上，
，
点，
设直线的解析式，
，
解得：，，
直线解析式为：．
设点，
若以，为边，
四边形是平行四边形，
，互相平分，
点，点，点，点，
，
，，
点，
若以，为边，
四边形是平行四边形，
，互相平分，
点，点，点，点，
，
，，
点，
若以，为边，
四边形是平行四边形，
，互相平分，
点，点，点，点，
，
解得：，，
点，
综上所述：点的坐标是，，， 【解析】本题是一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了待定系数法求直线解析式，考查了平行四边形的性质和应用，要熟练掌握，熟练运用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
首先根据直线分别交两轴于点、，可得点的坐标是，点的坐标是；然后根据点为线段的中点，可得点的坐标是；最后求出的长，即可求出点的坐标；
利用待定系数法可求直线的解析式；
由平行四边形的性质和中点坐标公式，分三种情况求出点的坐标．
 21.【答案】证明：如图，延长至点，使，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为矩形，
，
，
；
证明：如图，连接，
垂直平分，
，
，
，
在中，点是的中点，
，
，
；
解：过点作于，连接，
在中，，
，
，点是的中点，
，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
． 【解析】延长至点，使，证明四边形为矩形，根据矩形的性质证明结论；
连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据直角三角形的性质得到，证明，等量代换证明结论；
过点作于，连接，证明为等边三角形，得到，证明，得到，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质、矩形的判定和性质、三角形的外角性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 22.【答案】 【解析】解：如图，作轴于点，作轴于点，可得，

，
四边形是矩形，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
设点的横坐标为，
点在第一象限且是直线上的一点，
点纵坐标可用含的代数式表示为，
，得，
点的坐标是；
故答案为：，点的坐标是；

存在点，使是等腰直角三角形，理由为：
直线过点，
，解得：，
直线解析式为，
当，时，如图，作于点，作轴于点，

，，
的坐标为，
，
点坐标；
当，时，如图，作轴于点，作于点，

，
同可得≌，
，，
则点坐标为，
点在直线上，
，解得，
点坐标；
当，时，如图，作轴于点，作于点，

同理可求得点坐标，
综上，符合条件的点存在，坐标为或或
由点在第一象限且是直线上的一点，即可用含的代数式表示点纵坐标，与轴夹角，即，故，所以三角形是等腰直角的情况下，只能是作轴于点，作轴于点，可得，再由三角形为等腰直角三角形，得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到≌，由全等三角形的对应边相等得到，由求出的长，即为的纵坐标，代入直线解析式求出的横坐标，即可确定出的坐标；
存在点，使是等腰直角三角形，理由为：由直线过点求出直线的解析式，分三种情况考虑：当，时，根据等腰直角三角形的性质易得点坐标；当，时，由全等三角形的性质表示出点坐标为，列出关于的方程，求出的值，即可确定出点坐标；当，时，同理求出的坐标，综上，得到所有满足题意得坐标．
此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．
 23.【答案】 【解析】解：问题：与的数量关系为：，理由如下：
如图，过作于，交于，
则四边形、四边形是矩形，
，，，
由勾股定理得：，，，，
，，
，
故答案为：；
探究：成立，理由如下：
如图，过作于，交于，
则四边形、四边形是矩形，
，，，
由勾股定理得：，，，，
，，
；
应用：如图，以、为边作矩形，连接、，
则，
由探究得：，
即，
解得：，
当、、三点共线时，最小，
的最小值的最小值．
问题：过作于，交于，则四边形、四边形是矩形，得，，，再由勾股定理即可得出结论；
探究：过作于，交于，则四边形、四边形是矩形，得，，，再由勾股定理即可得出结论；
应用：以、为边作矩形，连接、，则，由探究得：，求出，当、、三点共线时，最小，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．