中考数学压轴题50

这是一份中考数学压轴题50，共5页。
4（10分）已知抛物线y＝x2﹣2ax+m．（1）当a＝2，m＝﹣5时，求抛物线的最值；（2）当a＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，请判断k的取值情况，并说明理由；（3）当m＝0时，平行于y轴的直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点．若平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，求a的取值范围．【分析】（1）把a＝2，m＝﹣5代入抛物线解析式即可求抛物线的最值；（2）把a＝2代入，当该抛物线与坐标轴有两个交点，Δ＝0，把它沿y轴向上平移k个单位长度，得到新的抛物线与x轴没有交点，列出不等式，即可判断k的取值；（3）根据题意，分a大于0和a小于0两种情况讨论即可得a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2，m＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9所以抛物线的最小值为﹣9．（2）当a＝2时，y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4因为该抛物线与坐标轴有两个交点，所以①抛物线与y轴有1个交点，与x轴有1个交点，Δ＝0，即16﹣4m＝0，解得m＝4，∴m＝4②当抛物线过原点时，m＝0，∵把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，∴y＝x2﹣4x+4+k或y＝x2﹣4x+k此时Δ＜0，即16﹣4（4+k）＜0或16﹣4k＜0，解得4+k＞4，∴k＞0或k＞4，∴k＞4；∴m＝0时，k＞4或当m＝4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点；（3）当m＝0时，y＝x2﹣2ax抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0）（2a，0），a≠0．直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点，平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，①当a＞0时，如图1所示，此时，当x＝0时，0﹣a+1＜0，解得a＞1；②当a＜0时，如图2所示，此时，当x＝2a时，2a﹣a+1＜0，解得a＜﹣1．综上：a＜﹣1或a＞1．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象与几何变换、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点等知识．27．（12分）已知：如图1，△ABC内接于⊙O，AF⊥BC交BC于点D，交⊙O于点F，BE⊥AC交AC于点E，交AD于点G．（1）求证：DG＝DF；（2）如图2，当∠ABC＝45°时，连接CG，求证：GFCG；（3）在（2）的条件下，如图3，若GC等于⊙O半径，且BG＝2，求线段BC的长【分析】（1）先用等角的余角相等，得出∠CAD＝∠CBE，再用同弧所对的圆周角相等，得出∠CAD＝∠CBF，即∠DBF＝∠DBG，即可得出DG＝DF，（2）先同弧所对的圆周角线段，得出∠AFC＝45°，再由（1）得出的结论，利用垂直平分线的性质得出∠DCG＝∠DCF，即可得出△CFG是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）先判断出△OCF是等边三角形，从而求出∠CAD＝30°，再判断△BDG≌△ADC，得出CD＝1，进而用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出DG，BD即可．【解答】解：（1）如图1，连接BF，∵AF⊥BC交BC于点D，交⊙O于点F，BE⊥AC，∴∠EAG+∠AGE＝90°，∠DBG+∠BGD＝90°，∵∠AGE＝∠BGD，∴∠EAG＝∠DBG，∵∠EAG＝∠DBF，∴∠DBG＝∠DBF∵BC⊥FG，∴DG＝DF（如果三角形一边上的高也是该边所对角的平分线，那么此三角形是等腰三角形），（2）如图2，连接CF，由（1）知，DG＝DF，∵CD⊥FG，∴CG＝CF，∠DCG＝∠DCF∵∠ABC＝45°，∴∠AFC＝∠ABC＝45°，∵∠CDF＝90°，∴∠DCG＝∠DCF＝45°，∴∠FCG＝∠DCF+∠DCG＝90°，在Rt△FCG中，∠CFG＝45°，∴GFCG，（3）如图3，连接OC，OF，CF，由（2）知，CG＝CF，∵CG＝OC，∴OC＝OF＝CG，∴△OCF是等边三角形，∴∠COF＝60°，∴∠CAF∠COF＝30°，由（2）∠DCG＝45°，∠CDG＝90°，∴∠CGD＝45°，∴∠DCG＝∠CGD，∴DG＝DC，由（1）知，∠DBG＝∠DAC在△BDG和△ADC中，，∴△BDG≌△ADC，∴BG＝AC，∵BG＝2，∴AC＝2，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝2，∴CD＝1，∴DG＝CD＝1，在Rt△BDG中，BG＝2，DG＝1，∴BD，∴BC＝BD+CD1．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是判断出△CFG是等腰直角三角形，难点是求出AC．