中考数学压轴题51

这是一份中考数学压轴题51，共9页。
5（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．（1）求抛物线的表达式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求△ACD面积的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式，进行计算即可解答；（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，先求出点A的坐标，再求出直线AC的解析式为yx﹣3，然后设点D的坐标为（t，t2t﹣3），则点E的坐标为（t，t﹣3），从而可得DEt2﹣3t，最后根据△ADC的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1，∵OC＝3OB，∴OC＝3，∴点C的坐标为（0，﹣3），把B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线y＝ax2+3ax+c中得：，解得：，∴抛物线的表达式为yx2x﹣3；（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，当y＝0时，x2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，∴A（﹣4，0），B（1，0），∴OA＝4，设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b中得：，解得：，∴直线AC的解析式为yx﹣3，设点D的坐标为（t，t2t﹣3），则点E的坐标为（t，t﹣3），∴DEt﹣3﹣（t2t﹣3）t2﹣3t，∴△ADC的面积＝△ADE的面积+△CDE的面积DE•AFDE•OFDE•（AF+OF）DE•OA•（t2﹣3t）•4t2﹣6t（t+2）2+6，∴当t＝﹣2时，△ACD面积有最大值，最大值为6，∴△ACD面积的最大值为6．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．25．（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD﹣DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．（1）求梯形ABCD的高和∠A的度数；（2）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；（3）试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，证Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），得AE＝BF＝3（cm），再证∠ADE＝30°，则∠A＝60°，然后由勾股定理求出DE即可；（2）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，得DQ＝EP＝2﹣t，再由AP＝AE+EP，得2t＝3+2﹣t，即可求解；（3）求出S梯形ABCD＝15（cm2），分两种情况：①若点Q在CD上，即0≤t≤2；②若点Q在AD上，即2＜t≤4；分别由面积关系得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1所示：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD＝BC，AB∥CD，∴DE⊥CD，CF⊥CD，∴∠DEF＝∠CFE＝∠CDE＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴DE＝CF，DC＝EF＝2cm，在Rt△ADE和Rt△BCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），∴AE＝BF，∴AE＝BF（AB﹣EF）（8﹣2）＝3（cm），∵AD＝6cm，∴AEAD，∴∠ADE＝30°，∴∠A＝60°，DE3（cm），∴梯形ABCD的高为3cm；（2）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图2所示：同（1）得：四边形CDEF是矩形，当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，∵CQ＝t，∴DQ＝EP＝2﹣t，∵AP＝AE+EP，∴2t＝3+2﹣t，解得：t；（3）存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，理由如下：∵S梯形ABCD（8+2）×315（cm2），当S四边形PBCQS梯形ABCD时，①若点Q在CD上，即0≤t≤2，如图3所示：则CQ＝t，BP＝8﹣2t，S四边形PBCQ（t+8﹣2t）×3，解得：t＝3（不合题意舍去）；②若点Q在AD上，即2＜t≤4，过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H，如图4所示：则AQ＝AD+DC﹣t＝6+2﹣t＝8﹣t，在Rt△AGQ中，∠A＝60°，∴∠AQG＝90°﹣60°＝30°，∴AGAQ，∴QGAQ（8﹣t），同理：QHDQ（8﹣8+t﹣2）（t﹣2），∵S四边形PBCQS梯形ABCD，∴S△APQ+S△CDQ＝S四边形PBCQ，∴2t（8﹣t）2（t﹣2），整理得：t2﹣9t+17＝0，解得：t1（不合题意舍去），t2，综上所述，存在t为s时，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、矩形的判定与性质、直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰梯形的性质和勾股定理，证明Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）是解题的关键，属于中考常考题型．26．（14分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与y轴交于点B（0，2），与x轴交于点E（，0）与反比例函数y（x＜0）的图象交于点D．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A、C落在x轴上（点A在点C的右边）．（1）求一次函数的解析式．（2）求点C和点D的坐标以及反比例函数的解析式．（3）直接写出在第三象限内，x取何值时ax+b．【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）证明△DEF≌△BEO（AAS），则OF＝OE+EF＝3，故D（﹣3，﹣2），然后利用相似得C（﹣4，0），进而根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图象与y轴交于点B（0，2），与x轴交于点E（，0），∴，解得，∴一次函数的解析式为yx+2； （2）作DF⊥x轴于F，∵B（0，2），E点坐标（，0），∴OB＝2，OE，∵四边形ABCD是矩形，∴BE＝ED，∵DF⊥x轴，BO⊥x轴，∴∠DFE＝∠BOE＝90°，∵∠DEF＝∠BEO，∴△DEF≌△BEO（AAS），∴OB＝DF＝2，EF＝OE，∴OF＝OE+EF＝3，∴D（﹣3，﹣2），∵点D在反比例函数y的图象上，∴k＝6，∴反比例函数的解析式y，设OC＝AF＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，又∵DF⊥AC，∴△DCF∽△ADF，∴，即DF2＝CF•AF，∴22＝（x﹣3）•x，解得x＝4或﹣1（舍去），∴OC＝4，∴C（﹣4，0）；（3）由图象可知，在第三象限内，当﹣3＜x＜0时ax+b．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．