重庆市名校联盟2020-2021学年高二下学期期末质量检测 数学试题

重庆市2020-2021学年（下）年度质量检测

高二数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；

4.全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在没每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，那么的子集个数为

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

2.设为虚数单位，则复数z的虚部为

A.  B. 4 C.  D. 4i

3.不负青山，力换“金山”——重庆缙云山国家级自然保护区经过治理，逐步实现“生态美、百姓富”。近几年，北碚区结合当地资源禀赋，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，加大缙云山棚户区改造，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施。游客甲与乙同时沿下图旅游线路游玩。甲将在第18站之前的任意一站下，乙将在第9站之前的任意一站下，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下的概率为

A.  B.  C.  D.

4.假设地球是半径为r的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于Oxy平面上，z轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线弧是0度经线，位于xOz平面上，且交x轴于点0，，如图所示．已知赤道上一点位于东经60度，则地球上位于东经30度、北纬60度的空间点P的坐标为

A.  B.  C.  D.

5.某商场为了解毛衣的月销售量件与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：

由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为6，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（   ）件．

A. 46 B. 40 C. 38 D. 58

6.康托是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数n的最小值为         参考数据：，

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

7.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为

A.  B. 5 C.  D.

8.设，，，则

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9.已知圆锥曲线C：，若三个数1，，7成等差数列，则C的离心率为

A.  B.  C.  D.

10.设，其中a，，，若对一切恒成立，则以上结论正确的是

A.        B.
C. 的单调递增区间是
D. 存在经过点的直线与函数的图象不相交

11.设，，给出下列不等式恒成立的是

A.  B.
C.  D.

12.在四边形ABCD中，M是边AB上一点，且满足，若点N在线段端点C，D除外上运动，则的可能取值是

A.  B.  C.  D. 1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，若直线MQ与抛物线C相切于点M，则点M的坐标是______ ．

14.设数列的前n项和为，且满足，，则___________．

15.在中，若，M是BC的中点，则AM的长为____________．

16.四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．

求A和B的大小；

若M，N是边AB上的点，，，求的面积的最小值．

18.已知数列的前n项和为，且．

求数列的通项公式；

若，求n．

19.如图，在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，以BC为直径的圆为圆心过点A，且，PA底面ABCD，M为PC的中点．
证明：平面平面PCD；
求二面角的余弦值．

20.设动点P与定点的距离和P到定直线l：的距离的比是．
求动点P的轨迹方程；
设动点P的轨迹为曲线C，不过原点O且斜率为的直线l与曲线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与曲线C交于C，D，证明：A，B，C，D四点共圆．

21.某投资公司现提供两种一年期投资理财方案，一年后投资盈亏的情况如下表，已知每种投资方案，一年后的投资盈亏只可能出现相应表格中列举的几种情况，且两种投资方案相互独立．

1甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”，若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于，求m的取值范围；

2若，某人现有10万元资金，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择出一种，那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大请说明理由．

22.设函数其中，m，n为常数

当时，对有恒成立，求实数n的取值范围；

若曲线在处的切线方程为，函数的零点为，求所有满足的整数k的和．

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高二数学答案及评分标准

1. C（因为，所以的子集个数为．）
2. A（，则，复数z的虚部为．）
3. B（甲乙下车的所有可能情况有种，故甲比乙后下车的概率为．）
4. A（设点P投影到Oxy平面上的点，则 又与x轴正向的夹角为，由在x轴与y轴的投影可知 因此点P的坐标为 ）
5. A（由表格得为：，又在回归方程上，，
   解得：，，当时，．）
6. C（若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则去掉的各区间长度之和不小于．第一次操作去掉的区间长度为第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为次操作去掉个长度为的区间，长度和为于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为，由题意，，即，即，即，解得：，又n为整数，所以n的最小值为6．）
7. A（设点A关于直线的对称点，的中点为，，故，解得要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，军营所在位置为，“将军饮马”的最短总路程为，）
8. B（解：，，，令，，令，则，
   ，
   ，在上单调递增，
   ，，，
   同理令，再令，则
   ，，
   ，在上单调递减，
   ，，，．）
9. BC（三个数1，，7成等差数列，可得，所以，当时，圆锥曲线C：，所以曲线是双曲线，离心率为；当时，圆锥曲线是：，是椭圆，它的离心率为．）
10.   AB（，其中a，，，若对一切则恒成立，
    所以，整理得，故，
    所以，对于A：，故A正确；
    对于B：，故B正确；
    对于C：令，解得，故C错误；
    对于D：由于函数的最大值为2b，所以经过点的直线与函数的图象相交，故D错误；）
11.   ACD（由可得，故A正确；由可得，故B错误；由，当且仅当时取等号，故C正确；由，当且仅当，即时取等号，故D正确．）
12.   BC（，点M为四边形ABCD的外接圆的圆心，又M是边AB上一点，是该外接圆的直径，M为AB中点，则可得，则．在中，，，
    ，
    ．
    在CD上，，，，
    ，，即的取值范围是，所以可能的取值为：，）
13.   （设，抛物线的焦点坐标，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，
    圆心Q的纵坐标为，设，直线MQ与抛物线C相切于点M，
    导数，即在M处的切线斜率，即MQ的斜率，级，即，得，即，，
    ，即，得，得或舍，即．
    ，，，即M的坐标为，故答案为：．）
14.   2（当时，，又，．）
15. （解：在中，，即，解得，
    因为M是BC的中点，所以，在中，，
    即，即．故答案．）
16.   （如图：，，，平面SAB，，则平面平面ABCD，过S作于O，平面SAB，平面平面，
    则平面ABCD，因为平面ABCD，所以．
    故，
    在中，，设，
    则，，
    在中，，
    因此在中，，
    则有，又，
    所以，
    所以，
    则，
    四棱锥的体积取值范围为．
    故答案为．
17.   已知，由正弦定理，得，因为，
    所以，，所以，       …………2分
    由，得，
    由余弦定理，得，；        …………5分
    设，在中由正弦定理，得，
    所以，同理        …………7分
    故，
                     …………9分

此时．              …………10分

解得．

18. 当时，；          …………2分
    当时，，
    ，              …………4分
    于是是首项为，公比为2的等比数列，      …………5分
    所以．             …………6分
    ，       …………9分
    由，得，         …………12分
19. 证明：由题意点A为圆O上一点，则，
    由底面ABCD，知， …………2分
    又，PA、平面PAC，平面PAC，
    平面PAC，，
    为PC的中点，，
    ，平面PCD，  …………4分
    平面OAM，平面平面PCD．              …………5分
    如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，…………6分
    则2，，2，，1，，1，，
    0，，1，，       …………7分
    设平面OMD的法向量y，，
    则，取，得，  …………9分
    由知平面PCD，
    则平面CDM的一个法向量1，，       …………10分
    ，
    由图可知二面角的锐角，
    则二面角的余弦值为．       …………12分
20. 解：设，由题意可得， 
    两边平方整理可得，
    化简可得动点P的轨迹方程为．       …………5分
    证明：设直线l的方程为，，，
    联立方程组，得，
    判别式，由，可得，
    ，，
    所以M点的坐标为，直线OM的方程，    …………8分
    由方程组，得，，
    所以，
    又，
    所以， 
    所以A，B，C，D四点共圆．        …………12分
21. 1设事件A为“甲投资股市且盈利”，
    事件B为“乙购买基金且盈利”，
    事件C为“一年后甲、乙中至少有一人盈利”，
    则，其中A，B相互独立，   …………2分
    因为，，则，
    即，
    由解得；        …………4分
    又因为且，，所以，
    故            …………6分
    2假设此人选择“投资股市”，记一年后的投资收益为单位：万元，则的分布列为：

则        …………8分
假设此人选择“购买基金”，记一年后的投资收益为单位：万元，则的分布列为：

则        …………10分
因为，即，
所以应选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期望值较大．    …………12分

当时，，所以，    …………1分
当时，，，
所以对任意的都成立，
所以在单调递增，
所以，
要使得对有恒成立，
则，解得，
即n的取值范围为            …………6分
因为，
所以，解得，
又，解得，
所以，，
显然不是的零点，            …………8分
所以可化为，
令，则，
所以在上单调递增，
又，，，
所以在，上各有1个零点，
所以在，上各有1个零点，
所以整数k的取值为或1，
所以整数k的所以取值的和为．         …………12分