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陕西省咸阳市2020-2021学年高二下学期期末教学质量检测 数学（理）试题
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这是一份陕西省咸阳市2020-2021学年高二下学期期末教学质量检测 数学（理）试题，共16页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年陕西省咸阳市高二（下）期末考试
数学试卷（理科）
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．已知函数f（x）＝sinπx，则f'（1）＝（ ）
A．﹣π B．0 C．π D．1
2．已知（2﹣i）•z＝i，i为虚数单位，则|z|＝（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．在（3x﹣2）5的展开式中，各项系数的和为（ ）
A．0 B．1 C．55 D．﹣55
4．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为f'（x0），则＝（ ）
A．2f'（x0） B．﹣2f'（x0） C． D．
5．为迎接2022年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目．有3位同学准备参加该活动，则不同的体验方案的种数为（ ）
A．53 B．35 C．C D．A
6．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，则P（2≤ξ＜4）等于（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.7
7．如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994
8．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：
月份代码x
1
2
3
4
5
销售量y（万辆）
0.5
0.6
1
1.4
1.5
由上表可知其线性回归方程为＝0.28x+a，则a的值为（ ）
A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.8
9．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且y＝f'（x）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（a）＝0 B．f（x）没有极大值
C．x＝b时，f（x）有极大值 D．x＝c时，f（x）有极小值
10．中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽．A，B，C，D，E共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花．其中每个地方至少有一位同学去，A，B，C不去河北但能去其他三个地方，D，E四个地方都能去，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．240 B．126 C．78 D．72
11．已知函数的图像与x轴有唯一的公共点，则a的值为（ ）
A． B． C．e D．1
12．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+ax（a∈R），若经过点A（0，﹣1）存在一条直线l与f（x）图象和g（x）图象都相切，则a＝（ ）
A．0 B．﹣1 C．3 D．﹣1或3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为 ．
14．现有6名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同的站法共有 种．
15．若f（x）＝cosx﹣ax在R上为增函数，则实数a的取值范围为 ．
16．若对任意0＜x1＜x2＜a，有成立，则a的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
18．在二项式（﹣）12的展开式中．
（Ⅰ）求展开式中含x3项的系数；
（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．
19．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按（0，30]，（30，60]，（60，90]，（90，120]，（120，150]，（150，180]分成6组，得到如下频数分布表：
时间/分钟
（0，30]
（30，60]
（60，90]
（90，120]
（120，150]
（150，180]
频数
12
38
72
46
22
10
记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品．
（Ⅰ）完成下面的列联表；
非长时间使用电子产品
长时间使用电子产品
合计
患近视人数
100
未患近视人数
80
合计
200
（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
20．已知复数z1＝a+3i，z2＝2﹣ai（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值．
21．为贯彻高中育人方式的变革，某省推出新的高考方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、数学、外语三科必选，“1”是在物理和历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，结合本校实际情况，给出四种可供选择的组合进行模拟选课，组合A：物理、化学、生物；组合B：物理、生物、地理；组合C：历史、政治、地理；组合D：历史、生物、地理．在本校选取100名同学进行模拟选课，每名同学只能选一个组合，选课数据统计如表：
组合
组合A
组合B
组合C
组合D
人数
40
a
30
20
频率
0.4
0.1
0.3
b
以这100名同学选课的频率代替每名同学选课的概率．
（Ⅰ）求表格中a和b的值；
（Ⅱ）估计某同学在选择地理的条件下，选择物理的概率；
（Ⅲ）甲、乙、丙三名同学每人选课是相互独立的，设X为三人中选择含地理组合的人数，求X的分布列和数学期望．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）存在极值，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝﹣1时，求证：xex﹣1﹣f（x）≥0．
参考答案
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．已知函数f（x）＝sinπx，则f'（1）＝（ ）
A．﹣π B．0 C．π D．1
【分析】先利用复合函数的求导公式求出f'（x），然后求解f'（1），即可得到答案．
解：因为函数f（x）＝sinπx，
所以f'（x）＝πcosπx，
则f'（1）＝﹣π．
故选：A．
2．已知（2﹣i）•z＝i，i为虚数单位，则|z|＝（ ）
A． B．1 C．2 D．
【分析】由已知求出z，进而可以求解．
解：由已知可得：
z＝，
所以|z|＝，
故选：A．
3．在（3x﹣2）5的展开式中，各项系数的和为（ ）
A．0 B．1 C．55 D．﹣55
【分析】令x＝1，即可求得各项系数的和．
解：令x＝1，可得各项系数的和为1．
故选：B．
4．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为f'（x0），则＝（ ）
A．2f'（x0） B．﹣2f'（x0） C． D．
【分析】根据题意，由极限的运算性质可得＝2，结合导数的定义分析可得答案．
解：根据题意，＝2＝2f'（x0），
故选：A．
5．为迎接2022年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目．有3位同学准备参加该活动，则不同的体验方案的种数为（ ）
A．53 B．35 C．C D．A
【分析】根据题意，分析可得3名同学每人都有5种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，每人限报1个项目，有3位同学准备参加该活动，
则每人都有5种报名方法，则53种报名方法，
故选：A．
6．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，则P（2≤ξ＜4）等于（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.7
【分析】随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，得到曲线关于x＝4对称，根据曲线的对称性从而得到所求．
解：由题意可得，
故选：B．
7．如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出系统正常工作的概率．
解：某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．
当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．
元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，
则系统正常工作的概率为：
P＝0.7×[1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）]＝0.686．
故选：C．
8．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：
月份代码x
1
2
3
4
5
销售量y（万辆）
0.5
0.6
1
1.4
1.5
由上表可知其线性回归方程为＝0.28x+a，则a的值为（ ）
A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.8
【分析】先求出样本平均数，然后代入线性回归方程求解即可．
解：由题意可知，，，
因为线性回归方程过点（），
所以有1＝0.28×3+a，
故a＝0.16．
故选：A．
9．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且y＝f'（x）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（a）＝0 B．f（x）没有极大值
C．x＝b时，f（x）有极大值 D．x＝c时，f（x）有极小值
【分析】由图象可知，设y＝f′（x）的图象在原点与（c，0）之间的交点为（d，0），由图象可知f′（a）＝f′（d）＝f′（c）＝0，根据导数的正负，研究函数f（x）的单调性极值，即可得出答案．
解：由图象可知，设y＝f′（x）的图象在原点与（c，0）之间的交点为（d，0），
由图象可知f′（a）＝f′（d）＝f′（c）＝0，
当x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当a＜x＜d时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当d＜x＜c时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当c＜x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以x＝a是f（x）的极小值点，x＝d是函数f（x）的极大值点，
x＝c是f（x）的极小值点，x＝b不是f（x）的极值点，
f（a）＝0不一定成立，
故选：D．
10．中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽．A，B，C，D，E共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花．其中每个地方至少有一位同学去，A，B，C不去河北但能去其他三个地方，D，E四个地方都能去，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．240 B．126 C．78 D．72
【分析】根据题意，分3种情况讨论：①A，B，C三人中有2人分到同一组，②A，B，C三人中一人与D，E中一人分到同一组，③D、E两人分到同一组，由加法原理计算可得答案．
解：根据题意，要求每个地方至少有一位同学去，需要先将5人分为4组，即在5人中，有2人需要分到同一组，
分3种情况讨论：
①A，B，C三人中有2人分到同一组，有C32A32A22＝36种安排方法，
②A，B，C三人中一人与D，E中一人分到同一组，有C31A21A33＝36种安排方法，
③D、E两人分到同一组，有A33＝6种安排方法，
则有36+36+6＝78种安排方法．
故选：C．
11．已知函数的图像与x轴有唯一的公共点，则a的值为（ ）
A． B． C．e D．1
【分析】由于f（0）＝0，函数f（x）的图像与x轴有唯一的公共点（0，0），结合导数分析函数的性质，进而可得答案．
解：由于f（0）＝0，
所以函数f（x）的图像与x轴有唯一的公共点（0，0），
当a＞0时，由f′（x）＝ex﹣1﹣a＝0可得x＝1+lna，
当x＜1+lna时，f′（x）＝ex﹣1﹣a＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞1+lna时，f′（x）＝ex﹣1﹣a＞0，函数f（x）单调递增，
所以1+lna＝0，
所以a＝，
综上所述，a＝，
故选：B．
12．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+ax（a∈R），若经过点A（0，﹣1）存在一条直线l与f（x）图象和g（x）图象都相切，则a＝（ ）
A．0 B．﹣1 C．3 D．﹣1或3
【分析】设直线l与y＝f（x）相切的切点，求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切线的方程，代入A的坐标，求得切点，可得切线的方程，与y＝g（x）联立，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得所求值．
解：设直线l与f（x）＝xlnx相切的切点为（m，mlnm），
由f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，
可得切线的斜率为1+lnm，
则切线的方程为y﹣mlnm＝（1+lnm）（x﹣m），
将A（0，﹣1）代入切线的方程可得﹣1﹣mlnm＝（1+lnm）（0﹣m），
解得m＝1，则切线l的方程为y＝x﹣1，
联立，可得x2+（a﹣1）x+1＝0，
由△＝（a﹣1）2﹣4＝0，
解得a＝﹣1或3，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为 ．
【分析】分析甲中奖后剩余的奖券和“中奖劵”的数量，再结合古典概型公式，即可求解．
解：∵10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，
∴此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，
∴在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率P＝．
故答案为：．
14．现有6名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同的站法共有 480 种．
【分析】根据题意，依次分析甲和其他5人的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，对于甲，不站两端，有4种不同的站法，
将剩下的5人安排在其他位置，有＝120种安排方法，
则有4×120＝480种不同的站法，
故答案为：480．
15．若f（x）＝cosx﹣ax在R上为增函数，则实数a的取值范围为 （﹣∞，﹣1] ．
【分析】由题意可得f′（x）≥0恒成立，即a≤（﹣sinx）min，求出（﹣sinx）min即可得解．
解：f′（x）＝﹣sinx﹣a，
因为f（x）＝cosx﹣ax在R上为增函数，
所以f′（x）≥0恒成立，
所以a≤﹣sinx恒成立，即a≤（﹣sinx）min，
因为﹣1≤﹣sinx≤1，
所以a≤﹣1，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
16．若对任意0＜x1＜x2＜a，有成立，则a的最大值为 1 ．
【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导数研究函数的单调性即可求得结果．
解：因为，所以，
所以函数在区间（0，a）上单调递增，
在区间（0，a）上恒成立，
即lnx⩽0在区间（0，a）上恒成立，所以0＜a⩽1．
故实数a的最大值为1．
故答案为：1．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
解：（1）f（x）＝x3﹣3x+1，所以f（0）＝1，
又f'（x）＝3x2﹣3，
所以k＝f'（0）＝﹣3，
故切线方3x+y﹣1＝0．
（2）f'（x）＝3x2﹣3＞0，则x＞1或x＜﹣1；
f'（x）＝3x2﹣3＜0，则﹣1＜x＜1．
故函数在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上单调递增．在（﹣1，1）上单调递减．
18．在二项式（﹣）12的展开式中．
（Ⅰ）求展开式中含x3项的系数；
（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．
【分析】（I）根据展开式中第r+1项的通项公式，求出展开式中含x3项的系数是多少；
（II）由第3k项的二项式系数与第k+2项的二项式系数相等，列出方程，求出k的值．
解：（I）展开式中第r+1项是
，…
令，
解得r＝2；…
∴展开式中含x3项的系数为；…
（II）∵第3k项的二项式系数为，
第k+2项的二项式系数为；
∴，…
∴3k﹣1＝k+1，或3k﹣1+k+1＝12；
解得k＝1，或 k＝3．…
19．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按（0，30]，（30，60]，（60，90]，（90，120]，（120，150]，（150，180]分成6组，得到如下频数分布表：
时间/分钟
（0，30]
（30，60]
（60，90]
（90，120]
（120，150]
（150，180]
频数
12
38
72
46
22
10
记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品．
（Ⅰ）完成下面的列联表；
非长时间使用电子产品
长时间使用电子产品
合计
患近视人数
100
未患近视人数
80
合计
200
（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
【分析】（Ⅰ）由题意，求出所需数据，列出列联表即可；
（Ⅱ）由列联表中的数据，计算K2的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案．
解：（Ⅰ）由表中数据完成的列联表如下：
非长时间使用电子产品
长时间使用电子产品
合计
患近视人数
20
100
120
未患近视人数
30
50
80
合计
50
150
200
（Ⅱ）由列联表中的数据可得，，
所以有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．
20．已知复数z1＝a+3i，z2＝2﹣ai（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值．
【分析】（1）由已知结合复数代数形式的乘除运算化简，再由其实部与虚部均大于0列不等式组求解a的范围；
（2）把z1代入实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0，整理后利用复数相等的条件列式求得a与m值．
解：（1）∵z1＝a+3i，z2＝2﹣ai，∴，
∵在复平面内对应的点落在第一象限，
∴，解得2＜a＜3，即实数a的取值范围是（2，3）；
（2）由虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，
得，即（a+3i）2﹣6（a+3i）+m＝0，
整理得a2﹣6a+m﹣9+（6a﹣18）i＝0，
∴，解得．
21．为贯彻高中育人方式的变革，某省推出新的高考方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、数学、外语三科必选，“1”是在物理和历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，结合本校实际情况，给出四种可供选择的组合进行模拟选课，组合A：物理、化学、生物；组合B：物理、生物、地理；组合C：历史、政治、地理；组合D：历史、生物、地理．在本校选取100名同学进行模拟选课，每名同学只能选一个组合，选课数据统计如表：
组合
组合A
组合B
组合C
组合D
人数
40
a
30
20
频率
0.4
0.1
0.3
b
以这100名同学选课的频率代替每名同学选课的概率．
（Ⅰ）求表格中a和b的值；
（Ⅱ）估计某同学在选择地理的条件下，选择物理的概率；
（Ⅲ）甲、乙、丙三名同学每人选课是相互独立的，设X为三人中选择含地理组合的人数，求X的分布列和数学期望．
【分析】（I）根据已知条件，结合频率和频数的关系，即可求解．
（II）根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
（III）每名同学选含地理组合的概率均为0.6，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可X得分布列，再结合期望公式，即可求解．
解：（Ⅰ）由题意可得40+a+30+20＝100，解得a＝10，．
（Ⅱ）记事件A：某同学选择地理，事件B：某同学在“1”中选择物理，
则．
（Ⅲ）每名同学选含地理组合的概率均为0.6，X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴数学期望．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）存在极值，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝﹣1时，求证：xex﹣1﹣f（x）≥0．
【分析】（Ⅰ）求导得f′（x）＝，分两种情况：当a≤0时，当a＞0时，讨论f（x）的单调性，存在f（x）极值时，a的取值范围．
（Ⅱ）当a＝﹣1时，xex﹣1﹣f（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣1，设h（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣1，x∈（0，+∞），只需证明h（x）min≥0即可．
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
，
当a≤0时，对任意x＞0，都有f'（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值，
当a＞0时，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
故f（x）在处取得极大值，无极小值，
综上，若f（x）存在极值，则a的取值范围是（0，+∞）．
（Ⅱ）证明：当a＝﹣1时，xex﹣1﹣f（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣1，
设h（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣1，x∈（0，+∞），
故只需证明h（x）≥0即可，
，
设u（x）＝h'（x），则，
故函数h'（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵，h'（1）＝2e﹣2＞0，
∴h'（x）＝0有唯一的实根且，
∴x0＝﹣lnx0，
当0＜x＜x0时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞x0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
故函数h（x）的最小值是h（x0），
∴，
∴xex﹣1﹣f（x）≥0．
2020-2021学年陕西省咸阳市高二（下）期末考试
数学试卷（理科）
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．已知函数f（x）＝sinπx，则f'（1）＝（ ）
A．﹣π B．0 C．π D．1
2．已知（2﹣i）•z＝i，i为虚数单位，则|z|＝（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．在（3x﹣2）5的展开式中，各项系数的和为（ ）
A．0 B．1 C．55 D．﹣55
4．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为f'（x0），则＝（ ）
A．2f'（x0） B．﹣2f'（x0） C． D．
5．为迎接2022年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目．有3位同学准备参加该活动，则不同的体验方案的种数为（ ）
A．53 B．35 C．C D．A
6．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，则P（2≤ξ＜4）等于（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.7
7．如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994
8．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：
月份代码x
1
2
3
4
5
销售量y（万辆）
0.5
0.6
1
1.4
1.5
由上表可知其线性回归方程为＝0.28x+a，则a的值为（ ）
A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.8
9．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且y＝f'（x）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（a）＝0 B．f（x）没有极大值
C．x＝b时，f（x）有极大值 D．x＝c时，f（x）有极小值
10．中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽．A，B，C，D，E共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花．其中每个地方至少有一位同学去，A，B，C不去河北但能去其他三个地方，D，E四个地方都能去，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．240 B．126 C．78 D．72
11．已知函数的图像与x轴有唯一的公共点，则a的值为（ ）
A． B． C．e D．1
12．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+ax（a∈R），若经过点A（0，﹣1）存在一条直线l与f（x）图象和g（x）图象都相切，则a＝（ ）
A．0 B．﹣1 C．3 D．﹣1或3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为 ．
14．现有6名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同的站法共有 种．
15．若f（x）＝cosx﹣ax在R上为增函数，则实数a的取值范围为 ．
16．若对任意0＜x1＜x2＜a，有成立，则a的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
18．在二项式（﹣）12的展开式中．
（Ⅰ）求展开式中含x3项的系数；
（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．
19．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按（0，30]，（30，60]，（60，90]，（90，120]，（120，150]，（150，180]分成6组，得到如下频数分布表：
时间/分钟
（0，30]
（30，60]
（60，90]
（90，120]
（120，150]
（150，180]
频数
12
38
72
46
22
10
记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品．
（Ⅰ）完成下面的列联表；
非长时间使用电子产品
长时间使用电子产品
合计
患近视人数
100
未患近视人数
80
合计
200
（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
20．已知复数z1＝a+3i，z2＝2﹣ai（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值．
21．为贯彻高中育人方式的变革，某省推出新的高考方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、数学、外语三科必选，“1”是在物理和历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，结合本校实际情况，给出四种可供选择的组合进行模拟选课，组合A：物理、化学、生物；组合B：物理、生物、地理；组合C：历史、政治、地理；组合D：历史、生物、地理．在本校选取100名同学进行模拟选课，每名同学只能选一个组合，选课数据统计如表：
组合
组合A
组合B
组合C
组合D
人数
40
a
30
20
频率
0.4
0.1
0.3
b
以这100名同学选课的频率代替每名同学选课的概率．
（Ⅰ）求表格中a和b的值；
（Ⅱ）估计某同学在选择地理的条件下，选择物理的概率；
（Ⅲ）甲、乙、丙三名同学每人选课是相互独立的，设X为三人中选择含地理组合的人数，求X的分布列和数学期望．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）存在极值，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝﹣1时，求证：xex﹣1﹣f（x）≥0．
参考答案
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．已知函数f（x）＝sinπx，则f'（1）＝（ ）
A．﹣π B．0 C．π D．1
【分析】先利用复合函数的求导公式求出f'（x），然后求解f'（1），即可得到答案．
解：因为函数f（x）＝sinπx，
所以f'（x）＝πcosπx，
则f'（1）＝﹣π．
故选：A．
2．已知（2﹣i）•z＝i，i为虚数单位，则|z|＝（ ）
A． B．1 C．2 D．
【分析】由已知求出z，进而可以求解．
解：由已知可得：
z＝，
所以|z|＝，
故选：A．
3．在（3x﹣2）5的展开式中，各项系数的和为（ ）
A．0 B．1 C．55 D．﹣55
【分析】令x＝1，即可求得各项系数的和．
解：令x＝1，可得各项系数的和为1．
故选：B．
4．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为f'（x0），则＝（ ）
A．2f'（x0） B．﹣2f'（x0） C． D．
【分析】根据题意，由极限的运算性质可得＝2，结合导数的定义分析可得答案．
解：根据题意，＝2＝2f'（x0），
故选：A．
5．为迎接2022年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目．有3位同学准备参加该活动，则不同的体验方案的种数为（ ）
A．53 B．35 C．C D．A
【分析】根据题意，分析可得3名同学每人都有5种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，每人限报1个项目，有3位同学准备参加该活动，
则每人都有5种报名方法，则53种报名方法，
故选：A．
6．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，则P（2≤ξ＜4）等于（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.7
【分析】随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，得到曲线关于x＝4对称，根据曲线的对称性从而得到所求．
解：由题意可得，
故选：B．
7．如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出系统正常工作的概率．
解：某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．
当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．
元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，
则系统正常工作的概率为：
P＝0.7×[1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）]＝0.686．
故选：C．
8．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：
月份代码x
1
2
3
4
5
销售量y（万辆）
0.5
0.6
1
1.4
1.5
由上表可知其线性回归方程为＝0.28x+a，则a的值为（ ）
A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.8
【分析】先求出样本平均数，然后代入线性回归方程求解即可．
解：由题意可知，，，
因为线性回归方程过点（），
所以有1＝0.28×3+a，
故a＝0.16．
故选：A．
9．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且y＝f'（x）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（a）＝0 B．f（x）没有极大值
C．x＝b时，f（x）有极大值 D．x＝c时，f（x）有极小值
【分析】由图象可知，设y＝f′（x）的图象在原点与（c，0）之间的交点为（d，0），由图象可知f′（a）＝f′（d）＝f′（c）＝0，根据导数的正负，研究函数f（x）的单调性极值，即可得出答案．
解：由图象可知，设y＝f′（x）的图象在原点与（c，0）之间的交点为（d，0），
由图象可知f′（a）＝f′（d）＝f′（c）＝0，
当x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当a＜x＜d时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当d＜x＜c时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当c＜x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以x＝a是f（x）的极小值点，x＝d是函数f（x）的极大值点，
x＝c是f（x）的极小值点，x＝b不是f（x）的极值点，
f（a）＝0不一定成立，
故选：D．
10．中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽．A，B，C，D，E共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花．其中每个地方至少有一位同学去，A，B，C不去河北但能去其他三个地方，D，E四个地方都能去，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．240 B．126 C．78 D．72
【分析】根据题意，分3种情况讨论：①A，B，C三人中有2人分到同一组，②A，B，C三人中一人与D，E中一人分到同一组，③D、E两人分到同一组，由加法原理计算可得答案．
解：根据题意，要求每个地方至少有一位同学去，需要先将5人分为4组，即在5人中，有2人需要分到同一组，
分3种情况讨论：
①A，B，C三人中有2人分到同一组，有C32A32A22＝36种安排方法，
②A，B，C三人中一人与D，E中一人分到同一组，有C31A21A33＝36种安排方法，
③D、E两人分到同一组，有A33＝6种安排方法，
则有36+36+6＝78种安排方法．
故选：C．
11．已知函数的图像与x轴有唯一的公共点，则a的值为（ ）
A． B． C．e D．1
【分析】由于f（0）＝0，函数f（x）的图像与x轴有唯一的公共点（0，0），结合导数分析函数的性质，进而可得答案．
解：由于f（0）＝0，
所以函数f（x）的图像与x轴有唯一的公共点（0，0），
当a＞0时，由f′（x）＝ex﹣1﹣a＝0可得x＝1+lna，
当x＜1+lna时，f′（x）＝ex﹣1﹣a＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞1+lna时，f′（x）＝ex﹣1﹣a＞0，函数f（x）单调递增，
所以1+lna＝0，
所以a＝，
综上所述，a＝，
故选：B．
12．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+ax（a∈R），若经过点A（0，﹣1）存在一条直线l与f（x）图象和g（x）图象都相切，则a＝（ ）
A．0 B．﹣1 C．3 D．﹣1或3
【分析】设直线l与y＝f（x）相切的切点，求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切线的方程，代入A的坐标，求得切点，可得切线的方程，与y＝g（x）联立，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得所求值．
解：设直线l与f（x）＝xlnx相切的切点为（m，mlnm），
由f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，
可得切线的斜率为1+lnm，
则切线的方程为y﹣mlnm＝（1+lnm）（x﹣m），
将A（0，﹣1）代入切线的方程可得﹣1﹣mlnm＝（1+lnm）（0﹣m），
解得m＝1，则切线l的方程为y＝x﹣1，
联立，可得x2+（a﹣1）x+1＝0，
由△＝（a﹣1）2﹣4＝0，
解得a＝﹣1或3，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为 ．
【分析】分析甲中奖后剩余的奖券和“中奖劵”的数量，再结合古典概型公式，即可求解．
解：∵10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，
∴此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，
∴在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率P＝．
故答案为：．
14．现有6名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同的站法共有 480 种．
【分析】根据题意，依次分析甲和其他5人的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，对于甲，不站两端，有4种不同的站法，
将剩下的5人安排在其他位置，有＝120种安排方法，
则有4×120＝480种不同的站法，
故答案为：480．
15．若f（x）＝cosx﹣ax在R上为增函数，则实数a的取值范围为 （﹣∞，﹣1] ．
【分析】由题意可得f′（x）≥0恒成立，即a≤（﹣sinx）min，求出（﹣sinx）min即可得解．
解：f′（x）＝﹣sinx﹣a，
因为f（x）＝cosx﹣ax在R上为增函数，
所以f′（x）≥0恒成立，
所以a≤﹣sinx恒成立，即a≤（﹣sinx）min，
因为﹣1≤﹣sinx≤1，
所以a≤﹣1，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
16．若对任意0＜x1＜x2＜a，有成立，则a的最大值为 1 ．
【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导数研究函数的单调性即可求得结果．
解：因为，所以，
所以函数在区间（0，a）上单调递增，
在区间（0，a）上恒成立，
即lnx⩽0在区间（0，a）上恒成立，所以0＜a⩽1．
故实数a的最大值为1．
故答案为：1．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
解：（1）f（x）＝x3﹣3x+1，所以f（0）＝1，
又f'（x）＝3x2﹣3，
所以k＝f'（0）＝﹣3，
故切线方3x+y﹣1＝0．
（2）f'（x）＝3x2﹣3＞0，则x＞1或x＜﹣1；
f'（x）＝3x2﹣3＜0，则﹣1＜x＜1．
故函数在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上单调递增．在（﹣1，1）上单调递减．
18．在二项式（﹣）12的展开式中．
（Ⅰ）求展开式中含x3项的系数；
（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．
【分析】（I）根据展开式中第r+1项的通项公式，求出展开式中含x3项的系数是多少；
（II）由第3k项的二项式系数与第k+2项的二项式系数相等，列出方程，求出k的值．
解：（I）展开式中第r+1项是
，…
令，
解得r＝2；…
∴展开式中含x3项的系数为；…
（II）∵第3k项的二项式系数为，
第k+2项的二项式系数为；
∴，…
∴3k﹣1＝k+1，或3k﹣1+k+1＝12；
解得k＝1，或 k＝3．…
19．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按（0，30]，（30，60]，（60，90]，（90，120]，（120，150]，（150，180]分成6组，得到如下频数分布表：
时间/分钟
（0，30]
（30，60]
（60，90]
（90，120]
（120，150]
（150，180]
频数
12
38
72
46
22
10
记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品．
（Ⅰ）完成下面的列联表；
非长时间使用电子产品
长时间使用电子产品
合计
患近视人数
100
未患近视人数
80
合计
200
（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
【分析】（Ⅰ）由题意，求出所需数据，列出列联表即可；
（Ⅱ）由列联表中的数据，计算K2的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案．
解：（Ⅰ）由表中数据完成的列联表如下：
非长时间使用电子产品
长时间使用电子产品
合计
患近视人数
20
100
120
未患近视人数
30
50
80
合计
50
150
200
（Ⅱ）由列联表中的数据可得，，
所以有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．
20．已知复数z1＝a+3i，z2＝2﹣ai（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值．
【分析】（1）由已知结合复数代数形式的乘除运算化简，再由其实部与虚部均大于0列不等式组求解a的范围；
（2）把z1代入实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0，整理后利用复数相等的条件列式求得a与m值．
解：（1）∵z1＝a+3i，z2＝2﹣ai，∴，
∵在复平面内对应的点落在第一象限，
∴，解得2＜a＜3，即实数a的取值范围是（2，3）；
（2）由虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，
得，即（a+3i）2﹣6（a+3i）+m＝0，
整理得a2﹣6a+m﹣9+（6a﹣18）i＝0，
∴，解得．
21．为贯彻高中育人方式的变革，某省推出新的高考方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、数学、外语三科必选，“1”是在物理和历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，结合本校实际情况，给出四种可供选择的组合进行模拟选课，组合A：物理、化学、生物；组合B：物理、生物、地理；组合C：历史、政治、地理；组合D：历史、生物、地理．在本校选取100名同学进行模拟选课，每名同学只能选一个组合，选课数据统计如表：
组合
组合A
组合B
组合C
组合D
人数
40
a
30
20
频率
0.4
0.1
0.3
b
以这100名同学选课的频率代替每名同学选课的概率．
（Ⅰ）求表格中a和b的值；
（Ⅱ）估计某同学在选择地理的条件下，选择物理的概率；
（Ⅲ）甲、乙、丙三名同学每人选课是相互独立的，设X为三人中选择含地理组合的人数，求X的分布列和数学期望．
【分析】（I）根据已知条件，结合频率和频数的关系，即可求解．
（II）根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
（III）每名同学选含地理组合的概率均为0.6，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可X得分布列，再结合期望公式，即可求解．
解：（Ⅰ）由题意可得40+a+30+20＝100，解得a＝10，．
（Ⅱ）记事件A：某同学选择地理，事件B：某同学在“1”中选择物理，
则．
（Ⅲ）每名同学选含地理组合的概率均为0.6，X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
∴数学期望．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）存在极值，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝﹣1时，求证：xex﹣1﹣f（x）≥0．
【分析】（Ⅰ）求导得f′（x）＝，分两种情况：当a≤0时，当a＞0时，讨论f（x）的单调性，存在f（x）极值时，a的取值范围．
（Ⅱ）当a＝﹣1时，xex﹣1﹣f（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣1，设h（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣1，x∈（0，+∞），只需证明h（x）min≥0即可．
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
，
当a≤0时，对任意x＞0，都有f'（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值，
当a＞0时，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
故f（x）在处取得极大值，无极小值，
综上，若f（x）存在极值，则a的取值范围是（0，+∞）．
（Ⅱ）证明：当a＝﹣1时，xex﹣1﹣f（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣1，
设h（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣1，x∈（0，+∞），
故只需证明h（x）≥0即可，
，
设u（x）＝h'（x），则，
故函数h'（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵，h'（1）＝2e﹣2＞0，
∴h'（x）＝0有唯一的实根且，
∴x0＝﹣lnx0，
当0＜x＜x0时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞x0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
故函数h（x）的最小值是h（x0），
∴，
∴xex﹣1﹣f（x）≥0．
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