2023年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学三模试卷（含答案）

2023年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各组数中的两个数，互为相反数的是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

2.  下面四个几何体的视图中，从上面看是正方形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  数据，，，，，，的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  根据深圳市第七次人口普查数据结果，南山区常住人口约万人，其中万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，，平分，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  下列说法错误的是(    )

A. 对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B. 同圆或等圆中，同弧或等弧对应的圆周角相等
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形

9.  我国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个问题：绳测进井深假若井不知深，先将绳三折人井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺问井深及绳长各若干？题意：用绳子测量井深，如果将绳子三折测井，井口外留绳子四尺；如果将绳子四折测井，那么井口外余下尺问井深几尺？绳长几尺？设绳长为尺，井深为尺，则可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，，点为边上一个动点，以为边在的上方作正方形，当取得最小值时，的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  把多项式分解因式的结果是______ ．

12.  工厂质检人员为了检测其产品的质量，从同一批次共件产品中随机抽取件进行检检测出次品件，由此估计这一批产品中的次品件数是______．

13.  已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______ ．

14.  如图，已知函数经过点，延长交双曲线另一分支于点，过点作直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交双曲线另一分支于点，且则的面积        ．

15.  如图，矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作，垂足为点，若，则           ．
 

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值，其中．

18.  本小题分
某学校射击队计划从甲、乙两名运动员中选取一名队员代表该校参加比赛，在选拔过程中，每名选手射击次，根据甲、乙队员成绩绘制了如图、图所示的统计图：
并求得了乙队员次射击成绩的平均数和方差：
环，．
甲队员选拔赛成绩的众数是______环，乙队员选拔赛成绩的中位数是______环；
求甲队员次射击成绩的平均数和方差，根据甲、乙两名队员的选拔赛成绩，你推荐谁代表学校参加比赛，并说明理由；
为提升射击队技战术水平，学校决定除甲、乙外，再从射击队其他名队员三名男生，两名女生中随机选出两名队员一同前往观看比赛，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．
 

19.  本小题分
如图，是的直径，点是上一点不与点，重合，连接，．

请在图中用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法
如图，在的条件下，过点作的切线，分别交、的延长线于点、，连接、，若，，，请求出的长．

20.  本小题分
由于新冠肺炎疫情爆发，某公司根据市场需求代理、两种型号的空气净化器，每台型净化器比每台型净化器进价多元，用万元购进型净化器与用万元购进型净化器的数量相等．
求每台型、型净化器的进价各是多少元？
公司计划购进、两种型号的净化器共台进行试销，其中型净化器为台，购买资金不超过万元．试销时型净化器每台售价元，型净化器每台售价元．公司决定从销售型净化器的利润中按每台捐献元作为公司帮扶疫区贫困居民，设公司售完台净化器并捐献扶贫资金后获得的利润为，求的最大值．

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”如图所示，抛物线与抛物线：的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为，点在点的左侧，与轴的交点分别为，，且点的坐标为．
求，两点的坐标及抛物线的解析式；
若抛物线的顶点为，当时，试判断三角形的形状，并说明理由；
在的条件下，点是抛物线上一点，抛物线第三象限上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

22.  本小题分
中华文明源远流长，如图是汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．
问题发现：
如图，若直角三角形的直角边，斜边，则中间小正方形的边长______，连接，的面积为______．
知识迁移：
如图，是正方形内一点，连接，，，当，时，的面积为______．
拓展延伸：
如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交射线，分别于，两点．
已知为线段上一个动点，连接，过点作，垂足为点；在上取一点，使；过点作交于点，试判断三条线段，，之间的数量关系，并说明理由．
在的条件下，若为射线上一个动点，为射线上一点；当，时，直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、和，互为倒数，故A错误；
B、和，是互为相反数，故B正确；
C、和，绝对值不同，故C错误；
D、和，绝对值不同，不是相反数，故D错误；
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：圆柱的俯视图为圆，故选项A不合题意；
三棱锥的俯视图为三角形三角形的内部有一个点与四个顶点相连接，故选项B不合题意；
球的俯视图为圆，故选项C不合题意；
正方体的俯视图为正方形，故选项D符合题意．
故选：．
俯视图是从物体正面上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

3.【答案】 

【解析】解：在数据，，，，，，，出现的次数最多，故众数为．
故选：．
根据众数的定义解答即可．
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

4.【答案】 

【解析】解：万用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
选项A符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
利用幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，乘法分配律对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，乘法分配律，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，乘法分配律是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：
解得：，
解得：，
在数轴上表示不等式组的解集为：

不等式组的解集为：，
、、选项不符合题意，选项符合题意；
故选：．
先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再进行判断即可．
本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
，
；
故选：．
根据平行线的性质，得到：，根据角平分线平分角，得到，再根据两直线平行，同旁内角互补，求出的度数即可．
本题考查利用平行线的性质求角度．熟练掌握平行线的性质以及角平分线平分角，是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了圆周角定理，矩形与正方形的判定，菱形的判定．
A.应用菱形的判定方法进行判定即可得出答案；
B.应用圆周角定理进行判定即可得出答案；
C.应用矩形的判定方法进行判定即可得出答案；
D.应用正方形的判定方法进行判定即可得出答案．
【解答】
解：对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以选项说法正确，故A选项不符合题意；
B.同圆或等圆中，同弧或等弧对应的圆周角相等，所以选项说法正确，故B选项不符合题意；
C.对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以选项说法不正确，故C选项符合题意；
D.对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以选项说法正确，故D选项不符合题意．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：设绳长为尺，井深为尺，由题意可得，
．
故选：．
设绳长尺，井深尺，根据将绳子折成三等份，井外余绳尺，可得方程，根据将绳子折成四等份，井外余绳尺，可得方程，从而得到相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题目中的等量关系，列出相应的方程组．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图：

四边形是正方形，
，，
，，
，且，，
≌，
，，
，
，
，
当时，最小，也最小，
此时，
故选：．
过点作于，由四边形是正方形，得，，可证明≌，即有，，从而，而，根据二次函数性质可得取得最小值时，，即可得到答案．
本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是用含的代数式表示，利用二次函数性质解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：件，
故答案为：．
求出次品所占的百分比，即可求出件中次品的件数．
考查样本估计总体，求出样本中次品所占的百分比是解题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，即，
解得：或，
故答案为：或．
根据方程有两个相等的实数根可得，即，解方程即可得的值．
此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，连接，

则，
，
∽，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
与反比例函数联立，得，
解得：，，
点的横坐标为，
，
延长交双曲线另一分支于点，
点与点关于原点对称，即点是的中点，
．
故答案为：．
过点作轴于点，连接，可证得∽，求得，即，利用待定系数法可得直线的解析式为，与反比例函数联立，可求得点的横坐标为，根据，，即可求得答案．
本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数中的几何意义，相似三角形的判定和性质，中心对称的性质，三角形面积等，求出点的坐标是解题的关键；本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
由条件可以证明≌，得到，由，即可求出的长，于是得到的长，即的长度．
本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，关键是应用来解决问题．
【解答】
解：预备知识：，证明如下：
如图中，，，
延长到，使，连接，
，
，
，
，
令，则，，
，
．
解决问题：线段绕点顺时针旋转得到线段，
是等边三角形，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．  

16.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的加法，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
 

18.【答案】与   

【解析】解：甲的成绩中，环与环都出现了次，次数最多，故众数为环与环；
把乙队员选拔赛成绩按从小到大的顺序排列，中位数是第、第个数的平均数，
则乙队员选拔赛成绩的中位数是环；
故答案为：与，；

甲队的平均数是：环，
甲队的方差是：；
，
甲队代表学校参加比赛；

根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中恰好选出一名男生和一名女生的有种，
则恰好选出一名男生和一名女生的概率是．
根据众数和中位数的定义即可得出答案；
根据平均数的计算公式和方差公式先求出甲的平均数和方差，再与乙队的方差进行比较，即可得出答案；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：如图，


连接，过点作于，交于，

，，
，
又，
四边形是矩形，
，
是的直径，，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】根据角平分线的画法求解即可；
连接，过点作于，交于，证出四边形是矩形，得出，求出的长，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
此题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、圆周角定理、三角形的面积等知识，熟记掌握相似三角形的判定与性质、切线的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：设每台型净化器的进价是元，则每台型净化器的进价是元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每台型净化器的进价是元，每台型净化器的进价是元．
购进型净化器台，
购进型净化器台，
又购买资金不超过万元，
，
．
依题意：获得的利润，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值．
答：的最大值为元． 

【解析】设每台型净化器的进价是元，则每台型净化器的进价是元，根据数量总价单价结合用万元购进型净化器与用万元购进型净化器的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
由总价单价数量结合购买资金不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，根据总利润每台的利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式及一次函数关系式．
 

21.【答案】解：令，则，
解得或，
，，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
；
，
，
，
，，，
，
是等腰三角形；
存在一点，使得，理由如下：
点是抛物线上一点，
，
解得或，
或，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，
当时，，
，
，
，
，
解得，
；
当时，，
，
，
，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或 

【解析】令，求解方程，可求、点坐标，设抛物线的解析式为，将点代入即可求函数的解析式；
求出点坐标，利用两点间距离公式，得到，即可判断三角形形状；
求出点坐标，直线的解析式，过点作轴交于点，根据所求的点坐标，分两种情况，利用铅锤法求相应的点坐标即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“月牙线”的定义，利用铅锤法求三角形的面积是解题的关键．
 

22.【答案】    

【解析】解：问题发现：如图，连接，
，，，
，
图中的四个直角三角形全等，
，
；
，
，
故答案为：，．
知识迁移：如图，
四边形是正方形，
，，
将绕点沿逆时针方向旋转，得到，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
拓展延伸：，理由如下：
如图，作于点，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
≌，
，
．
当点在线段上，如图，设，
，
，
，且，
，
解得，不符合题意，舍去，
，，
，，
∽，
，
；
当点在线段的延长线上，如图，设，
点在线段的延长线上，且，
，
，
解得，，
，，
∽，
，
．
综上所述，线段的长为或．
问题发现：先由，，，根据勾股定理求得，再由图中的四个直角三角形全等得，则，；
知识迁移：将绕点沿逆时针方向旋转，得到，则，，可证明，则与的面积相等，由求出的面积即可；
拓展延伸：作于点，先证明四边形是矩形，则，，而，于是得；再证明≌，得，于是得．
分为两种情况，一是点在线段上，设，则，由，且，列方程得，解方程求出符合题意的的值，再证明∽，根据相似三角形的性质求出的值；二是点在线段的延长线上，则点在线段的延长线上，设，则，可列方程，解方程求出符合题意的的值，再根据相似三角形的性质求出的值即可．
此题重点考查勾股定理及其应用、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法以及分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．