2023浙江省精诚联盟高一下学期5月联考数学试题含解析

高一年级数学学科  试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名：考场号、座位号写在指定位置；

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一、单择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合，，则集合为（    ）

A. B. C. D.

2.设在复平面内对应的点为M，则“点M在第一象限”是“”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件 D.充要条件

3.函数恒过定点（，0），则的值（    ）

A.5 B.4 C.3 D.2

4.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ）

A.若，，，则

B.若，，则

C.若，，则

D.若，且与所成的角和与所成的角相等，则

5.在中，内角，，所对应的边分别是，，，若的面积是，则（    ）

A. B. C. D.

6.如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，则，则的最小值（    ）

A.1 B.3 C.5 D.8

7.已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数与函数图象有5个交点，其横坐标从左到右依次为，，，，，则（    ）

A.0 B. C. D.

8.如图，正方体的棱长为，作平面（与底面不平行）与棱，，，分别交于，，，，记，，，分别为，，，，若，，则多面体的体积为（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9.某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品数分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（    ）

A.中位数为3  B.众数为3，6，8

C.第40百分位数为3.5  D.方差为4.75

10.已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和小于5”，事件“抽取的两个小球标号之积为奇数”，则下列说法正确的是（    ）

A.事件发生的概率为 B.事件发生的概率为

C.事件发生的概率为 D.事件发生的概率为

11.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则下列结论正确的是（    ）A.当时，有两解

B.当时，有两解

C.当为钝角时，为面积的取值范围为

D.当为锐角三角形时，的周长取值范围为

12.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（    ）

A.

B.二面角的平面角余弦值为

C.该截角四面体的外接球表面积为

D.该截角四面体的表面积为

非选择题部分

三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分.）

13.已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为__________.

14.已知向量在单位向量方向上的投影向量为，则__________.

15.已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________.

16.函数满足：①在内是单调递增函数；②在上的值域为，则称区间为的级“调和区间”.若函数存在级“调和区间”，则的取值范围是__________.

四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知：、是同一平面内的两个向量，其中.

（1）若且与垂直，求与的夹角；

（2）若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.

18.已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若，求的值.

19.如图，在直三棱柱中，平面平面，侧面是边长为2的正方形，，分别是与的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.

20.某地为了了解市场经营户年收入情况，随机抽取60家经营户，经统计，这60家经营户去年经营收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第80百分位数为8.9.

（1）求，的值；

（2）估计这60经营户年收入的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；

（3）用分层抽样的方法在收入区间为的营业户中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1户在收入区间为内的概率.

21.在平面四边形中，，，点，在直线的两侧，，.

（1）若，求线段的长度；

（2）求与的面积之和的最大值.

22.已知函数（、），.

（1）设的解集为，解集为，若，求实数的取值范围；

（2）已知函数的图象关于点对称，当时，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.

高一年级数学学科参考答案

一、单选题（每小题5分，共40分）

二、多选题（每小题5分，共20分，错选0分，少选得2分）

9.BD 10.AD 11.ACD 12.ABC

三、填空题（每空5分，共20分）

13. 14.3 15. 16.

四、解答题（共70分，17题10分，其余每题12分）

17.解：（1）由已知，

所以，

又，所以.

（2），

因为它们的夹角为锐角，所以且不共线

所以且.

18.解：（1）

，，

在区间上恰有3个零点，所以

解得，为整数，所以.所以

（2），

.

19.解：（1）取中点，连接、，则，

所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，

所以平面.

（2）、连接，是正方形，，

又平面平面且交线为，平面，，

又是直棱柱，平面，，，

平面，.

（3）设到平面的距离为，

，，，，，

，，，.

直线与平面所成角的正弦值为.

20.解：（1）依题意得，即，又第80百分位数在，

，解得，.

（2）.

（3）在有9户，在有18户，所以在抽取2户，在上抽取4户，

设至多有1户在内为事件，则.

21.解：（1）在中，由余弦定理得

，即，

在中，，，

由正弦定理得，所以.

（2）设，则，

在中，由正弦定理，

可得，

，

，

可得与的面积之和

.

因为，则，可知当，即时，取到最大值1，

即与的面积之和的最大值为1.

22.解：（1）设，的解集为等价于的解集为，

的一个解为，.

，恒成立，即恒成立，

得，

又的解集非空，，或.

综上所述.

（2）解：因为对任意的，总存在，使得，

所以函数的值域是函数的值域的子集，

当时的值域为，

设函数的值域为集合，则原问题转化为，

因为的图像关于对称，且时，所以，.

当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数，

所以函数在上递增，

又，，所以的值域为，即，

又，所以，解得，

当即时，在上递减，则函数在上也是减函数.

所以函数在上递减，则，

又，所以，解得，

当即时，在上递减，在上递增，

又因函数过对称中心，所以函数在上递增，在上递减，

故此时，，

要使，只需要，解得，