2021高考物理二轮复习 第九章 微专题67 掌握“语言翻译”求解有界磁场问题（三）

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2．轨迹圆半径与磁场圆半径相等时会有磁聚焦现象．
3．带电粒子进入圆形边界磁场，一般需要连接磁场圆圆心与两圆交点(入射点与出射点)连线，轨迹圆圆心与两交点连线．
1．(2020·福建泉州市质检)如图1，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，半径OC与OB夹角为60°.甲电子以速率v从A点沿直径AB方向射入磁场，从C点射出．乙电子以速率eq \f(v,3)从B点沿BA方向射入磁场，从D点(图中未画出)射出，则( )
图1
A．C、D两点间的距离为2R
B．C、D两点间的距离为eq \r(3)R
C．甲在磁场中运动的时间是乙的2倍
D．甲在磁场中运动的时间是乙的3倍
2．(多选)(2019·河北“五个一名校联盟” 第一次诊断)如图2所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里的匀强磁场．a、b两个带电粒子以相同的速率从M点沿着直径MON方向垂直射入磁场，运动轨迹如图所示，并从P、Q两点离开．已知P、Q、O(圆心)三点共线，直径MON、POQ夹角为θ＝60°(如图)，不计粒子的重力，下列说法正确的是( )
图2
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．a、b粒子轨迹半径之比为1∶3
C．a、b粒子在磁场中运行时间之比为2∶3
D．a、b粒子的比荷之比为1∶3
3．(2019·四川广元市第二次适应性统考)如图3所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场．两个质子M、N沿平行于直径cd的方向从圆周上同一点P射入磁场区域， P点与cd间的距离为eq \f(R,2)，质子M、N入射的速度大小之比为1∶2.ab是垂直cd的直径，质子M恰好从b点射出磁场，不计质子的重力和质子间的作用力．则两质子M、N在磁场中运动的时间之比为( )
图3
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．3∶4
4．(2019·江西南昌市下学期4月第二次模拟)如图4所示，圆形区域内存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1，P点为磁场边界上的一点．大量相同的带正电荷粒子以相同的速率从P点射入磁场区域，速度方向沿纸面内的各个方向．这些粒子射出磁场区域的位置均处于磁场边界的位置的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是磁场边界圆周长的eq \f(1,6).若只将磁感应强度的大小变为B2，结果相应的弧长变为磁场边界圆周长的eq \f(1,3)，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则eq \f(B2,B1)等于( )
图4
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D．2
5．(多选)(2019·四川绵阳市第二次诊断)如图5所示，空间存在四分之一圆形磁场区域，磁场方向垂直纸面向外．一电子以初速度v从圆心O沿着OD方向射入磁场，经过时间t恰好由A点离开磁场．若电子以初速度v′从O沿着OD方向射入磁场，经时间t′恰好由C点离开磁场．已知圆弧AC长度是圆弧CD长度的一半，则( )
图5
A．v′＝eq \f(\r(3),3)v B．v′＝eq \f(2\r(3),3)v
C．t′＝eq \f(3,4)t D．t′＝eq \f(2,3)t
6．(2020·贵州省部分重点中学教学质量评测卷)如图6所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，PQ为该圆形磁场的一条直径．现有一电子与PQ成30°角从P点射入磁场中，并从M点射出，且弧长PM恰为圆周长的eq \f(1,3)，已知电子电荷量为e，质量为m，则电子的速率为( )
图6
A.eq \f(eBR,m) B.eq \f(\r(3)eBR,m)
C.eq \f(\r(3)eBR,2m) D.eq \f(\r(2)eBR,m)
7．(多选)(2019·福建福州市期末质量检测)如图7所示，在圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外，磁感应强度大小为B的匀强磁场．一系列电子以不同的速率v(0≤v≤vm)从边界上的P点沿垂直于磁场方向与OP成60°角方向射入磁场，在eq \f(1,3)区域的磁场边界上有电子射出．已知电子的电荷量为－e，质量为m，不考虑电子之间的相互作用力．则电子在磁场中运动的( )
图7
A．最大半径为r＝eq \f(\r(3),2)R
B．最大速率为vm＝eq \f(\r(3)eBR,m)
C．最长时间为t＝eq \f(2πm,3eB)
D．最短时间为t＝eq \f(πm,eB)
8．(多选)(2019·重庆市第三次调研抽测)如图8所示，矩形abcd长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以O为圆心，Oa为半径的半圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝0.25 T．一群不计重力、质量m＝3×10－7 kg、电荷量q＝2×10－3 C的正电荷以速度v＝5×102 m/s沿平行于ab方向且垂直于磁场射入磁场区域，则下列判断正确的是( )
图8
A．从be间射入的粒子，出射点都分布在Oa边
B．从ce间射入的粒子，均从d点离开磁场
C．从ce间射入的粒子中，通过磁场的最长时间为3π×10－4 s
D．从ce间射入的所有粒子，通过磁场区域的面积是eq \f(9,2)(π－2)×10－2 m2
答案精析
1．B [洛伦兹力提供向心力qvB＝meq \f(v2,r)，可得r＝eq \f(mv,qB)，由几何关系可得r1＝Rtan 60°＝eq \r(3)R；由于乙电子的速率是eq \f(v,3)，其轨道半径r2＝eq \f(r1,3)＝eq \f(\r(3),3)R，它们在磁场中的偏转角分别为60°和120°，根据几何知识可得BC＝R，BD＝2r2sin 60°＝R，所以CD＝2Rsin 60°＝eq \r(3)R，故A错误，B正确；粒子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(θ,2π)T＝eq \f(θ,2π)·eq \f(2πm,qB)，所以两粒子的运动时间之比等于偏转角之比，即为1∶2，即甲在磁场中运动的时间是乙的eq \f(1,2)，故C、D错误．]
2．BC [由左手定则可知， b粒子带正电，a粒子带负电，选项A错误；设磁场所在的虚线圆的半径为R，则ra＝Rtan 30°＝eq \f(\r(3),3)R；rb＝Rtan 60°＝eq \r(3)R，则a、b粒子轨迹半径之比为1∶3，选项B正确；a、b粒子在磁场中运行的弧长之比为raθa∶rbθb＝(eq \f(\r(3),3)R×eq \f(2π,3))∶(eq \r(3)R×eq \f(π,3))＝eq \f(2,3)，因两粒子的速率相同，则a、b粒子在磁场中运行的时间之比为2∶3，选项C正确；根据R＝eq \f(mv,qB)可知，a、b粒子的比荷之比等于半径的倒数比，即3∶1，选项D错误．]
3．A [作出两质子的运动轨迹如图所示，
由几何关系可知，质子M的轨道半径为R，轨迹圆弧所对圆心角θ1＝120°；根据eBv＝meq \f(v2,r)得r＝eq \f(mv,eB)，则质子N的轨道半径为2R，再由几何关系可知其轨迹圆弧所对圆心角θ2＝60°；质子在磁场中做圆周运动的周期T＝eq \f(2πm,eB)，运动的时间t＝eq \f(θ,360°)T，解得t1∶t2＝2∶1，故A正确，B、C、D错误．]
4．B [当磁感应强度为B2时，从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点是轨迹的直径与磁场边界圆的交点，即∠POM＝120°，如图所示，
所以粒子做圆周运动的半径r2＝Rsin 60°＝eq \f(mv,qB2)，同理可知r1＝Rsin 30°＝eq \f(mv,qB1)，解得eq \f(B2,B1)＝eq \f(\r(3),3)，故B正确．]
5．BD [由几何知识可知，恰好由A点离开磁场时，电子轨道半径r1＝eq \f(R,2)＝eq \f(mv,qB)
设电子从C点射出时的轨道半径为r2
由于圆弧AC长度是圆弧CD长度的一半，所以粒子做圆周运动的弦切角为60°，
由弦长公式R＝2r2sin 60°
解得r2＝eq \f(\r(3),3)R＝eq \f(mv′,qB)
所以v′＝eq \f(2\r(3),3)v
电子从A点射出时，t＝eq \f(180°,360°)×eq \f(2πm,qB)＝eq \f(πm,qB)
电子从C点射出时，t′＝eq \f(120°,360°)×eq \f(2πm,qB)＝eq \f(2πm,3qB)＝eq \f(2,3)t，B、D正确．]
6．A [根据题意作出电子在磁场中的运动轨迹图，如图所示，
O′为电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，因为弧长PM恰为圆周长的eq \f(1,3)，则∠POM＝120°，由几何知识知△PO′O为等边三角形，所以电子做圆周运动的半径r＝R，根据牛顿第二定律evB＝meq \f(v2,r)，可得电子的速率：v＝eq \f(eBr,m)＝eq \f(eBR,m)，故B、C、D错误，A正确．]
7．AD
8．BCD [粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，得r＝eq \f(mv,qB)＝0.3 m．从b点入射的粒子不发生偏转，故从a点离开磁场，从e点入射的粒子从d点离开磁场，而b与e之间的其他点入射的粒子，它们的出射点分布在ad边，故A错误；从ce入射的粒子，取其中一入射点作出运动轨迹图，如图所示，
根据几何关系，可知虚线的四边形是菱形，则从ce间射入的粒子，出射点全部从d点射出，故B正确；由图可知，从e点入射的粒子在磁场中运动的时间最长，为四分之一个周期，即t＝eq \f(T,4)＝eq \f(1,4)×eq \f(2πm,Bq)＝3π×10－4 s，故C正确；从ce间射入的所有粒子，由几何关系可知通过磁场区域的面积S＝r2－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r2－\f(π,4)r2))＝eq \f(π,2)r2－r2＝eq \f(9,2)(π－2)×10－2 m2，故D正确．]