2023年江西省吉安市吉安县城北中学中考三模数学试题

江西省2023年初中学业水平考试

数学冲刺（二）

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．比1小2的数是（    ）

A．1    B．    C．3    D．

2．计算的结果为（    ）

A．    B．   C．    D．

3．如图，这是由两个完全相同的小正方体与一个长方体搭成的几何体，则它的俯视图为（    ）

A．      B．

C．     D．

4．随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中不正确的是（    ）

A．共有500名学生参加模拟测试

B．从第1个月到第4个月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长

C．第2个月测试成绩为“优秀”的学生达到50人

D．第4个月增长的“优秀”人数比第3个月增长的“优秀”人数少

5．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（    ）

A．     B．

C．     D．

6．数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1．其中，，，将沿射线DB方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ）

A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形

B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形

C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形

D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．若分式的值为零，则x的值为______．

8．若，，则代数式的值为______．

9．若，是方程的两个根，则的值为______．

10．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，爱思考的小贤利用这个方法，在练习本上从上往下依次每行画上△，满八进一，用来记录一周背诵单词的个数，图1表示他第一周背的单词数为，图2表示他第二周背的单词数，则他第二周背了______个单词．

11．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转60°，得到，则点D到BC的距离是______．

12．如图，在中，，，，D为AB的中点，F为AC上的动点，将沿直线DF折叠得到，若DE与的边垂直，则AF的长是______．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（1）计算：．

（2）如图，在中，，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE．求证：．

14．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

15．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中作矩形ABCD关于点E成中心对称的图形．

（2）在图2中作以E为顶点的矩形．

16．某商家开展“抽奖赢优惠”活动，即购买商品的顾客获得一次摸球中奖的机会．小刘和小张同时购买了商品，商家提供了四个形状、大小、质地一样的一个红球和三个白球，其中只有摸到红球是中奖．

（1）若小刘先摸，则小刘中奖的概率为______．

（2）当商家让小刘先摸时，小张认为商家这种做法对她不公平．请用画树状图法或列表法计算两人中奖的概率来说明小张的质疑是否合理．

17．课本再现

（1）某景点的门票价格如下表．

某校七年级（1）（2）两个班共102人去游览该景点．其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．若两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1118元．问两个班各有多少名学生？

拓展应用

（2）在售票中心了解到，该景点为迎接劳动节推出了“买四赠一”的优惠活动（即每买4张12元的票可获得一张同等价值的赠票），请通过计算说明七年级（1）（2）两班作为一个团体，应选择团体购票还是参加迎接劳动节赠票方式购票．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．2023年《政府工作报告》指出，推动巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接．某地区立足本地特色大力发展农产品经济，创办某坚果加工厂，现需购置一台包装机，厂家对甲、乙两台不同品牌的包装机试用，设定包装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格．为检验包装效果，坚果加工厂对这两台机器包装的成品进行了抽样和分析，过程如下：

收集与整理数据，从甲、乙两台机器包装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位：g）如下：

甲机器包装的成品测得实际质量统计频数分布表：

乙：505  499  502  491  487  506  493  505  499  498

    502  503  501  490  501  502  511  499  499  501

分析数据  根据以上数据，得到以下统计量．

请你根据以上统计信息，回答下列问题：

（1）频数分布表中的______．

（2）统计量表格中的______，______．

（3）综合上表中的统计量，说明工厂应选购哪一台包装机．

（4）若坚果加工厂选择乙型包装机，请你估计该加工厂每月生产10万袋的坚果中有多少袋不合格．

19．学科综合

我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．

观察实验

小明为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，．

（1）求入射角的度数．

（2）若，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，）

20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点D，C为反比例函数的图象上的点，且于点A，连接BC．

（1）求的面积．

（2）若，求k的值．

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．如图在中，，，D是BC上的动点，以D为圆心，DC的长为半径作圆交AC于点E，F，G分别是AB，AE上的点，将沿FG折叠，点A与点E恰好重合．

（1）如图1，若，求证：与直线AB相切．

（2）如图2，若经过点B，连接ED．

①BE的长是______．

②判断四边形BFED的形状，并证明．

22．如图，在中，，，点D在直线AC上，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．

观察发现

（1）线段BC与AB的数量关系为______．

拓展迁移

（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，判断线段CE与AD之间的数量关系，并说明理由．

类比运用

（3）过点A作交BD于点N，若，请直接写出的值．

六、解答题（本大题共12分）

23．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点B位于点A的右侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一动点，横坐标为t．

（1）下列说法正确的是______．（填序号）

①抛物线开口向上

②当时，y随着x的增大而增大

③点A，B的坐标分别为，

④若点P在x轴下方，则

（2）如图，若，点P位于第四象限，过点P作x轴的平行线交BC于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标．

（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，F为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以F，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．

江西省2023年初中学业水平考试

数学冲刺（二）参考答案

1．B 2．A 3．C 4．D 5．D

6．B  提示：易知四边形ABCD是平行四边形，∴，．

由平移的性质得，，∴，，

∴四边形是平行四边形．

当沿射线DB方向平移个单位长度时，可得．

∵，，∴，

∴，∴，

可知四边形是矩形，故选项A错误．

∵，

∴当沿射线DB方向平移个单位长度时，点B，重合，

此时四边形的对角线互相垂直平分，∴四边形是菱形，故选项B正确．

易知在平移过程中，不可能出现该四边形的对角线互相垂直平分且相等的情况，故不可能出现正方形，故选项C错误．

由前面的分析可知，选项D错误．故答案为B．

7．3 8． 9．7 10．156  11．2

12．或或2  提示：如图1，当DE与AC垂直时，易求得；

如图2，当DE与AB垂直时，可求得；

如图3，当DE与BC垂直时，可求得．

故答案为或或2．

13．（1）解：原式．

（2）证明：（证法不唯一）∵，∴．

∵D，E分别是AB，BC的中点，

∴DE是的中位线，

∴，∴．

14．解：

解不等式①，得，解不等式②，得，

∴不等式组的解集是．

解集在数轴上表示的结果如下：

15．解：（1）如图1，四边形FGDC为所求．

（2）（方法不唯一）如图2，四边形CEHM为所求．

16．解：（1）．

（2）设红球是A，三个白球分别是，，．画树状图如下：

可知小刘先摸中奖的概率为，小张后摸中奖的概率为，

可见两人中奖的概率相等，所以小张的质疑不合理．

17．解：（1）设（1）班有x名学生，（2）班有y名学生，

由题意得，解得．

答：（1）班有49名学生，（2）班有53名学生．

（2）团体购票：（元）．

赠票方式购票：，（元）．

∵，

∴七年级（1）（2）两班作为一个团体，应选择团体购票．

18．解：（1）7．

（2）501；10%．

提示：将乙组数据按从小到大的顺序排列：

487，490，491，493，498，499，499，499，499，501，

501，501，502，502，502，503，505，505，506，511．

∵第10个数据为501，第11个数据也为501，∴；

∴，．

（3）比较甲、乙两台包装机器的统计量可知，甲与乙的平均数相同，中位数相差不大，而乙的方差较小，且不合格率更低，说明乙机器的包装合格率更高，且稳定性更好，所以乙机器的包装效果更好，工厂应选购乙包装机．

（4）10万×0.1＝1万（袋），则该加工厂每月生产10万袋的坚果中约有1万袋不合格．

19．解：（1）∵四边形ABFE为矩形，∴，

∴，∴．

∴入射角．

（2）如图，过点D作于点G，过点P作于点H，则四边形BFDG是知形，

∴，，

∴，．

∵，∴，

∴，，

∴折射率．

20．解：（1）把代入得，解得．

把代入得．

∴，点D的坐标为．

∴的面积为．

（2）如图，过点C作轴于点F，过点B作轴于点E．

设点B的坐标为．

由题意可知，．

∵，易得．

∵，

∴，，

∵点C的坐标为．

∵点C，B在反比例函数的图象上，

∴，

解得，（不合题意，舍去），

∴点B的坐标为，∴．

21．解：（1）如图1，过点D作于点H，

根据题意可知，，

∴．

∵，∴，

∴，

∴，即，

∴，

∴与直线AB相切．

（2）①．

②四边形BFED是菱形．

证明：（证法不唯一）如图2，连接BE．

∵经过点B，∴BC是的直径，

∴．

∵，，

∴，

∴是等边三角形．

由折叠可知，∴，

∴是等边三角形，∴，

∴四边形BFED是菱形．

22．解：（1）．

（2）．

理由：∵，∴，

由（1）得，

同理可得，，

∴，，

∴，

∴，∴，

∴．

（3）的值为或．

提示：如图1，当点D在线段AC上时，

过点B作，交CA的延长线于点F，过点A作于点G．

设，则．

由题意得，

在中，，，

∴，．

在中，，

∴．

∵，，

∴，∴，

∴，∴．

∵，∴，

∴．

∴，

∴．

如图2，当点D在AC的延长线上时，

设，则．

由（2）得，

过点B作，交CA的延长线于点R，过点A作于点Q，

同理可得，，

∴，

∴，∴，

∴，

∴．

综上所述，的值为或．

23．解：（1）③．

（2）设PF交BC于点H．

∵，，∴，

∴．

∵，，

∴，，∴．

设直线BC的解析式为，

则，解得，

∴直线BC的解析式为．

∵点P的横坐标为t，则，，，

∴，

∴当时，取得最大值，最大值为，

此时点．

（3）点N的坐标为或或．

提示：由题意得平移后的抛物线的解析式为，

∴，．

∵抛物线的对称轴为直线，

∴设，．

分情况讨论：

①当FG为对角线时，则，即，此时，∴；

②当FM为对角线时，则，即，此时，∴；

③当MG为对角线时，则，即，此时．