初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数优秀课后练习题

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第十九章：一次函数重点题型复习


题型一 函数的概念的理解与运用
【例1】婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁的2倍、3倍，上述过程中，自变量是（  ）
A．年龄 B．婴儿 C．体重 D．倍数
【答案】A
【解析】年龄在逐渐变大，体重在逐渐变重，年龄是自变量，体重是因变量，故A正确．


【变式1-1】下列说法正确的是（ 　   ）
A．变量x，y满足y=13x+1，则y是x的函数
B．变量x，y满足y2=x，则y是x的函数
C．变量x，y满足y=x，则y是x的函数
D．在V=43πr2中，43是常量，r是自变量，V是r的函数
【答案】A
【解析】A. 变量x，y满足y=13x+1，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则y是x的函数；
B. 变量x，y满足y2=x，，对于自变量x的每一个值，y都有两个值与它对应，则y不是x的函数；
C. 变量x，y满足y=x，对于自变量x的每一个值，y都有两个值与它对应，则y不是x的函数；
D. 在V=43πr2中，43π是常量，r是自变量，V是r的函数. 故选A.


【变式1-2】变量x，y有如下关系：①y＝3x2；②y2＝8x．其中y是x的函数的是________．（填序号）
【答案】①
【解析】y＝3x2，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意；
②y2＝8x，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义．


【变式1-3】下列所述不属于函数关系的是（    ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系
【答案】D
【解析】A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项正确；
B、x+2随x的变化而变化，是函数关系，故本选项正确；
C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项正确；
D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项错误，故选：D．


【变式1-4】下列关系式中，y不是x的函数的是（　　）
A．y=x4 B．y=6x2+5 C．|y|=x D．y=12x
【答案】C
【解析】A、y=x4，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数;
B、y=6x2+5，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数;
C、|y|=x，对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数;
D、y=12x，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数；故选：C．

题型二 函数自变量的取值范围
【例2】函数y=x5x−66中，自变量的取值范围是_____.
【答案】x≠65
【解析】根据题意有，5x−6≠0，解得：x≠65. 自变量的取值范围为：x≠65.


【变式2-1】函数y=x+1−1x−2中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≥−1且x≠2
【解析】根据二次根式有意义，分式有意义得：x+1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥−1且x≠2．


【变式2-2】已知函数 y=1x−1
（1）自变量的取值范围为_________；（2）当x=4时，y的值为_________.
【答案】x>1 33
【解析】（1）由题意可得：{x−1≥0x−1≠0 ∴x>1
（2）当x=4时，y=14−1=33


【变式2-3】若点P(x,y)在函数y=1x2+−x的图象上，则点P应在平面直角坐标系中的第_____象限．
【答案】二
【解析】解：由题意可得：x2≠0−x≥0，
∴x0，即y>0，
∴P应在平面直角坐标系中的第二象限．


【变式2-4】如图，设正方形的面积为y(m2),边长为x(m).

（1）求关于x的函数表达式和自变量x的取值范围
（2）分别求当x=5，10时，函数的值。
【答案】（1）y=x2(x>0)
（2）当x=5时，y=25:当x=10时，y=100


题型三 求自变量的值或函数值
【例3】一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间x（秒）与滑下的路程y（米）之间的函数关系式是y=5x2+10x，当运动员滑下的时间x=3秒时，他滑下的路程y为 米。
【答案】75
【解析】解：当x=3时，y=5x2+10x=5×32+10×3=45+30=75，
即滑下的路程y为75米。


【变式3-1】以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表

根据表格信息，当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是 .
【答案】−40
【解析】解：根据题意得：当摄氏温度值为0°C时，华氏温度值为32℉，且摄氏温度值每增加10℃，华氏温度值增加18℉，
设华氏温度值为y，摄氏温度值为x,则
华氏温度值与摄氏温度值的函数关系式为y=1810x+32=1.8x+32,
当x=y时，x=1.8x+32,
解得：x=−40,
即当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是−40.


【变式3-2】若函数y=x2+2(x≤2)2x(x>2)，则当自变量x＝4时，函数值是（     ）
A．18 B．8 C．18或8 D．无法判断
【答案】B
【解析】∵x=4＞2，∴将x=4代入y=2x中，得y=8，故选：B．


【变式3-3】跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s（米）与助跑的速度v（米/秒）有关．根据经验、跳远的距离s=0.085v2，根据函数表达式解答下面的问题：
（1）分别求当v=6，v=10时的函数值，并说明它们的实际意义．
（2）当v=16时，函数值有意义吗？为什么？
【答案】（1）v=6时，s=3.06；v=10时，s=8.5；它们的实际意义分别是：当助跑速度为6米/秒时，跳远的距离为3.06米；当助跑速度为10米/秒时，跳远的距离为8.5米
（2）v=16时，函数值无意义；理由见解析
【解析】（1）解：当v=6时，s=0.085×62=3.06，表示当助跑速度为6米/秒时，跳远的距离为3.06米；
当v=10时，s=0.085×102=8.5，表示当助跑速度为10米/秒时，跳远的距离为8.5米．
（2）解：因为人类短跑速度的最大值小于16米/秒，所以当v=16时，函数值无意义．


【变式3-4】弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度y（cm）（最长为20cm）与所挂物体质量x（kg）之间有下面的关系：
x/kg
0
1
2
3
4
…
y/cm
8
8.5
9
9.5
10
…

下列说法不正确的是（    ）
A．y与x的函数表达式为y=8+0.5x
B．所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为11cm
C．y与x的函数表达式中一次项系数表示“所挂物体质量每增加1kg弹簧伸长的长度”
D．挂30kg物体时，弹簧长度为23cm
【答案】D
【解析】解：A．从表格数据中分析可知，弹簧原长为8cm，每增加1kg物体，弹簧长度就增加0.5cm，所以函数表达式为y=8+0.5x，故A选项正确；
B．当所挂物体为6kg时，弹簧的长度为y=8+0.5×6=11cm，故B选项正确；
C．y与x的函数表达式中一次项系数0.5表示“所挂物体质量每增加1kg弹簧伸长的长度为0.5cm”，故C选项正确；
D．当所挂物体为30kg时，弹簧长度为y=8+0.5×30=23cm，超过弹簧最长限度20cm，故D选项不正确，符合题意．

题型四 函数图象的识别
【例4】下列图象中，表示y是x的函数的个数有（    ）

A．1 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：属于函数的有：


∴y是x的函数的个数有3个，故C正确．


【变式4-1】某消毒液生产厂家自年初以来，在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．上月底以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：根据题意：库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．故选：C．


【变式4-2】“龟兔赛跑”中兔子跑得快，一开始领先，但它太骄傲在途中睡了一觉再继续跑；乌龟跑得慢，但一直不停地跑，抵达终点，赢得胜利．下面哪幅图基本反映了比赛的过程？（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解： A．因为乌龟早到终点，故本选项不符合题意；
B．正确，故本选项符合题意；
C．因为兔子跑得快，一开始领先，故本选项不符合题意；
D．乌龟早到终点，故本选项不符合题意； 故选：B


【变式4-3】在地球中纬度地区，从地面到高空大约11km之间，气温随高度的升高而下降，每升高1km，气温大约下降6°C；高于11km但不高于20km，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为20°C，设该城市距离地面高度为xkm0≤x≤20处的气温为y°C，则y与x的函数图像是（  ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意可知，当高度x=0时，y=20℃；
当x=11时，y=20-11×6=-46℃，
∴y=-6x+20（0≤x＜11）
当11≤x≤20时，y=-46
根据一次函数的性质可知，只有B选项的图像符合题意．


【变式4-4】下面四个问题中的两个变量：
①去超市购买同一种水果，所付出的总价y与数量x；
②汽车从A地匀速行驶到B地，离B地的距离y与时间x；
③面积为定值的长方形，长y与宽x；
④一根蜡烛匀速燃烧，剩余长度y与时间x．
每个问题中因变量与自变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（    ）

A．①② B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【解析】解：①去超市购买同一种水果，所付出的总价y随数量x的增大而增大；
②汽车从A地匀速行驶到B地，离B地的距离y随时间x的增大而减小；
③面积为定值的长方形，长y与宽x的乘积为定值，长y与宽x不是一次函数关系；
④一根蜡烛匀速燃烧，剩余长度y随时间x增大而减小；
综上分析可知，②④符合题意，故B正确．


题型五 函数的表示方法
【例5】声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温(x°C)之间的关系如下：
气温(x°C)
0
5
10
15
20
音速y（米/秒）
331
334
337
340
343

从表中可知音速y随温度x的升高而_____．在气温为20°C的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点________米．
【答案】     增大     68.6
【解析】解：从表格可以看到y随x的增大而增大；
20°C时，音速为343米/秒，343×0.2=6米，这个人距离发令点68.6米.


【变式5-1】某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人)与这趟公交车每月的利润（利润=收入费用−支出费用）y（元)的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的）
x（人)
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
y（元)
−3000
−2000
−1000
0
1000
2000
…
请回答下列问题：
（1）自变量为　　，因变量为　　；
（2）y与x之间的关系式是 　　；
（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？
【答案】（1）每月的乘车人数，公交车每月的利润
（2）y=2x−4000
（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元
【解析】（1）解：由题意可知：自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润．
（2）解：∵从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元，
∴每位乘客坐一次车需要1000÷500=2（元)，
即函数关系式为：y=2(x−500)−3000=2x−4000．
（3）解：当x=4000时，
y=2×4000−4000=4000（元)．
答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元．


【变式5-2】用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l关于边长a的函数．
【答案】l=3a(a>0)，图象见解析
【解析】解：∵等边三角形的边长为a，
∴它的周长l为3a，
∴l＝3a，
∴用解析法表示为：l=3a(a>0)．
用图象法表示：
列表如下：
a
…
1
2
…
l
…
3
6
…
如图所示，描点连线



【变式5-3】科学家研究发现，声音在空气中传播的速度y(米/秒)与气温x(℃)有关．当气温是0℃时，音速是331米/秒；当气温是5℃时，音速是334米/秒；当气温是10℃时，音速是337米/秒；当气温是15℃时，音速是340米/秒；当气温是20℃时，音速是343米/秒；当气温是25℃时，音速是346米/秒；当气温是30℃时，音速是349米/秒．
（1）请你用表格表示气温与音速之间的关系．
（2）表格反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?
（3）当气温是35℃时，估计音速y可能是多少?
（4）能否用一个式子来表示两个变量之间的关系?
【答案】（1）见解析；（2）两个变量是：传播的速度和温度，温度是自变量；
（3） 352米/秒； （4） y=331+35x．
【解析】（1）列表如下：
x(℃)
0
5
10
15
20
25
30
y(米/秒)
331
334
337
340
343
346
349
（2）两个变量是：传播的速度和温度，温度是自变量．
（3） 根据表格中音速y（米/秒）随着气温x（℃）的变化规律可知，
当气温再增加5℃，音速就相应增加3米/秒，即为349+3=352（米/秒），
当气温是35℃时，估计音速y可能是：352米/秒．
（4）根据表格中数据可得出：温度每升高5℃，传播的速度增加3，当x=0时，y=331，故两个变量之间的关系为： y=331+35x．


【变式5-4】在一次实验中，老师把一根弹簧秤的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧秤的长度ycm随所挂物体的质量xkg变化关系的图象如下：

（1）根据图象信息补全表格：
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
8
10
12
14
16

（2）写出所挂物体质量在0至5kg时弹簧秤长度ycm与所挂物体质量xkg的关系式；
（3）结合图象，写出弹簧秤长度是怎样随悬挂物体质量的变化而变化的．
【答案】（1）18；（2）y=2x+8；（3）当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm．
【解析】解：（1）由题意可知，当x=5时，y=16+2=18，故答案为：18；
（2）根据表格可知：所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm，
根据弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度可知当所挂物体的重量为x千克时，弹簧长度y=2x+8（0≤x≤5）；
（3）由图象可知，当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm．


题型六 动点问题的函数图象
【例6】如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，ΔABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b−2a=5，则长方形ABCD的周长为（    ）

A．20 B．18 C．16 D．24
【答案】B
【解析】解：根据图2的点(a,10)，可知BC=a，12AB×BC=10，
∴AB=20a，
∴BC+CD+DA=2a+20 a=b，
∴b−2a=20 a，
∵b−2a=5，
∴ 20 a=5，
∴a=4，
∴AB=5，BC=4，
∴长方形ABCD的周长为2×(5+4)=18．故选：B．


【变式6-1】如图，等腰Rt△ABC，AC=BC，∠C=90°，点P由点B开始沿BC边匀速运动到点C，再沿CA边匀速运动到点A为止，设运动时间为t，△ABP的面积为S，则S与t的大致图象是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：假设点P在BC上的运动速度为1，在AC上的运动速度也为1，AC=BC=a，
当点P在BC上的运动时，BP=t，则S△ABP=12BP⋅AC=12at；
当点P在AC上的运动时，AP=a+a−t−a=3a−t，
则S△ABP=12AP⋅BC=32a2−12at，
∴四个选项中只有B选项符合题意．


【变式6-2】如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为t，正方形除去圆部分的面积为s（阴影面积）则s与t的大致图像为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：由图可知，刚开始的时候，阴影部分面积最大，随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分面积开始不再变化，当圆完全穿离正方形时，面积和穿行前的面积一样．故选：A．


【变式6-3】如图1，在直角△ABC中，点P从点C出发，匀速沿CB−BA向点A运动，连接AP，设点P的运动距离为x，AP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为BC中点时，AP的长为（    ）

A．10 B．213 C．52 D．8
【答案】B
【解析】解：因为P点是从C点出发的，C为初始点，
观察图象x＝0时y＝6，则AC＝6，P从C向B移动的过程中，AP是不断增加的，
而P从B向A移动的过程中，AP是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即x＝a时，BC＝PC＝a，此时y＝a+2，
即AP＝AB＝a+2，AC＝6，BC＝a，AB＝a+2，
∵∠C＝90°，
由勾股定理得：（a+2）2＝62+a2，解得：a＝8，
∴AB＝10，BC＝8，
当点P为BC中点时，CP＝4，
∴AP=AC2+CP2=62+42=213，故选：B．


【变式6-4】如图1，点P从菱形ABCD的顶点D出发，沿D→C→A以1cm/s的速度匀速运动到点A，图2是点P运动时，△PAB的面积Scm2随时间t（s）变化的关系图象，则m的值为______．

【答案】52
【解析】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E．

由图象可知，点P由点D到点C用时为m秒，△PAB的面积为mcm2．
∴DC=m，
∴ 12AB⋅CE=12DC⋅CE=12m⋅CE=m，
∴ CE=2，
当点P由点C到点A用时为5秒，
∴CA=5，
∴Rt△ACE中，AE=AC2−CE2=52−22=1．
∵ ABCD是菱形，
∴BE=AB−1=m−1，CB=m，
∵Rt△BCE中，BC2=BE2+CE2，
∴m2=m−12+22，解得m=52．


题型七 正比例函数的定义
【例7】下列函数中，正比例函数是（　　）
A．y=x3 B．y=−2x+1 C．y=2x2 D．y=3x
【答案】A
【解析】A、y=x3是正比例函数，故选项正确；B、C、D不是正比例函数.



【变式7-1】下列各关系中，符合正比例关系的是（　　）
A．正方形的周长C和它的一边长a
B．距离s一定时，速度v和时间t
C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y
D．正方体的体积V和棱长m
【答案】A
【解析】A．根据正方形的周长公式可得C=4a，这是一个正比例函数；
B．根据速度=路程÷时间可得v=st，这是一个反比例函数；
C．根据剩下的长度=总长−减去的长度可得y=40−x，这是一个一次函数；
D．根据正方体的体积公式，可得V=m3，是一个三次函数，不是正比例函数．
故选：A．


【变式7-2】若函数y=(m−1)x|m|是y关于x的正比例函数，则m=________．
【答案】−1
【解析】根据题意得：m=1m−1≠0，∴m=−1．


【变式7-3】下列正比例函数中，其图象恰好经过点2,−4的是（    ）
A．y=2x B．y=−2x C．y=12x D．y=−12x
【答案】B
【解析】A、把x=2代入y=2x得y=4≠−4，故函数y=2x不经过点2,−4；
B、把x=2代入y=−2x得y=4，故函数y=−2x经过点2,−4；
C、把x=2代入y=2x得y=1≠−4，故函数y=12x不经过点2,−4；
D、把x=2代入y=−12x得y=−1≠−4，故函数y=−12x不经过点2,−4； 故选B．


【变式7-4】若一个正比例函数的图象经过A1,−2，Bm,4两点，则m的值为_______．
【答案】−2
【解析】解：设正比例函数的解析式为y=kxk≠0，
将A1,−2代入y=kx，得：−2=k，
∴正比例函数解析式为y=−2x，
当y=4时，−2m=4，
解得：m=−2．


题型八 正比例函数的图象与性质
【例8】正比例函数y=ax中，y随x的增大而增大，则直线y=−a−1x经过（   ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y=ax中，y随x的增大而增大，
∴a>0，
∴−a−12
【解析】解：∵正比例函数y=2−kx的图象经过第二、四象限，
∴2−k2.


【变式8-3】已知正比例函数y=2x的图像过点x1,y1、x2,y2，若x2−x1=5，则y2−y1=_____．
【答案】10
【解析】解：∵正比例函数y=2x的图像过点x1,y1、x2,y2，
∴y1=2x1，y2=2x2，
∵x2−x1=5，
∴y2−y1=2x2−2x1=2x2−x1=2×5=10，故答案为：10．


【变式8-4】对于正比例函数y=kx，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，则k的值为（　　）
A．3 B．−2 C．−3 D．−0.5
【答案】C
【解析】∵正比例函数y=kx，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，
∴y−6=kx+2，
∴y−6=kx+2k，
∴2k=−6，
解得：k=−3．故选：C．


题型九 一次函数概念的理解与运用
【例9】有下列函数：①y=πx，②y=2x−1；③y=1x④y=32x2−2x−6x2；⑤y=3x−1x；⑥y=x2−1，其中是一次函数的有（    ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】解：因为一次函数的一般形式为y=kx+b(其中k，b是常数且k≠0 )，
所以①②④是一次函数，
③⑤⑥自变量的次数不为1，不是一次函数，故选B．


【变式9-1】若y=m−1x2−m+1是关于x的一次函数，则m的值为（　　）
A．1 B．−1 C．±1 D．±2
【答案】B
【解析】解：∵y=m−1x2−m+1是关于x的一次函数，
∴2−m=1，m−1≠0，
∴m=−1，故选：B．


【变式9-2】一次函数y=a−32x2−a+a2+6的图象过一、二、三象限，则a=____________．
【答案】3
【解析】解：∵一次函数y=a−32x2−a+a2+6的图象过一、二、三象限，
∴2−a=1a−32>0a2+6>0，解得：a=1或a=3，
∵1−32=−120m2=4，解得m=2．


题型十 求一次函数自变量或函数值
【例10】一汽车一次加满油40升，每小时耗油5升，x小时后剩余油量y升．
（1）写出一次加满油后剩余油量y与时间x的函数关系式．
（2）求出自变量的取值范围．
【答案】（1）y=−5x+40（2）0≤x≤8
【解析】（1）解：由题意得：y=40−5x=−5x+40；
（2）解：∵一次加满油40升，
∴5x≤40，解得：x≤8，
∴自变量的取值范围为0≤x≤8．


【变式10-1】如图，等腰三角形ABC的周长为20cm，底边BC长为y（cm），腰AB长为x（cm）．

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）腰长AB=3时，底边的长．
【答案】（1）y=−2x+20（2）5